Paradoks Curry'ego

Spisu treści:

Paradoks Curry'ego
Paradoks Curry'ego

Wideo: Paradoks Curry'ego

Wideo: Paradoks Curry'ego
Wideo: Почему из-за этого участка проезд из Северной Америки в Южную невозможен. Дарьенский пробел. 2024, Marzec
Anonim

Nawigacja wejścia

  • Treść wpisu
  • Bibliografia
  • Narzędzia akademickie
  • Podgląd PDF znajomych
  • Informacje o autorze i cytacie
  • Powrót do góry

Paradoks Curry'ego

Pierwsza publikacja: środa, 6 września 2017 r.; rewizja merytoryczna pt 19.01.2018

„Paradoks Curry'ego”, jak ten termin jest dziś używany przez filozofów, odnosi się do szerokiej gamy paradoksów odnoszących się do samych siebie lub kolistości, które wywodzą ich współczesne pochodzenie z Curry (1942b) i Löb (1955). [1]Wspólną cechą tych tak zwanych paradoksów Curry'ego jest sposób, w jaki wykorzystują one pojęcie implikacji, konsekwencji lub konsekwencji, albo w postaci łącznika, albo w postaci orzeczenia. Paradoks Curry'ego pojawia się w wielu różnych dziedzinach. Podobnie jak paradoks Russella, może on przybrać formę paradoksu teorii mnogości lub teorii właściwości. Ale może też przybrać formę paradoksu semantycznego, bardzo podobnego do paradoksu Kłamcy. Paradoks Curry'ego różni się zarówno od paradoksu Russella, jak i paradoksu Kłamcy tym, że zasadniczo nie obejmuje pojęcia negacji. Typowe wersje teorii prawdy zawierają zdanie, które mówi o sobie, że jeśli jest prawdziwe, to dowolnie wybrane twierdzenie jest prawdziwe lub - używając bardziej złowrogiego przypadku - mówi o sobie, że jeśli jest prawdziwe, to każdy fałsz jest prawdziwy. Paradoks polega na tym, że istnienie takiego wyroku wydaje się implikować prawdziwość arbitralnie wybranego twierdzenia lub - w bardziej złowieszczym przypadku - każdego fałszu. W tym wpisie pokazujemy, jak można konstruować różne paradoksy Curry'ego, badamy przestrzeń dostępnych rozwiązań i wyjaśniamy, w jaki sposób paradoks Curry'ego jest znaczący i stwarza charakterystyczne wyzwania.

  • 1. Wprowadzenie: dwa oblicza paradoksu

    • 1.1 Nieformalny argument
    • 1.2 Ograniczenie teorii
    • 1.3 Przegląd
  • 2. Konstruowanie zdań curry

    • 2.1 Pierwsza metoda Curry'ego i zdania Curry oparte na teorii mnogości
    • 2.2 Druga metoda Curry'ego i zdania curry oparte na teorii prawdy
  • 3. Wyprowadzenie paradoksu

    • 3.1 Lemat paradoksu Curry'ego
    • 3.2 Lokale alternatywne
  • 4. Odpowiedzi na Paradoks Curry'ego

    • 4.1 Odpowiedzi dotyczące niekompletności Curry
    • 4.2 Odpowiedzi dotyczące kompletności Curry

      • 4.2.1 Odpowiedzi wolne od skurczów
      • 4.2.2 Odpowiedzi wolne od oderwania
      • 4.2.3 Zastosowanie do nieformalnego argumentu
  • 5. Znaczenie paradoksu Curry'ego

    • 5.1 Dziwne nadzieje na rozwiązanie paradoksów negacji

      • 5.1.1 Sfrustrowane rozwiązania parakonsystentne
      • 5.1.2 Sfrustrowane rozwiązania Paracomplete
    • 5.2 Wskazując na ogólną strukturę paradoksu
  • 6. Curry ważności

    • 6.1 Połączony formularz
    • 6.2 Formularz orzeczenia
    • 6.3 Znaczenie
  • Bibliografia

    • Kluczowe źródła historyczne
    • Inne referencje
  • Narzędzia akademickie
  • Inne zasoby internetowe
  • Powiązane wpisy

1. Wprowadzenie: dwa oblicza paradoksu

1.1 Nieformalny argument

Przypuśćmy, że twój przyjaciel powie ci: „Jeśli to, co mówię, używając tego samego zdania, jest prawdą, to czas jest nieskończony”. Okazuje się, że istnieje krótki i pozornie przekonujący argument na następujący wniosek:

(P) Samo istnienie twierdzenia twojego przyjaciela pociąga za sobą (lub ma w konsekwencji) to, że czas jest nieskończony

Wielu uważa, że (P) jest nie do uwierzenia (i w tym sensie paradoksalne), nawet jeśli czas jest rzeczywiście nieskończony. Lub, jeśli to nie wystarczy, rozważ inną wersję, tym razem obejmującą twierdzenie, o którym wiadomo, że jest fałszywe. Niech twój przyjaciel powie zamiast tego: „Jeśli to, co mówię, używając tego samego zdania, jest prawdą, to wszystkie liczby są pierwsze”. Teraz, mutatis mutandis, ten sam krótki i pozornie przekonujący argument daje (Q):

(P) Samo istnienie twierdzenia twojego przyjaciela pociąga za sobą (lub ma w konsekwencji), że wszystkie liczby są pierwszymi

Oto argument przemawiający za (P). Niech (k) będzie zdaniem odnoszącym się do samego siebie, które wypowiedział twój przyjaciel, nieco uproszczonym tak, że brzmi: „Jeśli (k) jest prawdą, to czas jest nieskończony”. W świetle tego, co mówi (k), wiemy tyle:

(1) Przy założeniu, że (k) jest prawdą, jest tak, że jeśli k jest prawdziwe, to czas jest nieskończony

Ale oczywiście mamy też

(2) Zakładając, że (k) jest prawdą, jest tak, że k jest prawdą

Zakładając, że (k) jest prawdziwe, wyprowadziliśmy w ten sposób warunek wraz z jego poprzednikiem. Używając modus ponens w ramach tego przypuszczenia, wyprowadzamy teraz następnik warunku w ramach tego samego założenia:

(3) Przy założeniu, że (k) jest prawdą, jest tak, że czas jest nieskończony

Reguła warunkowego dowodu upoważnia nas teraz do potwierdzenia warunku z naszym przypuszczeniem jako poprzednikiem:

(4) Jeśli (k) jest prawdziwe, to czas jest nieskończony

Ale skoro (4) to po prostu (k), to mamy

(5) (k) jest prawdą

Wreszcie, łącząc (4) i (5) razem przez modus ponens, otrzymujemy

(6) Czas jest nieskończony

Wydaje się, że ustaliliśmy, że czas jest nieskończony, nie wykorzystując żadnych założeń poza istnieniem zdania autoreferencyjnego (k), wraz z pozornie oczywistymi zasadami dotyczącymi prawdy, które doprowadziły nas do (1), a także od (4) do (5). To samo dotyczy (Q), ponieważ mogliśmy użyć tej samej formy argumentacji, aby dojść do fałszywego wniosku, że wszystkie liczby są pierwsze.

1.2 Ograniczenie teorii

Jednym z wyzwań stawianych przez paradoks Curry'ego jest wskazanie, co jest nie tak w powyższym nieformalnym argumencie za (P), (Q) i tym podobne. Ale zaczynając od pierwszej prezentacji Curry'ego w Curry 1942b (patrz dokument uzupełniający o Curry on Curry's Paradox), dyskusja na temat paradoksu Curry'ego miała zwykle inny charakter. Dotyczyło różnych systemów formalnych - najczęściej ustalonych teorii lub teorii prawdy. W tej sytuacji paradoks jest dowodem na to, że system ma określoną cechę. Zazwyczaj przedmiotowa funkcja jest trywialna. O teorii mówi się, że jest trywialna lub absolutnie niespójna, gdy potwierdza każde twierdzenie, które można wyrazić w języku tej teorii. [2]

Argument stwierdzający, że dana teoria formalna jest trywialna, będzie stanowić problem, jeśli zachodzi którykolwiek z poniższych przypadków: (i) chcemy użyć teorii formalnej w naszych badaniach, tak jak używamy teorii mnogości podczas wykonywania matematyki, lub (ii) chcielibyśmy wykorzystać teorię formalną do modelowania cech języka lub myśli, w szczególności roszczeń, do których zobowiązani są niektórzy mówcy lub myśliciele. Tak czy inaczej, trywialność teorii celu pokazałaby, że jest ona nieadekwatna do zamierzonego celu. Jest to więc drugie wyzwanie, jakie stawia paradoks Curry'ego.

Aby wyrazić sens, w jakim paradoks Curry'ego ogranicza teorie, musimy powiedzieć, czym jest zdanie Curry'ego. Nieformalnie, zdanie Curry jest zdaniem, które jest równoważne, w świetle jakiejś teorii, warunkowi, który sam jest poprzedzający. Na przykład, można by pomyśleć o argumencie z sekcji 1.1 odwołującym się do nieformalnej teorii prawdy. Wtedy zdanie „(k) jest prawdziwe” służy jako zdanie Curry'ego dla tej teorii. Dzieje się tak, ponieważ biorąc pod uwagę to, co mówi nam nasza nieformalna teoria o tym, na czym polega prawda (k), „(k) jest prawdziwe” powinno być równoważne z „Jeśli (k) jest prawdziwe, to czas jest nieskończony”(Ponieważ ten warunek jest sam (k)).

Poniżej zapis (vdash _ { mathcal {T}} alpha) jest używany do stwierdzenia, że teoria (mathcal {T}) zawiera zdanie (alpha), a (Gamma / vdash _ { mathcal {T}} alpha) jest używane do stwierdzenia, że (alpha) wynika z przesłanek zebranych w (Gamma) zgodnie z (mathcal {T}) (tj. zgodnie z relacją konsekwencji (mathcal {T}) (vdash _ { mathcal {T}})). [3] Z wyjątkiem sekcji 4.2.1, będziemy jednak zajmować się tylko twierdzeniami dotyczącymi tego, co zgodnie z teorią następuje z jednej przesłanki, tj. Twierdzeniami wyrażonymi zdaniami w postaci (gamma / vdash _ { mathcal {T }} alpha). (Opieramy się na kontekście, aby wyjaśnić, gdzie takie zdanie jest używane i gdzie jest tylko wspomniane).

Dwa zdania (w języku teorii (mathcal {T})) będą nazywane intersubstitutable zgodnie z (mathcal {T}) pod warunkiem prawdziwości dowolnego twierdzenia w postaci (Gamma / vdash _ { mathcal {T}} alpha) jest nienaruszony przez podstawienie jednego za drugie w (alpha) lub w żadnym ze zdań w (Gamma). Na koniec zakładamy, że język zawiera łącznik ({ rightarrow}), który służy w pewnym sensie jako warunek. Na potrzeby poniższej definicji nie stawiamy żadnych szczególnych wymagań dotyczących zachowania tego warunku. Możemy teraz zdefiniować pojęcie zdania Curry'ego dla pary zdań i teorii.

Definicja 1 (zdanie Curry) Niech (pi) będzie zdaniem języka (mathcal {T}). Zdaniem Curry dla (pi) i (mathcal {T}) jest dowolne zdanie (kappa) takie, że (kappa) i (kappa { rightarrow} pi) są zastępowalne zgodnie z (mathcal {T}). [4]

Różne wersje paradoksu Curry'ego wynikają z istnienia argumentów na rzecz następującego, bardzo ogólnego twierdzenia. (Te argumenty, które opierają się na założeniach dotyczących warunkowego ({ rightarrow}), zostaną szczegółowo omówione w sekcji 3.)

Niepokojące twierdzenie Dla każdej teorii (mathcal {T}) i każdego zdania (pi) w języku (mathcal {T}), jeśli istnieje zdanie Curry dla (pi) i (mathcal {T}), a następnie (vdash _ { mathcal {T}} pi).

Argument, który wydaje się uzasadniać kłopotliwe roszczenie, będzie liczył się jako paradoks, pod warunkiem, że istnieje również nieodparty powód, by sądzić, że to twierdzenie jest fałszywe. Przeciwprzykładem do kłopotliwego twierdzenia byłaby dowolna teoria (mathcal {T}) i zdanie (pi) takie, że istnieje zdanie Curry'ego dla (pi) i (mathcal {T}), ale nie jest tak, że (vdash _ { mathcal {T}} pi).

Jak wspomniano powyżej, paradoks Curry'ego jest często rozumiany jako wyzwanie dla istnienia nietrywialnych teorii. Biorąc pod uwagę niepokojące twierdzenie, teoria będzie trywialna, ilekroć zdanie Curry'ego można sformułować dla dowolnego zdania w języku teorii. Rzeczywiście, trywialność wynika ze słabszego warunku, co wyraźnie wyjaśnia poniższa definicja.

Definicja 2 (teoria curry-complete) Teoria (mathcal {T}) jest curry-complete pod warunkiem, że dla każdego zdania (pi) w języku (mathcal {T}) istnieje niektóre (pi ') takie, że (i) istnieje zdanie Curry dla (pi') i (mathcal {T}) i (ii) jeśli (vdash _ { mathcal {T }} pi '), a następnie (vdash _ { mathcal {T}} pi).

Podczas gdy jeden przypadek (pi ') spełniający warunek (ii) byłby sam (pi), inny byłby zdaniem „wybuchowym” (bot) zawartym w teorii tylko wtedy, gdy każde zdanie jest zawarte w teorii. [5]

Niepokojące roszczenie ma teraz natychmiastowe konsekwencje: teoria kompletna Curry musi zawierać każde zdanie w swoim języku.

Niepokojący wniosek Każda kompletna teoria Curry jest banalna.

Ponownie, każdy argument, który wydaje się potwierdzać Niepokojący wniosek, będzie liczył się jako paradoks, pod warunkiem, że istnieje nieodparty powód, by sądzić, że istnieją nietrywialne teorie (a nawet prawdziwe teorie), które są kompletne w Curry.

1.3 Przegląd

W pozostałej części tego wpisu paradoks Curry'ego będzie rozumiany jako narzucający paradoksalne ograniczenie na teorie, a mianowicie to, które zostało określone w powyższym Niepokojącym Wniosku. Przedstawienie tak rozumianej wersji paradoksu Curry'ego wymaga zrobienia dwóch rzeczy:

  • argumentując, że (mathcal {T}) jest Curry-zakończone, dla jakiejś pozornie nietrywialnej teorii celu (mathcal {T}), i
  • podając argument za Niepokojącym Roszczeniem. [6]

W sekcjach 2 i 3 omówiono te dwa zadania w podanej kolejności. Na razie podstawową ideę można przekazać na przykładzie zdania odnoszącego się do samego siebie (k), które brzmi: „Jeśli (k) jest prawdą, to czas jest nieskończony”. Po pierwsze, biorąc pod uwagę nasze zrozumienie prawdy, uznajemy, że zdanie „(k) jest prawdziwe” jest niezastępowalne z „Jeśli (k) jest prawdą, to czas jest nieskończony”. Po drugie, nieformalny argument z sekcji 1.1 wyprowadza paradoksalny wniosek z tej równoważności. Czytelnicy zainteresowani głównie logicznymi zasadami związanymi z tą argumentacją i pokrewnymi oraz opcjami oparcia się takim argumentom, mogą chcieć przejść do sekcji 3.

2. Konstruowanie zdań curry

Jak to jest dziś standardowo przedstawiane, paradoks Curry'ego dotyka „naiwne” teorie prawdy (te, które zawierają „przezroczysty” predykat prawdy) i „naiwne” teorie zbiorów (te, które charakteryzują się nieograniczoną abstrakcją zbiorów). W tej sekcji wyjaśniono, w jaki sposób z każdego rodzaju teorii mogą powstać zdania Curry. Zaczynamy jednak od wersji, która dotyczy teorii właściwości, wersji bardziej przypominającej sformułowanie Curry'ego. (Dodatkowy dokument Curry on Curry's Paradox krótko charakteryzuje cele paradoksu własnej wersji Curry'ego).

Teoria własności cechuje się nieograniczoną abstrakcją własności, pod warunkiem, że dla dowolnego warunku możliwego do ustalenia w języku tej teorii istnieje własność, której przykładem (zgodnie z teorią) są właśnie rzeczy spełniające ten warunek. Rozważmy teorię (mathcal {T_P}) sformułowaną w języku z urządzeniem do abstrakcji właściwości ([x: / phi x]) i relacją egzemplifikacyjną (epsilon). Na przykład, jeśli (phi (t)) mówi, że obiekt, do którego odnosi się termin (t), jest trójkątny, (t / \ epsilon [x: / phi x]) mówi, że ten obiekt ilustruje właściwość trójkątności. Następnie, mając nieograniczoną abstrakcję własności, powinniśmy mieć następującą zasadę.

(Właściwość) Dla każdego otwartego zdania (phi) z jedną wolną zmienną i każdego terminu (t), zdania (t / \ epsilon [x: / phi x]) i (phi t) są zastępowalne zgodnie z (mathcal {T_P}).

W efekcie Curry (1942b) naszkicował dwie „metody konstruowania” zdań Curry'ego, używając swojego odpowiednika (Własność). Mówi, że pierwsza jest „oparta na paradoksie Russella”, a druga jest „oparta na paradoksie Epimenidesa”. Chociaż obie metody są teorią własności, pierwsza metoda daje prekursor wersji paradoksu Curry'ego opartej na teorii mnogości, podczas gdy druga daje prekursora wersji teorii prawdy.

2.1 Pierwsza metoda Curry'ego i zdania Curry oparte na teorii mnogości

Wersja paradoksu Russella, która przypomina pierwszą metodę Curry'ego, dotyczy egzemplifikacji własności. Jej tematem jest właściwość bycia takim, że nie daje się egzemplifikować. Otrzymujemy zdanie Curry oparte na teorii własności, rozważając zamiast tego właściwość bycia takim, że daje się egzemplifikować tylko wtedy, gdy czas jest nieskończony. Powiedzmy, że wprowadzamy nazwę (h) dla tej właściwości, określając (h = _ {def} [x: x / \ epsilon / x { rightarrow} pi]), gdzie zdanie (pi) mówi, że czas jest nieskończony. [7] Stosując zasadę (Właściwość) do zdania (h / \ epsilon / h), otrzymujemy:

(h / \ epsilon / h) i (h / \ epsilon / h { rightarrow} pi) są zastępowalne zgodnie z (mathcal {T_P}).

Innymi słowy, (h / \ epsilon / h) jest zdaniem Curry dla (pi) i (mathcal {T_P}).

Pierwsza metoda Curry'ego doprowadziła następnie do powstania zdań Curry opartych na teorii mnogości. Teoria zbiorów charakteryzuje się nieograniczoną abstrakcją zbiorów pod warunkiem, że dla dowolnego warunku możliwego do ustalenia w języku teorii istnieje zbiór, który (zgodnie z teorią) zawiera wszystkie i tylko te rzeczy, które spełniają ten warunek. Niech (mathcal {T_S}) będzie naszą teorią zbiorów, sformułowaną w języku, który wyraża abstrakcję zbiorów za pomocą ({x: / phi x }) i ustaw przynależność za pomocą (in). Wtedy odpowiednikiem (Właściwość) jest

(Ustaw) Dla każdego otwartego zdania (phi) z jedną wolną zmienną i każdego terminu (t), zdania (t / in {x: / phi x }) i (phi t) są zastępowalne zgodnie z (mathcal {T_S}).

Aby otrzymać zdanie Curry oparte na teorii mnogości, rozważ zbiór składający się z czegokolwiek, co jest składnikiem samego siebie tylko wtedy, gdy czas jest nieskończony. Powiedzmy, że wprowadzamy nazwę (c) dla tego zestawu, określając (c = _ {def} {x: x / in x { rightarrow} pi }). Stosując zasadę (Set) do zdania (c / in c), otrzymujemy:

(c / in c) i (c / in c { rightarrow} pi) są wzajemnie zastępowalne zgodnie z (mathcal {T_S}).

Innymi słowy, (c / in c) jest zdaniem Curry dla (pi) i (mathcal {T_S}).

Teoretyczna wersja paradoksu Curry'ego została wprowadzona w Fitch 1952 [8], a także zaprezentowana w Moh 1954 i Prior 1955.

2.2 Druga metoda Curry'ego i zdania curry oparte na teorii prawdy

Pomimo jego uwagi na temat „paradoksu Epimenidesa”, formy paradoksu kłamcy, druga metoda Curry'ego jest wariantem pokrewnego paradoksu semantycznego, paradoksu Grellinga. [9]W swojej pierwotnej formie, paradoks Grellinga rozważa własność posiadaną przez wiele słów, a mianowicie własność, jaką ma słowo, gdy nie jest on przykładem własności, którą reprezentuje (Grelling i Nelson 1908). Na przykład słowo „obraźliwość” ma tę właściwość: nie ilustruje właściwości, którą reprezentuje, ponieważ nie jest obraźliwe (patrz wpis dotyczący paradoksów i współczesnej logiki). W efekcie Curry uważa, że właściwość, którą słowo dostarczyło, jest przykładem właściwości, którą reprezentuje, tylko wtedy, gdy czas jest nieskończony. Teraz przypuśćmy, że nasza teoria wprowadza nazwę (u) dla tej własności. Następnie Curry pokazuje, jak skonstruować zdanie, które (mówiąc nieformalnie) mówi, że nazwa (u) jest przykładem właściwości, którą reprezentuje. Pokazuje, że zdanie to posłuży jako zdanie Curry dla teorii właściwości i denotacji nazw.[10]

Chociaż ta metoda uzyskiwania zdania Curry'ego opiera się na semantycznej właściwości wyrażeń, nadal opiera się na abstrakcji własności. Niemniej jednak można go postrzegać jako prekursora wersji całkowicie semantycznej. (Zamiast rozważać powyższą własność, można by rozważyć orzeczenie „stosuje się do siebie tylko wtedy, gdy czas jest nieskończony”.) W związku z tym, jak pierwsi wykazali Geach (1955) i Löb (1955), zdania Curry można otrzymać używając samych zasad semantycznych, bez polegania na abstrakcji własności. Ich trasa odpowiada nieformalnemu argumentowi w sekcji 1.1, obejmującemu samo odwołujące się zdanie (k), które brzmi: „Jeśli (k) jest prawdą, to czas jest nieskończony”.

W tym celu niech (mathcal {T_T}) będzie teorią prawdy, gdzie (T) jest predykatem prawdy. Przyjmij zasadę „przejrzystości”

(Prawda) Dla każdego zdania (alpha), zdania (T / langle / alpha / rangle) i (alpha) są wzajemnie zastępowalne zgodnie z (mathcal {T_T}).

Aby uzyskać zdanie Curry za pomocą tej zasady, załóżmy, że istnieje zdanie (xi), które jest (T / langle / xi / rangle { rightarrow} pi). [11] Zatem wynika to bezpośrednio z (Prawdy) tego

(T / langle / xi / rangle) i (T / langle / xi / rangle { rightarrow} pi) są zastępowalne zgodnie z (mathcal {T_T}).

Innymi słowy, (T / langle / xi / rangle) jest zdaniem Curry dla (pi) i (mathcal {T_T}).

Geach zauważa, że semantyczny paradoks, który wynika ze zdania takiego jak (T / langle / xi / rangle), przypomina „paradoks Curry'ego w teorii mnogości”. Löb, który nie wspomina o pracy Curry'ego, przypisuje ten paradoks obserwacji sędziego na temat dowodu na to, co jest obecnie znane jako twierdzenie Löba dotyczące udowodnienia (patrz wpis dotyczący twierdzeń o niezupełności Gödla). Sędzia, obecnie znany jako Leon Henkin (Halbach i Visser 2014: 257), zasugerował, że metoda zastosowana przez Löb w jego dowodzie „prowadzi do nowego wyprowadzenia paradoksów w języku naturalnym”, a mianowicie nieformalnego argumentu z sekcji 1.1 powyżej. [12]

3. Wyprowadzenie paradoksu

Przypuśćmy, że użyliśmy jednej z powyższych metod, aby wykazać, dla jakiejś teorii prawdy, zbiorów lub własności, że teoria jest kompletna w Curry (powiedzmy z racji tego, że zawiera zdanie Curry na każde zdanie w języku lub za wyrok wybuchowy). Aby dojść do wniosku, że omawiana teoria jest trywialna, wystarczy teraz przedstawić argument na rzecz niepokojącego twierdzenia. To jest twierdzenie, że dla każdej teorii (mathcal {T}), jeśli istnieje zdanie Curry dla (pi) i (mathcal {T}), to (vdash _ { mathcal {T}} pi). Taki argument będzie wykorzystywał założenia dotyczące logicznego zachowania warunkowego ({ rightarrow}) wspomnianego w Definicji 1. Zakładając, że Kłopotliwe Roszczenie musi zostać odrzucone, w związku z tym nakłada to ograniczenia na zachowanie tego warunku.

3.1 Lemat paradoksu Curry'ego

Na początek bardzo ogólny wynik ograniczający, bliski wariant lematu w Curry 1942b. [13]

Lemat paradoksu Curry'ego Załóżmy, że teoria (mathcal {T}) i zdanie (pi) są takie, że (i) istnieje zdanie Curry dla (pi) i (mathcal {T}), (ii) wszystkie wystąpienia reguły tożsamości (Id) (alpha / vdash _ { mathcal {T}} alpha) hold oraz (iii) warunkowa ({ rightarrow}) spełnia oba następujących zasad:

(tag {MP} textrm {If} vdash _ { mathcal {T}} alpha { rightarrow} beta / textrm {and} vdash _ { mathcal {T}} alpha / textrm {then} vdash _ { mathcal {T}} beta) (tag {Cont} textrm {If} alpha / vdash _ { mathcal {T}} alpha { rightarrow} beta / textrm {then} vdash _ { mathcal {T}} alpha { rightarrow} beta)

Następnie (vdash _ { mathcal {T}} pi).

Tutaj MP jest wersją modus ponens, a Cont to zasada skurczu: dwa wystąpienia zdania (alpha) są „skracane” w jedno. (Wkrótce napotkamy powiązane zasady, które są częściej określane jako skurcz. [14]) Lemat paradoksu Curry'ego pociąga za sobą, że każda teoria Curry-complete musi naruszać jeden lub więcej z Id, MP lub Cont pod groźbą trywialności.

Aby udowodnić lemat, jeden pokazuje, że Id, MP i Cont, wraz z „intersubstitutivity” Curry'ego (kappa) z (kappa { rightarrow} pi), wystarczy do ustalenia (vdash_ { mathcal {T}} pi). Poniższe wyprowadzenie przypomina nieformalny argument z sekcji 1.1. Argument ten zawierał również podargument dla zasady Cont, który zostanie zbadany poniżej.

(begin {array} {rll} 1 & / kappa / vdash _ { mathcal {T}} kappa & / textrm {Id} / 2 & / kappa / vdash _ { mathcal {T}} kappa { rightarrow} pi & / textrm {1 Curry-intersubstitutivity} / 3 & / vdash _ { mathcal {T}} kappa { rightarrow} pi & / textrm {2 Cont} / 4 & / vdash _ { mathcal {T}} kappa & / textrm {3 Curry-intersubstitutivity} / 5 & / vdash _ { mathcal {T}} pi & / textrm {3, 4 MP} end {array})

Rozdział 4 omówi sposoby, w jakie każda z dwóch zasad dotyczących ({ rightarrow}) założonych w lemacie Curry-Paradox może być uzasadniona lub odrzucona.

3.2 Lokale alternatywne

Istnieją odpowiedniki lematu Curry-Paradox, które odwołują się do alternatywnych zestawów zasad logicznych (patrz np. Rogerson i Restall 2004 oraz Bimbó 2006). Prawdopodobnie najpopularniejsza wersja zastępuje reguły Id i Cont odpowiednimi prawami:

(tag {IdL} vdash _ { mathcal {T}} alpha { rightarrow} alpha) (tag {ContL} vdash _ { mathcal {T}} (alpha { rightarrow} (alpha { rightarrow} beta)) { rightarrow} (alpha { rightarrow} beta))

Wyprowadzenie wygląda teraz następująco:

(begin {array} {rll} 1 & / vdash _ { mathcal {T}} kappa { rightarrow} kappa & / textrm {IdL} / 2 & / vdash _ { mathcal {T}} kappa { rightarrow} (kappa { rightarrow} pi) & / textrm {1 Curry-intersubstitutivity} / 3 & / vdash _ { mathcal {T}} (kappa { rightarrow} (kappa { rightarrow} pi)) { rightarrow} (kappa { rightarrow} pi) & / textrm {2 ContL} / 4 & / vdash _ { mathcal {T}} kappa { rightarrow} pi & / textrm { 2, 3 MP} / 5 & / vdash _ { mathcal {T}} kappa & / textrm {4 Curry-intersubstitutivity} / 6 & / vdash _ { mathcal {T}} pi & / textrm {4, 5 MP} / \ end {tablica})

Drugi wspólny odpowiednik lematu paradoksu Curry'ego pochodzi od Meyera, Routleya i Dunna (1979). [15] Używa dwóch zasad dotyczących koniunkcji: prawa formy modus ponens i idempotencji koniunkcji.

(tag {MPL} vdash _ { mathcal {T}} ((alpha { rightarrow} beta) wedge / alpha) { rightarrow} beta)

(Idem (_ { wedge})) Zdania (alpha) i (alpha / wedge / alpha) są wzajemnie zastępowalne zgodnie z (T)

Tym razem wyprowadzenie wygląda następująco:

(begin {array} {rll} 1 & / vdash _ { mathcal {T}} ((kappa { rightarrow} pi) wedge / kappa) { rightarrow} pi & / textrm {MPL} / 2 & / vdash _ { mathcal {T}} (kappa / wedge / kappa) { rightarrow} pi & / textrm {1 Curry-intersubstitutivity} / 3 & / vdash _ { mathcal {T}} kappa { rightarrow} pi & / textrm {2 Idem (_ { wedge})} / 4 & / vdash _ { mathcal {T}} kappa & / textrm {4 Curry-intersubstitutivity} / 5 & / vdash _ { mathcal {T}} pi & / textrm {3, 4 MP} / \ end {array})

Sformułowanie lematu Curry-Paradox przy użyciu Cont, a nie ContL lub MPL, ułatwi zwrócenie uwagi (w następnej sekcji) na istotne różnice w klasie odpowiedzi, które odrzucają obie te ostatnie zasady. [16]

4. Odpowiedzi na Paradoks Curry'ego

Odpowiedzi na paradoks Curry'ego można podzielić na dwie klasy, w zależności od tego, czy akceptują Niepokojący wniosek, że wszystkie teorie ukończenia Curry'ego są trywialne.

  • Odpowiedzi na niekompletność Curry'ego akceptują niepokojący wniosek. Jednak zaprzeczają, że docelowe teorie właściwości, zbiorów lub prawdy są kompletne w Curry. Odpowiedzi na niekompletność Curry'ego mogą obejmować klasyczną logikę i zazwyczaj tak się dzieje.
  • Odpowiedzi dotyczące kompletności Curry'ego odrzucają niepokojący wniosek; twierdzą, że mogą istnieć nietrywialne teorie kompletne Curry. Każda taka teoria musi naruszać jedną lub więcej logicznych zasad przyjętych w lemacie Curry-Paradox. Ponieważ logika klasyczna potwierdza te zasady, odpowiedzi te odwołują się do logiki nieklasycznej. [17]

Istnieje również opcja opowiadania się za odpowiedzią niekompletności Curry'ego na paradoksy Curry'ego powstające w jednej domenie, powiedzmy w teorii mnogości, jednocześnie opowiadając się za odpowiedzią kompletności Curry'ego na paradoksy Curry'ego powstające w innej dziedzinie, powiedzmy w teorii własności (np. Field 2008; Beall 2009).

4.1 Odpowiedzi dotyczące niekompletności Curry

Przykłady wybitnych teorii prawdy, które dostarczają odpowiedzi niekompletności Curry'ego na paradoks Curry'ego obejmują hierarchiczną teorię Tarskiego, rewizyjną teorię prawdy (Gupta i Belnap 1993) oraz podejścia kontekstualne (Burge 1979, Simmons 1993 i Glanzberg 2001, 2004). Wszystkie te teorie ograniczają „naiwną” zasadę przejrzystości (Prawdy). Omówienie znajduje się we wpisie dotyczącym paradoksu kłamcy. W kontekście teorii mnogości, odpowiedzi niekompletności Curry'ego obejmują teorie typu Russella i różne teorie, które ograniczają „naiwną” zasadę abstrakcji zbiorów (Set). Zobacz wpisy dotyczące paradoksu Russella i alternatywnych aksjomatycznych teorii mnogości.

Ogólnie rzecz biorąc, rozważania istotne dla oceny większości odpowiedzi na niekompletność Curry'ego nie wydają się być specyficzne dla paradoksu Curry'ego, ale odnoszą się zarówno do paradoksu Kłamcy (w dziedzinie teorii prawdy), jak i paradoksu Russella (w zakresie zbioru i właściwości). domeny teoretyczne). [18] Z tego powodu pozostała część tego wpisu skupi się na odpowiedziach dotyczących kompletności Curry'ego, chociaż sekcja 6.3 w skrócie powraca do rozróżnienia w kontekście tak zwanych paradoksów poprawności Curry'ego.

4.2 Odpowiedzi dotyczące kompletności Curry

Odpowiedzi na temat kompletności Curry'ego na paradoks Curry'ego utrzymują, że istnieją teorie, które są kompletne, ale nietrywialne; taka teoria musi naruszać jedną lub więcej logicznych zasad przyjętych w lemacie Curry-Paradox. Ponieważ reguła Id była generalnie niekwestionowana (ale zobacz French 2016 i Nicolai & Rossi w przygotowaniu), oznaczało to zaprzeczenie, że warunkowa ({ rightarrow}) nietrywialnej teorii Curry-complete spełnia zarówno MP, jak i Cont. W związku z tym odpowiedzi można podzielić na dwie kategorie.

(I) Najbardziej powszechną strategią było zaakceptowanie, że warunek takiej teorii jest posłuszny MP, ale zaprzeczenie, że jest posłuszny Cont. Ponieważ Cont jest zasadą skurczu, takie odpowiedzi można nazwać wolnymi od skurczów. Strategię tę po raz pierwszy zaproponowali Moh (1954), którego z aprobatą przytaczają Geach (1955) i Prior (1955)

(II) Drugą i znacznie nowszą strategią jest przyjęcie, że warunkowa teoria takiej teorii jest posłuszna Contowi, ale zaprzecza, że jest posłuszna posłowi (czasami nazywana zasadą „oderwania”). Takie odpowiedzi można nazwać wolnymi od oderwania. Ta strategia jest na różne sposoby zalecana przez Ripleya (2013) i Beall (2015)

Każda kategoria odpowiedzi dotyczących kompletności Curry'ego może być z kolei podzielona zgodnie z tym, w jaki sposób blokuje rzekome wyprowadzenia Cont i MP.

4.2.1 Odpowiedzi wolne od skurczów

Zasada Cont, która jest odrzucana przez odpowiedzi wolne od skurczów, wynika z dwóch standardowych zasad. Są to warunkowe dowody dotyczące pojedynczych przesłanek i nieco bardziej ogólna wersja modus ponens, obejmująca co najwyżej jedną przesłankę (gamma):

  • (MP ') Jeśli (gamma / vdash _ { mathcal {T}} alpha { rightarrow} beta) i (gamma / vdash _ { mathcal {T}} alpha) to (gamma / vdash _ { mathcal {T}} beta)
  • (CP) Jeśli (alpha / vdash _ { mathcal {T}} beta) to (vdash _ { mathcal {T}} alpha { rightarrow} beta)

(begin {array} {rll} 1 & / alpha / vdash _ { mathcal {T}} alpha { rightarrow} beta & \\ 2 & / alpha / vdash _ { mathcal {T}} alpha & / textrm {Id} / 3 & / alpha / vdash _ { mathcal {T}} beta & / textrm {1, 2 MP '} / 4 & / vdash _ { mathcal {T}} alpha { rightarrow } beta & / textrm {3 CP} / \ end {tablica})

Odpowiedzi wolne od skurczów muszą zatem odrzucić jedną lub drugą z tych dwóch zasad dla warunku nietrywialnej teorii kompletności Curry'ego. W związku z tym można wyróżnić dwie podkategorie teoretyków w kategorii (I):

(Ia) Zdecydowanie wolna od skurczu reakcja zaprzecza temu, że ({ rightarrow}) jest posłuszny posłowi (np. Mares i Paoli 2014; Slaney 1990; Weir 2015; Zardini 2011)

(Ib) Słabo wolna od skurczu odpowiedź akceptuje, że ({ rightarrow}) jest posłuszna MP ', ale zaprzecza, że jest posłuszna CP (np. Field 2008; Beall 2009; Nolan 2016)

Powodem, dla którego odpowiedzi w kategorii (Ib) liczą się jako słabo wolne od skurczów, jest to, że, jak pokazują kroki 1-3, akceptują one zasadę skrócenia, zgodnie z którą jeśli (alpha / vdash _ { mathcal {T}} alpha { rightarrow} beta), a następnie (alpha / vdash _ { mathcal {T}} beta).

Zwolennicy odpowiedzi silnie wolnych od skurczów utrzymują, że MP 'nie wyraża właściwie odpowiedniej formy modus ponens. Zazwyczaj przedstawiają swoją własną formę tej reguły w ramach „podstrukturalnych”, a konkretnie takiej, która pozwala nam odróżnić to, co wynika z założenia raz przyjętego, od tego, co wynika z tego samego założenia wziętego dwukrotnie. (Zobacz wpis dotyczący logiki podstrukturalnej.) W związku z tym MP 'należy zastąpić przez

(MP ″) Jeśli (gamma / vdash _ { mathcal {T}} alpha { rightarrow} beta) i (gamma / vdash _ { mathcal {T}} alpha) to (gamma, / gamma / vdash _ { mathcal {T}} beta)

a regułę „strukturalnego skurczu” należy odrzucić:

(sCont) Jeśli (Gamma, / gamma, / gamma / vdash _ { mathcal {T}} beta) to (Gamma, / gamma / vdash _ { mathcal {T}} beta)

To dlatego, że odrzucają strukturalne skurcze, metody zdecydowanie wolne od skurczów mogą twierdzić, że zachowują modus ponens pomimo odrzucenia MP”(patrz Shapiro 2011, Zardini 2013 i Ripley 2015a).

Odpowiedzi zdecydowanie wolne od skurczów muszą również blokować wyprowadzanie MP 'przy użyciu pary zasad obejmujących koniunkcję:

(MP '(_ { land})) Jeśli (gamma / vdash _ { mathcal {T}} alpha { rightarrow} beta) i (delta / vdash _ { mathcal {T} } alpha), a następnie (gamma / wedge / delta / vdash _ { mathcal {T}} beta)

(Idem (_ { wedge})) Zdania (alpha) i (alpha / wedge / alpha) są wzajemnie zastępowalne zgodnie z (T)

(begin {array} {rll} 1 & / gamma / vdash _ { mathcal {T}} alpha { rightarrow} beta & \\ 2 & / gamma / vdash _ { mathcal {T}} alpha & \\ 3 & / gamma / wedge / gamma / vdash _ { mathcal {T}} beta & / textrm {1, 2 MP '(_ { wedge})} / 4 & / gamma / vdash _ { mathcal {T}} beta & / textrm {3 Idem (_ { wedge})} / \ end {array})

Unikanie tego wyprowadzania MP 'wymaga zaprzeczenia istnieniu spójnika (wedge), które jest zgodne zarówno z MP' (_ { wedge}), jak i Idem (_ { wedge}). Według wielu odpowiedzi zdecydowanie wolnych od skurczów (np. Mares i Paoli 2014; Zardini 2011), jeden rodzaj koniunkcji - rodzaj „multiplikatywny” lub „fuzja” - jest posłuszny MP '(_ { wedge}), ale nie Idem (_ { wedge}), podczas gdy inny rodzaj - „addytywny” rodzaj-przestrzega Idem (_ { wedge}), ale nie MP '(_ { wedge}) (patrz wpis o liniowej logika i Ripley 2015a). Jeśli używany jest podstrukturalny szkielet omówiony powyżej, awaria MP '(_ { wedge}) sprowadza się do tego, że dla koniunkcji addytywnej (gamma, / delta / vdash _ { mathcal {T}} beta) nie jest równoważne (gamma / wedge / delta / vdash _ { mathcal {T}} beta).

Jeśli chodzi o słabo wolne od skurczów odpowiedzi, niepowodzenie CP było czasami motywowane za pomocą semantyki „światów” tego rodzaju, która obejmuje rozróżnienie między światami logicznie możliwymi i niemożliwymi (np. Beall 2009; Nolan 2016). Aby obalić CP potrzebujemy prawdy (alpha / vdash_ / mathcal {T} beta) i fałszywości (vdash_ / mathcal {T} alpha { rightarrow} beta). Na docelowym podejściu „światów” (vdash_ / mathcal {T}) definiuje się jako zachowanie prawdy nad odpowiednim podzbiorem światów (w modelu), a mianowicie „światami możliwymi” modelu. Stąd, aby (alpha / vdash_ / mathcal {T} beta) było prawdą, oznacza to, że nie ma możliwego świata (w jakimkolwiek modelu), w którym (alpha) jest prawdą i (beta) nieprawdziwe. Z kolei, aby obalić (vdash_ / mathcal {T} alpha { rightarrow} beta), potrzebujemy możliwego świata, w którym (alpha { rightarrow} beta) jest nieprawdziwe. Jak to się dzieje? Ponieważ łączniki są zdefiniowane w sposób, który bierze pod uwagę wszystkie (typy) światów w modelu (możliwe i jeśli takie istnieją, niemożliwe) istnieje opcja, aby (alpha { rightarrow} beta) było nieprawdziwe w możliwym świecie na mocy tego, że (alpha) jest prawdą i (beta) jest nieprawdziwe w niemożliwym świecie. I to właśnie dzieje się, gdy zbliża się cel. (Dokładnie to, jak definiuje się warunki prawdziwości na świecie i fałszu na świecie dla strzały zależy od dokładnego podejścia do „światów”, o które chodzi). I to właśnie dzieje się, gdy zbliża się cel. (Dokładnie to, jak definiuje się warunki prawdziwości na świecie i fałszu na świecie dla strzały zależy od dokładnego podejścia do „światów”, o które chodzi). I to właśnie dzieje się, gdy zbliża się cel. (Dokładnie to, jak definiuje się warunki prawdziwości na świecie i fałszu na świecie dla strzały zależy od dokładnego podejścia do „światów”, o które chodzi).

4.2.2 Odpowiedzi wolne od oderwania

Odpowiedzi bez oderwania muszą blokować proste wyprowadzenie MP w oparciu o zasadę przechodniości wraz z odwrotnością dowodu warunkowego z pojedynczym założeniem:

  • (Trans) Jeśli (alpha / vdash _ { mathcal {T}} beta) i (vdash _ { mathcal {T}} alpha), to (vdash _ { mathcal {T}} beta)
  • (CCP) Jeśli (vdash _ { mathcal {T}} alpha { rightarrow} beta) to (alpha / vdash _ { mathcal {T}} beta)

(begin {array} {rll} 1 & / vdash _ { mathcal {T}} alpha { rightarrow} beta & \\ 2 & / vdash _ { mathcal {T}} alpha & \\ 3 & / alpha / vdash _ { mathcal {T}} beta & / textrm {1 CCP} / 4 & / vdash _ { mathcal {T}} beta & / textrm {2, 3 Trans} / \ end {array })

Istnieją dwie podkategorie teoretyków w kategorii (II):

  • (IIa) Zdecydowanie wolna od oderwania odpowiedź zaprzecza temu, że ({ rightarrow}) jest posłuszny CCP (Goodship 1996; Beall 2015).
  • (IIb) Słabo wolna od oderwania odpowiedź akceptuje, że ({ rightarrow}) jest posłuszna CCP, ale odrzuca Trans (Ripley 2013).

Powodem, dla którego odpowiedzi w kategorii (IIb) są tylko nieznacznie wolne od oderwania, jest to, że CCP, którą te odpowiedzi akceptują, można uznać za rodzaj zasady oderwania się od warunku.

Jedną ze strategii odpowiedzi na zarzut, że odpowiedzi bez oderwania są sprzeczne z intuicją, jest odwołanie się do związku między konsekwencją a naszym przyjęciem i odrzuceniem wyroków. Zgodnie z tym połączeniem, ilekroć zdarzy się, że (alpha / vdash _ { mathcal {T}} beta), oznacza to (lub przynajmniej sugeruje), że jest on niespójny w świetle teorii (mathcal {T}), aby zaakceptować (alpha) podczas odrzucania (beta) (zobacz Restall 2005). Przypuśćmy teraz, że w świetle teorii (mathcal {T}) odrzucenie (alpha) jest niespójne, a także przyjęcie (alpha) podczas odrzucania (beta). Zatem, jak twierdzi Ripley (2013), nie powinno być nic niespójnego w świetle teorii odrzucania (beta), o ile nie akceptuje się również (alpha). Jest zatem miejsce, aby zrezygnować z Trans i przyjąć słabo wolną od przywiązań odpowiedź na paradoks Curry'ego. Beall broni podejścia zdecydowanie wolnego od oderwania opiera się na powiązanych względach. W efekcie argumentuje, że zasada słabsza niż KPCh może odgrywać istotną rolę w ograniczaniu kombinacji akceptacji i odrzucenia zdań, w tym (alpha), (beta) i (alpha { rightarrow } beta).

4.2.3 Zastosowanie do nieformalnego argumentu

Podejścia do paradoksu Curry'ego właśnie rozróżniły, znajdują błędy w różnych wnioskach i wnioskach cząstkowych nieformalnego argumentu paradoksalnego w sekcji 1.1. Odpowiedź zdecydowanie wolna od skurczów odpowiada blokowaniu kroku (3) tego argumentu, ponieważ odrzuca MP”. Zamiast tego słabo wolna od skurczu odpowiedź blokuje krok (4), ponieważ odrzuca CP. Żaden rodzaj odpowiedzi wolnej od oderwania nie przyjmie rozumowania z kroku (3). Ponieważ akceptują Conta, odpowiedzi wolne od oderwania pozwalają nam wyciągnąć wniosek (4), skąd słabo wolne od przywiązań odpowiedzi dodatkowo pozwalają nam wyciągnąć wniosek (3) przez CCP. Jednak oba rodzaje odpowiedzi wolnej od oderwania znajdują błąd w ostatnim posunięciu posła do (6).

5. Znaczenie paradoksu Curry'ego

W tej sekcji wyjaśniamy kilka charakterystycznych lekcji, których można się nauczyć, rozważając paradoks Curry'ego. Omówienie rodzajów znaczenia, jakie mają różne wersje paradoksu Curry'ego z paradoksami pokrewnymi, można znaleźć we wpisach dotyczących paradoksu Russella i paradoksu kłamcy.

5.1 Dziwne nadzieje na rozwiązanie paradoksów negacji

Zaczynając od Church (1942), Moh (1954), Geach (1955), Löb (1955) i Prior (1955), omówienie paradoksu Curry'ego uwydatniło, że różni się on od paradoksu Russella i paradoksu kłamcy tym, że tak nie jest. t „uw [e] negacja zasadniczo” (Anderson 1975: 128). [19] Jednym z powodów, dla których paradoks Curry'ego jest wolny od negacji, jest to, że sprawia, że paradoks jest odporny na niektóre rozwiązania, które mogą być odpowiednie dla takich „paradoksów negacji”.

Geach twierdzi, że paradoks Curry'ego stanowi problem dla wszystkich zwolenników naiwnej teorii prawdy lub naiwnej teorii mnogości, którzy w obliczu paradoksów negacji,

mógł… mieć nadzieję uniknąć [tych paradoksów] poprzez użycie systemu logicznego, w którym „(p) wtedy i tylko wtedy, gdy nie - (p)” było twierdzeniem dla niektórych interpretacji „(p)” bez naszego możliwość wywnioskowania z tego dowolnego arbitralnego stwierdzenia…. (Geach 1955: 71)

Mówi, że problem polega na tym, że paradoksu Curry'ego „nie można rozwiązać jedynie poprzez przyjęcie systemu, który zawiera dziwny rodzaj negacji”. Przeciwnie, „jeśli chcemy zachować naiwny pogląd na prawdę lub naiwny pogląd na klasy (…), to musimy zmodyfikować elementarne reguły wnioskowania dotyczące„ jeśli”” (1955: 72). Pogląd Geacha na znaczenie paradoksu Curry'ego jest ściśle powtórzony przez Meyera, Routleya i Dunna (1979: 127). Dochodzą do wniosku, że paradoks Curry'ego frustruje tych, którzy „mieli nadzieję, że osłabienie klasycznych zasad negacji” rozwiąże paradoks Russella. [20]

Krótko mówiąc, chodzi o to, że istnieją nieklasyczne logiki ze słabymi zasadami negacji, które rozwiązują paradoks Russella i Kłamcę, a jednocześnie pozostają podatne na paradoks Curry'ego. To są logiki z następującymi funkcjami:

  • (a) Mogą służyć jako podstawa nietrywialnej teorii, zgodnie z którą pewne zdanie jest niezastąpione z własną negacją.
  • (b) Nie mogą służyć jako podstawa nietrywialnej teorii, która jest kompletna w Curry.

Chociaż nie jest jasne, jakie logiki mógł mieć na myśli Geach, rzeczywiście istnieją logiki nieklasyczne, które spełniają te dwa warunki. Teorie oparte na tych logikach pozostają zatem podatne na paradoks Curry'ego.

5.1.1 Sfrustrowane rozwiązania parakonsystentne

Meyer, Routley i Dunn (1979) zwracają uwagę na jedną klasę logiki, która spełnia warunki (a) i (b). Należą do logik parakonsystentnych, czyli logik, zgodnie z którymi zdanie wraz z jego zaprzeczeniem nie pociągnie za sobą żadnego arbitralnego zdania. Logiki parakonsystencji można użyć do uzyskania teorii, które rozwiązują paradoks Russella i Kłamcę, przyjmując sprzeczność negacji bez ulegania błahości.

Zgodnie z taką teorią (mathcal {T}) zdania (lambda) i (lnot / lambda) mogą być zastępowalne, o ile oba (vdash _ { mathcal {T} } lambda) i (vdash _ { mathcal {T}} lnot / lambda). Takie teorie są „żarłoczne” w tym sensie, że afirmują jakieś zdanie wraz z jego zaprzeczeniem (patrz wpis o dialeteizmie). Jednak szereg wybitnych parakonsystentnych logik nie może służyć jako podstawa teorii Curry-complete pod groźbą błahości. Czasami mówi się, że taka logika nie jest „parakonsystentna Curry” (Slaney 1989). [21]

5.1.2 Sfrustrowane rozwiązania Paracomplete

Wiele nieklasycznych logik, które zostały zaproponowane w celu zagwarantowania odpowiedzi na paradoks Russella i paradoks kłamcy, to logiki paracomplete, logiki odrzucające prawo wykluczonego środka. Te logiki umożliwiają tworzenie „rozwlekłych” teorii. W szczególności, gdy (lambda) i (lnot / lambda) są wzajemnie zastępowalne zgodnie z taką teorią (mathcal {T}), nie będzie tak, że (vdash _ { mathcal {T}} lambda / lor / lnot / lambda). Niektóre z tych logiki paracomplete również spełniają warunki (a) i (b).

Jednym z przykładów jest logika Ł (_ {3}) oparta na trójwartościowych tablicach prawdy Łukasiewicza (patrz np. Priest 2008). Ponieważ spełnia warunek (a), Ł (_ {3}) oferuje możliwą odpowiedź na paradoks Russella, a Kłamcę - w szczególności lukę. Jednak weźmy pod uwagę iterowane warunkowe (alpha { rightarrow} (alpha { rightarrow} beta)), które skracamy jako (alpha / Rightarrow / beta). Załóżmy, że zdanie Curry'ego dla (pi) i teorii opartej na Ł (_ {3}) (mathcal {T}) jest przedefiniowane na dowolne zdanie (kappa) i można je zastąpić (kappa / Rightarrow / pi). Wtedy (mathcal {T}) spełni wszystkie warunki lematu Curry-Paradox, jak po raz pierwszy zauważył Moh (1954). Stąd, jeśli istnieje (kappa), który można zastąpić (kappa / Rightarrow / pi) zgodnie z (mathcal {T}), (vdash _ { mathcal { T}} pi). W konsekwencji Ł (_ {3}) nie gwarantuje odpowiedzi na paradoks Curry'ego.[22]

Podsumowując: paradoks Curry'ego stoi na przeszkodzie niektórym innym dostępnym sposobom rozwiązania paradoksów semantycznych za pomocą teorii żarłocznych lub niedbałych. W rezultacie potrzeba uniknięcia paradoksu Curry'ego odegrała znaczącą rolę w rozwoju logiki nieklasycznej (np. Priest 2006; Field 2008).

5.2 Wskazując na ogólną strukturę paradoksu

Wolny od negacji status paradoksu Curry'ego ma znaczenie z drugiego powodu. Prior zwraca uwagę na następującą ważną kwestię:

Możemy… powiedzieć nie tylko, że paradoks Curry'ego nie pociąga za sobą negacji, ale nawet paradoks Russella zakłada tylko te właściwości negacji, które ma implikacje. (Przed 1955: 180) [23]

Ma na myśli to, że paradoks Russella i paradoks Curry'ego można rozumieć jako wynikające z tej samej ogólnej struktury, której instancję można określić za pomocą negacji lub warunku. [24]

Ogólną strukturę można wyjaśnić, definiując typ jednowarstwowego łącznika, który powoduje paradoks Curry'ego i pokazując, jak ten typ jest zilustrowany zarówno przez negację, jak i przez jednoargumentowy łącznik zdefiniowany w kategoriach warunkowej.

Definicja 3 (łącznik Curry) Niech (pi) będzie zdaniem w języku teorii (mathcal {T}). Jednoargumentowy łącznik (odot) jest łącznikiem Curry dla (pi) i (mathcal {T}), pod warunkiem, że spełnia dwie zasady:

(tag {P1} textrm {If} vdash _ { mathcal {T}} alpha / textrm {and} vdash _ { mathcal {T}} odot / alpha / textrm {then} vdash _ { mathcal {T}} pi.) (tag {P2} textrm {If} alpha / vdash _ { mathcal {T}} odot / alpha / textrm {then} vdash _ { mathcal {T}} odot / alpha.)

Uogólniony lemat paradoksu Curry'ego Załóżmy, że (mathcal {T}) jest takie, że Id zachowuje i że dla jakiejś pary zdań (pi) i (mu), (i) (mu) i (odot / mu) są zastępowalne zgodnie z (mathcal {T}) a (ii) (odot) jest łącznikiem Curry dla (pi) i (mathcal { T}). W takim przypadku (vdash _ { mathcal {T}} pi). [25]

Dowód:

(begin {array} {rll} 1 & / mu / vdash _ { mathcal {T}} mu & / textrm {Id} / 2 & / mu / vdash _ { mathcal {T}} odot / mu & / textrm {1 Curry-intersubstitutivity} / 3 & / vdash _ { mathcal {T}} odot / mu & / textrm {2 P2} / 4 & / vdash _ { mathcal {T}} mu & / textrm {3 Curry-intersubstitutivity} / 5 & / vdash _ { mathcal {T}} pi & / textrm {3, 4 P1} / \ end {array})

Uogólniony lemat paradoksu Curry'ego można teraz utworzyć na dwa różne sposoby, tak aby uzyskać paradoks Curry'ego lub paradoks negacji:

  • Aby uzyskać paradoks Curry'ego, niech jednoargumentowy łącznik (odot) będzie taki, że (odot / alpha) jest (alpha { rightarrow} pi) i niech (mu) będzie zdanie intersubstitutable z (mu { rightarrow} pi) zgodnie z (mathcal {T}). Wtedy P1 sprowadza się do wystąpienia MP użytego w naszym wyprowadzeniu lematu Curry-Paradox, podczas gdy P2 to nic innego jak nasza reguła Cont.

    (tag {MP} textrm {If} vdash _ { mathcal {T}} alpha { rightarrow} beta / textrm {and} vdash _ { mathcal {T}} alpha / textrm {then} vdash _ { mathcal {T}} beta) (tag {Cont} textrm {If} alpha / vdash _ { mathcal {T}} alpha { rightarrow} beta / textrm {then} vdash _ { mathcal {T}} alpha { rightarrow} beta)

  • Aby uzyskać paradoks negacji, niech (odot / alpha) będzie (lnot / alpha) i niech (mu) będzie zdaniem, które można zastąpić (lnot / mu) zgodnie z (mathcal {T}). [26] Wtedy P1 jest przykładem quodlibet ex contradictione (lub „eksplozji”), podczas gdy P2 jest zasadą reductio.

    (tag {ECQ} textrm {If} vdash _ { mathcal {T}} alpha / textrm {and} vdash _ { mathcal {T}} lnot / alpha / textrm {then} vdash _ { mathcal {T}} beta) (tag {Red} textrm {If} alpha / vdash _ { mathcal {T}} lnot / alpha / textrm {then} vdash _ { mathcal {T}} lnot / alpha)

Chodzi o to, że cechy negacji, które są istotne dla paradoksu Russella lub paradoksu Kłamcy, są wyczerpane przez jej status łącznika Curry. To wyjaśnia, dlaczego te paradoksy nie zależą od cech negacji, takich jak wykluczona środkowa lub podwójna eliminacja negacji, które nie są zgodne z nieklasycznymi teoriami, w których negacja pozostaje łącznikiem Curry (np. W teoriach intuicjonistycznych, w których ECQ i czerwony oba utrzymują). [27]

Co więcej, łącznik Curry nie musi wcale przypominać negacji. Może nie być nawet minimalną negacją (patrz wpis o negacji), ponieważ nie musi być zgodny z prawem podwójnego wprowadzenia:

(tag {DI} alpha / vdash _ { mathcal {T}} odot / odot / alpha.)

Na przykład załóżmy, że (odot / alpha) to (alpha { rightarrow} pi). Wtedy, aby (odot) był posłuszny DI, musiałoby być tak, że (alpha / vdash _ { mathcal {T}} (alpha { rightarrow} pi) { rightarrow} Liczba Pi). Zasada ta jest naruszana przez szereg nieklasycznych teorii, dla których (odot), zdefiniowane w ten sposób, kwalifikuje się jako łącznik Curry. [28]

Podsumowując: paradoks Curry'ego wskazuje na ogólną strukturę, na którą składa się szeroki zakres paradoksów. Ta struktura sama w sobie nie zawiera negacji, ale jest również przejawiana przez paradoksy, które (w przeciwieństwie do paradoksu Curry'ego) zasadniczo obejmują negację, takie jak paradoks Russella i paradoks Kłamcy.

Kwestia, które paradoksy mają wspólną strukturę, staje się istotna w świetle „zasady jednolitego rozwiązania”, która miała wpływ na Priesta (1994). Zgodnie z tą zasadą paradoksy, które należą do „tego samego rodzaju”, powinny otrzymać „takie samo rozwiązanie”. Załóżmy, że w następujący sposób ograniczamy jeden rodzaj paradoksu:

Definicja 4 (Uogólniony paradoks Curry'ego) Mamy uogólniony paradoks Curry'ego w każdym przypadku, gdy założenia zawarte w Uogólnionym lemacie Curry-Paradoks wydają się obowiązywać.

Zakładając, że akceptuje się zasadę jednolitego rozwiązania, powstaje pytanie, co liczy się jako zaproponowanie jednolitego rozwiązania wszystkich uogólnionych paradoksów Curry'ego. W szczególności, czy wystarczy wykazać, dla każdego rodzaju tak określonego rodzaju, że to, co wydaje się być łącznikiem Curry, w rzeczywistości nim nie jest? Wydawałoby się, że to rzeczywiście powinno wystarczyć. Nie jest jasne, dlaczego jednolitość powinna dodatkowo wymagać, aby wszystkie pozorne łączniki Curry nie kwalifikowały się jako takie z powodu naruszenia tego samego warunku. Na przykład przypuśćmy, że zarówno negacja, jak i nasza jednoargumentowa łącznik zdefiniowana za pomocą ({ rightarrow}) wydają się spełniać uogólnioną zasadę P2, w pierwszym przypadku, ponieważ ({ lnot}) wydaje się być posłuszne Czerwonemu, aw drugim przypadku, ponieważ ({ rightarrow}) wydaje się być posłuszne Cont. Chyba że te dwa wystąpienia mają wspólne źródło (np.ukryte poleganie na strukturalnym skurczu, jak twierdzi Zardini 2011), nie powinno być nic niejednolitego w przyjmowaniu jednego wyglądu za dobrą monetę, a odrzucaniu drugiego jako zwodniczego. (Omówienie tutaj kwestii filozoficznej, zastosowanej do innej klasy paradoksów, patrz wymiana w Smith 2000 i Priest 2000.)

Jeśli to prawda, dezyderat, zgodnie z którym uogólnione paradoksy Curry'ego zostaną rozwiązane w jednolity sposób, nie musi rozróżniać między różnymi logicznie nowatorskimi rozwiązaniami, które były poszukiwane. Obejmują one następujące trzy opcje:

  • Można by uważać, że tylko zasada P1 zawodzi, gdy (odot / alpha) jest tworzona jako (lnot / alpha) (aby uzyskać paradoks negacji), podczas gdy tylko P2 zawodzi, gdy (odot / alpha) jest tworzona jako (alpha { rightarrow} pi) (aby uzyskać paradoks Curry'ego). Przy takim podejściu ECQ i Cont zawodzą, podczas gdy Red i MP trzymają (Priest 1994, 2006).
  • Można by twierdzić, że samo P2 nie działa dla obu instancji (odot). Przy takim podejściu Red i Cont zawodzą, podczas gdy ECQ i MP utrzymują (Field 2008; Zardini 2011).
  • Można by uważać, że samo P1 nie powiedzie się dla obu instancji (odot). Przy takim podejściu ECQ i MP zawodzą, podczas gdy Red i Cont trzymają (Beall 2015; Ripley 2013).

Tak więc, na przykład, własne podejście Kapłana liczyłoby się jako rozwiązanie paradoksu Curry'ego, a paradoks Kłamcy jednolicie jako przykłady uogólnionego paradoksu Curry'ego. Byłoby tak pomimo faktu, że Kapłan ocenia zdania Kłamcy zarówno jako prawdziwe, jak i fałszywe, podczas gdy odrzuca twierdzenie, że zdania Curry są prawdziwe.

W każdym razie paradoks Curry'ego rodzi wyzwania w związku z pytaniem, jakiego rodzaju jednolitości należy wymagać od rozwiązań różnych paradoksów (zob. Także Zardini 2015). Sam ksiądz zwraca uwagę na pewien rodzaj paradoksu węższego niż uogólnione paradoksy Curry, rodzaj, którego przykłady obejmują paradoksy negacji, ale wykluczają paradoks Curry'ego. Ten rodzaj został wybrany przez Priest's „Inclosure Schema” (2002); zobacz wpis o samoodniesieniu. Jeden toczący się spór dotyczy tego, czy może istnieć wersja paradoksu Curry'ego, która liczy się jako „paradoks inkluzji”, chociaż opiera się ona jednorodnemu dialetycznemu rozwiązaniu takich paradoksów przez Priesta (patrz wymiana w Beall 2014b, Weber et al. 2014 oraz Beall 2014a, a także Pleitz 2015).

6. Curry ważności

W ostatnim dziesięcioleciu (od daty tej wersji tego wpisu) nastąpił gwałtowny wzrost zainteresowania paradoksami Curry, a być może zwłaszcza tym, co zostało nazwane paradoksami ważności Curry lub v-Curry (Whittle 2004; Shapiro 2011; Beall & Murzi 2013). [29] V-Curry obejmuje zdania Curry, które konkretnie odwołują się do konsekwencji teorii lub relacji „słuszności”, używając warunku lub orzeczenia, które rzekomo wyraża relację teorii (mathcal {T}) (vdash_ / mathcal {T}) w języku samego (mathcal {T}).

6.1 Połączony formularz

Dla jednej formy paradoksu v-Curry, niech warunek wymieniony w definicji zdania Curry (Definicja 1) będzie konsekwencją łączącą ({ Rightarrow}). Zdanie, w którym głównym operatorem jest ({ Rightarrow}), należy interpretować następująco: „To (p) pociąga za sobą (zgodnie z (mathcal {T})) to (q)”. Natychmiast otrzymujemy teraz wersje paradoksu Curry'ego z teorii własności, teorii zbiorów lub teorii prawdy, pod warunkiem, że ({ Rightarrow}) spełnia warunki MP i Cont z lematu Curry-Paradox.

To, co sprawia, że ten przykład lematu paradoksu Curry'ego jest szczególnie kłopotliwy, to fakt, że stanowi on przeszkodę dla jednej wspólnej odpowiedzi na paradoks Curry'ego, a mianowicie odpowiedzi słabo wolnej od skurczów, omówionej w sekcji 4.2.1. Odpowiedź ta polegała na odrzuceniu reguły CP dowodu warunkowego z jednym przesłaniem, jednego z kierunków „twierdzenia o dedukcji” z pojedynczym przesłaniem. Ale jest to reguła, której trudno było się oprzeć, aby uzyskać łącznik konsekwencji (Shapiro 2011; Weber 2014; Zardini 2013). Jeśli (beta) jest konsekwencją (alpha) zgodnie z relacją konsekwencji teorii (mathcal {T}), gdzie ta teoria ma ({ Rightarrow}) jako własną konsekwencję connective, to (mathcal {T}) z pewnością musi zawierać roszczenie konsekwencji (alpha { Rightarrow} beta). Podobnie, ta różnorodność paradoksu Curry'ego stanowi przeszkodę dla odpowiedzi bez oderwania,które wymagają odrzucenia reguły MP. Jeśli teoria łącząca z własną konsekwencją zawiera zarówno (alpha), jak i konsekwencję warunkową (alpha { Rightarrow} beta), to z pewnością musi zawierać również (beta). A przynajmniej tak się wydawało. Prawdą jest, że zwolennik odpowiedzi słabo wolnej od oderwania będzie argumentował, że MP dla ({ Rightarrow}) nielegalnie buduje przechodniość (patrz sekcja 4.2.2). Jednak to, co wydaje się nieuniknione, to odwrotność CP, reguła CCP, która jest drugim kierunkiem twierdzenia o dedukcji z jednym przesłaniem. Jeśli teoria zawiera konsekwencję warunkową (alpha { Rightarrow} beta), to z pewnością (beta) wynika z (alpha) zgodnie z teorią. To nadal wykluczałoby reakcję zdecydowanie wolną od oderwania. Jeśli teoria łącząca z własną konsekwencją zawiera zarówno (alpha), jak i konsekwencję warunkową (alpha { Rightarrow} beta), to z pewnością musi zawierać również (beta). A przynajmniej tak się wydawało. Prawdą jest, że zwolennik odpowiedzi słabo wolnej od oderwania będzie argumentował, że MP dla ({ Rightarrow}) nielegalnie buduje przechodniość (patrz sekcja 4.2.2). Jednak to, co wydaje się nieuniknione, to odwrotność CP, reguła CCP, która jest drugim kierunkiem twierdzenia o dedukcji z jednym przesłaniem. Jeśli teoria zawiera konsekwencję warunkową (alpha { Rightarrow} beta), to z pewnością (beta) wynika z (alpha) zgodnie z teorią. To nadal wykluczałoby reakcję zdecydowanie wolną od oderwania. Jeśli teoria łącząca z własną konsekwencją zawiera zarówno (alpha), jak i konsekwencję warunkową (alpha { Rightarrow} beta), to z pewnością musi zawierać również (beta). A przynajmniej tak się wydawało. Prawdą jest, że zwolennik odpowiedzi słabo wolnej od oderwania będzie argumentował, że MP dla ({ Rightarrow}) nielegalnie buduje przechodniość (patrz sekcja 4.2.2). Jednak to, co wydaje się nieuniknione, to odwrotność CP, reguła CCP, która jest drugim kierunkiem twierdzenia o dedukcji z jednym przesłaniem. Jeśli teoria zawiera konsekwencję warunkową (alpha { Rightarrow} beta), to z pewnością (beta) wynika z (alpha) zgodnie z teorią. To nadal wykluczałoby reakcję zdecydowanie wolną od oderwania.wydawało się. Prawdą jest, że zwolennik odpowiedzi słabo wolnej od oderwania będzie argumentował, że MP dla ({ Rightarrow}) nielegalnie buduje przechodniość (patrz sekcja 4.2.2). Jednak to, co wydaje się nieuniknione, to odwrotność CP, reguła CCP, która jest drugim kierunkiem twierdzenia o dedukcji z jednym przesłaniem. Jeśli teoria zawiera konsekwencję warunkową (alpha { Rightarrow} beta), to z pewnością (beta) wynika z (alpha) zgodnie z teorią. To nadal wykluczałoby reakcję zdecydowanie wolną od oderwania.wydawało się. Prawdą jest, że zwolennik odpowiedzi słabo wolnej od oderwania będzie argumentował, że MP dla ({ Rightarrow}) nielegalnie buduje przechodniość (patrz sekcja 4.2.2). Jednak to, co wydaje się nieuniknione, to odwrotność CP, reguła CCP, która jest drugim kierunkiem twierdzenia o dedukcji z jednym przesłaniem. Jeśli teoria zawiera konsekwencję warunkową (alpha { Rightarrow} beta), to z pewnością (beta) wynika z (alpha) zgodnie z teorią. To nadal wykluczałoby reakcję zdecydowanie wolną od oderwania. Jeśli teoria zawiera konsekwencję warunkową (alpha { Rightarrow} beta), to z pewnością (beta) wynika z (alpha) zgodnie z teorią. To nadal wykluczałoby reakcję zdecydowanie wolną od oderwania. Jeśli teoria zawiera konsekwencję warunkową (alpha { Rightarrow} beta), to z pewnością (beta) wynika z (alpha) zgodnie z teorią. To nadal wykluczałoby reakcję zdecydowanie wolną od oderwania.

6.2 Formularz orzeczenia

Druga forma paradoksu v-Curry'ego pojawia się dla teorii (mathcal {T} _V), której przedmiotem jest relacja konsekwencji z pojedynczym założeniem (vdash _ { mathcal {T} _ {V}}) która zachodzi, zgodnie z tą samą teorią, między zdaniami w swoim języku. [30] Niech ta relacja zostanie wyrażona przez predykat (Val (x, y)) i załóżmy dalej, że istnieje zdanie (chi), które jest albo (Val (langle / chi / rangle, / langle / pi / rangle)), lub jest co najmniej wymienne z tym ostatnim zgodnie z (mathcal {T} _V). Jedna z form paradoksu v-Curry'ego wykorzystuje dwie zasady rządzące (Val), które nazywamy „oderwaniem ważności” i „dowodem ważności” za Beall i Murzi (2013).

(tag {VD} textrm {If} gamma / vdash _ { mathcal {T} _ {V}} Val (langle / alpha / rangle, / langle / beta / rangle) textrm {and} gamma / vdash _ { mathcal {T} _ {V}} alpha / textrm {then} gamma / vdash _ { mathcal {T} _ {V}} beta) (tag {VP} textrm {If } alpha / vdash _ { mathcal {T} _ {V}} beta / textrm {then} vdash _ { mathcal {T} _ {V}} Val (langle / alpha / rangle, / langle / beta / rangle))

Korzystając z tych zasad, otrzymujemy następujący szybki argument dla (vdash _ { mathcal {T} _ {V}} pi).

(begin {array} {rll} 1 & / chi / vdash _ { mathcal {T} _ {V}} chi & / textrm {Id} / 2 & / chi / vdash _ { mathcal {T} _ {V}} Val (langle / chi / rangle, / langle / pi / rangle) & / textrm {2 Curry-intersubstitutivity} / 3 & / chi / vdash _ { mathcal {T} _ {V}} pi & / textrm {1, 2 VD} / 4 & / vdash _ { mathcal {T} _ {V}} Val (langle / chi / rangle, / langle / pi / rangle) & / textrm {3 VP} / 5 & / vdash _ { mathcal {T} _ {V}} chi & / textrm {4 Curry-intersubstitutivity} / 6 & / vdash _ { mathcal {T} _ {V}} pi & / textrm { 4, 5 VD} / \ end {array})

W zastosowaniu do tej formy predykatu v-Curry, słabo wolna od skurczu odpowiedź oparłaby się „skurczowi” od kroku 2 do kroku 4, odrzucając regułę VP, a odpowiedź wolna od oderwania odrzuciłaby VD, nawet przy zerowej forma przesłanki zastosowana w kroku 6. Jednak ponownie zarówno VP, jak i VD z przesłanką zerową wydawały się nieuniknione w świetle zamierzonej interpretacji predykatu (Val) (Beall & Murzi 2013; Murzi 2014; Murzi & Shapiro 2015; Priest 2015; Zardini 2014). [31] Wreszcie, nawet jeśli VD jest odrzucane jako nielegalnie wiążące się z przechodniością, to, co wydaje się nieuniknione, jest odwrotnością VP. Jeśli tak, to przynajmniej wykluczyłoby reakcję zdecydowanie wolną od oderwania.

Prawdopodobnie mocniejszą wersję rozumowania v-Curry przedstawili Shapiro (2013) i Field (2017: 7). To rozumowanie może przybrać formę łączącą lub predykatu, ale nie zależy od CP ani VP. Tutaj podajemy postać predykatu za pomocą (Val). Jak powyżej, najpierw wyprowadzamy (chi / vdash _ { mathcal {T} _ {V}} pi) używając VD. Biorąc pod uwagę znaczenie (Val), wniosek, że (chi / vdash _ { mathcal {T} _ {V}} pi) pokazuje, że (Val (langle / chi / rangle, / langle / pi / rangle)) jest prawdą, tj. że (chi) jest prawdą. Ale jeśli (chi) jest prawdą i (chi / vdash _ { mathcal {T} _ {V}} pi), to wydaje się, że (pi) również musi być prawdziwe. Ponieważ słabo wolne od oderwania (nieprzechodnie) odpowiedzi na v-Curry pozwalają na wyprowadzenie (chi / vdash _ { mathcal {T} _ {V}} pi), to rozumowanie również sprzeciwia się takim odpowiedziom.

6.3 Znaczenie

Jeśli w rzeczywistości paradoksy v-Curry nie są podatne na słabo wolne od skurczów lub silnie wolne od oderwania odpowiedzi, to (zakładając, że zasada Id jest zachowana) przestrzeń odpowiedzi Curry-Complete jest ograniczona do silnie wolnych od skurczów i słabo odpowiedzi bez oderwania. Poprzednie odpowiedzi, jak wyjaśniono w sekcji 4.2.1, są zazwyczaj przedstawiane przez przeformułowanie modus ponens (lub odłączenie predykatu ważności) w podstrukturalnym systemie dedukcyjnym i odrzucenie strukturalnej reguły skrócenia sCont. Te ostatnie odpowiedzi, jak wyjaśniono w sekcji 4.2.2, odrzucają strukturalną zasadę przechodniości. Z tego powodu paradoksy v-Curry były czasami brane pod uwagę jako motywacja do relacji konsekwencji substrukturalnych (np. Barrio i in. W przygotowaniu; Beall & Murzi 2013; Ripley 2015a; Shapiro 2011, 2015). [32]

Ożywiona i szeroko zakrojona debata na temat paradoksów v-Curry zaowocowała prawdziwym postępem w zrozumieniu paradoksów Curry. Ostatecznie stało się jasne, że chociaż paradoksy v-Curry mogą wymagać innych rozwiązań niż paradoksy inne niż v-Curry, pozostają w tej samej formie, co uogólnione paradoksy Curry. W szczególności w ogólnym szablonie sekcji 5.2 można przyjąć (odot) do wyrażenia (jako predykatu lub jako łącznika) konsekwencji w świetle samego (vdash_ / mathcal {T}). To jest serce v-Curry. Ponieważ istnieje (wiele) różnych (formalnych) relacji konsekwencji, które można zdefiniować w naszym języku (np. Konsekwencja logiczna na mocy słownictwa logicznego, konsekwencja epistemiczna dzięki słownictwu logicznemu plus epistemicznemu itd.), Istnieje wiele różnych -Curry paradoksy, które mogą się pojawić. Nadal,Przestrzeń rozwiązań tych paradoksów jest przestrzenią rozwiązań uogólnionych paradoksów Curry, których omówiono w tym wpisie.

Pozostają jednak co najmniej dwa powody, dla których paradoksy v-Curry zasługują na osobną uwagę. Po pierwsze, jak wspomniano powyżej, dwie kategorie rozwiązań Curry-Complete - słabo wolne od skurczów i silnie wolne od oderwania - okazały się szczególnie problematyczne w przypadku paradoksów v-Curry. Po drugie, przypuśćmy, że ktoś traktuje zwykły paradoks Curry (teoria właściwości, teoria zbiorów lub semantyczny) w sposób kompletny Curry. Nadal może istnieć powód, by traktować odpowiedni (łącznik lub predykat) paradoks v-Curry w sposób niekompletny Curry, być może z racji postrzegania relacji konsekwencji teorii jako zasadniczo nie do uchwycenia przez jakiekolwiek łącznik lub orzeczenie w języku tej teorii (patrz np. Myhill 1975; Whittle 2004). A zatem,„niejednolite” rozwiązanie zwykłych paradoksów Curry i ich odpowiedników w v-Curry może - po raz kolejny - być motywowaną niejednorodnością.[33]

Bibliografia

Kluczowe źródła historyczne

  • Curry, Haskell B., 1942a, „The Combinatory Foundations of Mathematical Logic”, Journal of Symbolic Logic, 7 (2): 49–64. doi: 10.2307 / 2266302
  • –––, 1942b, „The Inconsistency of Certain Formal Logics”, Journal of Symbolic Logic, 7 (3): 115–117. doi: 10.2307 / 2269292
  • Curry, Haskell B. i Robert Feys, 1958, Combinatory Logic, tom 1, Amsterdam: North-Holland.
  • Fitch, Frederic B., 1952, Logika symboliczna: wprowadzenie, Nowy Jork: Ronald Press Company.
  • Geach, PT, 1955, „On Insolubilia”, Analysis, 15 (3): 71–72. doi: 10.1093 / analys / 15.3.71
  • Löb, MH, 1955, „Rozwiązanie problemu Leona Henkina”, Journal of Symbolic Logic, 20 (2): 115–118. doi: 10.2307 / 2266895
  • Meyer, Robert K., Richard Routley i J. Michael Dunn, 1979, „Curry's paradox”, Analysis, 39 (3): 124–128. doi: 10.1093 / analys / 39.3.124
  • Moh Shaw-Kwei, 1954, „Logical Paradoxes for Many-Valued Systems”, Journal of Symbolic Logic, 19 (1): 37–40. doi: 10.2307 / 2267648
  • Przed, AN, 1955, „Paradoks Curry'ego i logika 3-wartościowa”, Australasian Journal of Philosophy, 33 (3): 177–82. doi: 10.1080 / 00048405585200201

Inne referencje

  • Anderson, Alan Ross, 1975, „Fitch on Consistency”, w: Anderson, Marcus i Martin 1975: 123–141.
  • Anderson, Alan Ross i Nuel D. Belnap, Jr., 1975, Entailment: the Logic of Relevance and Necessity, tom 1, Princeton, NJ: Princeton University Press.
  • Anderson, Alan Ross, Ruth Barcan Marcus i RM Martin (red.), 1975, The Logical Enterprise, New Haven, CT: Yale University Press.
  • Ashworth, EJ, 1974, Język i logika w okresie post-średniowiecza, Dordrecht: Reidel.
  • Bacon, Andrew, 2015, „Paradoxes of Logical Equivalence and Identity”, Topoi, 34 (1): 89–98. doi: 10.1007 / s11245-013-9193-8
  • Barrio, Eduardo, Lucas Rosenblatt i Diego Tajer, w przygotowaniu „Capturing Naive Validity in the Cut-Free Approach”, Synthese, pierwsze dostępne online 1 września 2016 r. Doi: 10.1007 / s11229-016-1199-5
  • Beall, Jc, 2009, Spandrels of Truth, Oxford: Oxford University Press. doi: 10.1093 / acprof: oso / 9780199268733.001.0001
  • –––, 2014a, „End of Inclosure”, Mind, 123 (491): 829–849. doi: 10.1093 / mind / fzu075
  • –––, 2014b, „Finding Tolerance Without Gluts”, Mind, 123 (491): 791–811. doi: 10.1093 / mind / fzu081
  • –––, 2015, „Wolni od dystansu: logika, racjonalność i przepych”, Noûs, 49 (2): 410–423. doi: 10.1111 / nous.12029
  • Beall, Jc i Julien Murzi, 2013, „Two Flavours of Curry's Paradox”, Journal of Philosophy, 110 (3): 143–165. doi: 10,5840 / jphil2013110336
  • Bimbó, Katalin, 2006, „Curry-Type Paradoxes”, Logique & Analyze, 49 (195): 227–240.
  • Brady, Ross, 2006, Universal Logic, Stanford, CA: CSLI Publications.
  • Bunder, MW, 1986, „Tautologies That, with An Unrestricted Compression Axiom, Lead to Inconsistency or Triviality”, Journal of Non-Classical Logic, 3 (2): 5–12.
  • Burge, Tyler, 1979, „Semantical Paradox”, Journal of Philosophy, 76 (4): 169–198. doi: 10.2307 / 2025724
  • Carnap, Rudolf, 1934, „Die Antinomien und die Unvollständigkeit der Mathematik”, Monatshefte für Mathematik, 41: 263–84.
  • –––, 1937, Logiczna składnia języka, Amethe Smeaton (tłum.), Londyn: K. Paul Trench.
  • Church, Alonzo, 1932, „Zestaw postulatów dla podstaw logiki”, Annals of Mathematics, 33 (2): 346–366. doi: 10,2307 / 1968337
  • –––, 1942, „Review: The Inconsistency of Certain Formal Logics, Haskell B. Curry”, Journal of Symbolic Logic, 7 (4): 170–71. doi: 10.2307 / 2268117
  • Cook, Roy T., 2014, „Nie ma paradoksu logicznej ważności!”, Logica Universalis, 8 (3–4): 447–467. doi: 10.1007 / s11787-014-0094-4
  • Curry, Haskell B., 1930, „Grundlagen der kombinatorischen Logik (Teile I i II)”, American Journal of Mathematics, 52: 509–36, 789–834.
  • –––, 1950, Teoria formalnej dedukowalności (Notre Dame Mathematical Lectures, 6), Notre Dame, IN: University of Notre Dame Press. [Curry 1950 dostępne online]
  • –––, 1952, „On the Definition of Negation by a Fixed Proposition in Inferential Calculus”, Journal of Symbolic Logic, 17 (2): 98–104. doi: 10.2307 / 2266240
  • Curry, Haskell B., J. Roger Hindley i Jonathan P. Seldin, 1972, Combinatory Logic, tom 2, (Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, 65), Amsterdam: Holandia Północna.
  • Field, Hartry, 2008, Saving Truth from Paradox, Oxford: Oxford University Press. doi: 10.1093 / acprof: oso / 9780199230747.001.0001
  • –––, 2017, „Disarming a Paradox of Validity”, Notre Dame Journal of Formal Logic, 58 (1): 1–19. doi: 10.1215 / 00294527-3699865
  • Fitch, Frederic B., 1969, „Metoda unikania paradoksu curry”, w: Nicholas Rescher (red.), Essays in Honor of Carl. G. Hempel, Dordrecht: Reidel, s. 255–265.
  • French, Rohan, 2016, „Structural Reflexivity and the Paradoxes of Self-Reference”, Ergo, 3 (5): 113–131. doi: 10.3998 / ergo.12405314.0003.005
  • Glanzberg, Michael, 2001, „Kłamca w kontekście”, Filozofia, 103 (3): 217–251. doi: 10.1023 / A: 1010314719817
  • –––, 2004, „A Contextual-Hierarchical Approach to Truth and the Liar Paradox”, Journal of Philosophical Logic, 33 (1): 27–88. doi: 10.1023 / B: LOGI.0000019227.09236.f5
  • Goldstein, Laurence, 2000, „A Unified Solution to Some Paradoxes”, Proceedings of the Aristotelian Society, 100 (1): 53–74. doi: 10.1111 / j.0066-7372.2003.00003.x
  • Goodship, Laura, 1996, „On Dialethism”, Australasian Journal of Philosophy, 74 (1): 153–161. doi: 10.1080 / 00048409612347131
  • Grelling, Kurt i Leonard Nelson, 1908, „Bemerkungen zu den Paradoxien von Russell und Burali-Forti”, Abhandlungen der Fries'schen Schule, 2: 301–334.
  • Gupta, Anil i Nuel Belnap, 1993, The Revision Theory of Truth, Cambridge, MA: MIT Press.
  • Halbach, Volker i Albert Visser, 2014, „The Henkin Sentence”, w: Maria Manzano, Ildikó Sain i Enrique Alonso (red.), The Life and Work of Leon Henkin, (Studies in Universal Logic), Cham: Springer International, str. 249–264. doi: 10.1007 / 978-3-319-09719-0_17
  • Hanke, Miroslav, 2013, „Implied-Meaning Analysis of the Currian Conditional”, History and Philosophy of Logic, 34 (4): 367–380. doi: 10.1080 / 01445340.2013.812832
  • Hilbert, David i Paul Bernays, 1939, Grundlagen der Mathematik, tom II, Berlin: Springer.
  • Humberstone, Lloyd, 2006, „Wariacje na temat curry”, Notre Dame Journal of Formal Logic, 47 (1): 101–131. doi: 10.1305 / ndjfl / 1143468315
  • Kripke, Saul A., 1975, „Outline of a Theory of Truth”, Journal of Philosophy, 72 (19): 690–716. doi: 10.2307 / 2024634
  • Mares, Edwin i Francesco Paoli, 2014, „Logical Consequence and the Paradoxes”, Journal of Philosophical Logic, 43 (2–3): 439–469. doi: 10.1007 / s10992-013-9268-4
  • Meadows, Toby, 2014, „Fixed Points for Consequence Relations”, Logique & Analyze, 57 (227): 333–357.
  • Murzi, Julien, 2014, „Niewyrażalność ważności”, Analiza, 74 (1): 65–81. doi: 10.1093 / analys / ant096
  • Murzi, Julien and Lorenzo Rossi, w przygotowaniu, „Naïve Validity”, Synthese, pierwsze dostępne online 27 września 2017 r. Doi: 10.1007 / s11229-017-1541-6
  • Murzi, Julien i Lionel Shapiro, 2015, „Validity and Truth-Preservation”, w: Theodora Achourioti, Henri Galinon, José Martínez-Fernández i Kentaro Fujimoto (red.), Unifying the Philosophy of Truth, Dordrecht: Springer. doi: 10.1007 / 978-94-017-9673-6_22
  • Myhill, John, 1975, „Levels of Implication”, w: Anderson, Marcus i Martin 1975: 179–185.
  • Nicolai, Carlo and Lorenzo Rossi, w przygotowaniu, „Principles for Object-Linguistic Consequence: from Logical to Irreflexive”, Journal of Philosophical Logic, pierwsze dostępne w Internecie 20 czerwca 2017 r. Doi: 10.1007 / s10992-017-9438-x
  • Nolan, Daniel, 2016, „Conditionals and Curry”, Philosophical Studies, 173 (10): 2629–2649. doi: 10.1007 / s11098-016-0666-7
  • Pleitz, Martin, 2015, „Curry's Paradox and the Inclosure Scheme”, w: Pavel Arazim i Michal Dančák (red.), Logica Yearbook 2014, Londyn: College Publications.
  • Priest, Graham, 1994, „The Structure of the Paradoxes of Self-Reference”, Mind, 103 (409): 25–34. doi: 10.1093 / mind / 103.409.25
  • –––, 2000, „On the Principle of Uniform Solution: A Reply to Smith”, Mind, 109 (433): 123–126. doi: 10.1093 / mind / 109.433.123
  • –––, 2002, Beyond the Limits of Thought, Oxford: Oxford University Press. doi: 10.1093 / acprof: oso / 9780199254057.001.0001
  • –––, 2006, In Contradiction, Oxford: Oxford University Press. Wydanie rozszerzone (pierwsze wydanie 1987). doi: 10.1093 / acprof: oso / 9780199263301.001.0001
  • –––, 2008, Wprowadzenie do logiki nieklasycznej: od jeśli do jest, wydanie drugie, Cambridge: Cambridge University Press. doi: 10.1017 / CBO9780511801174
  • –––, 2015, „Fusion and Confusion”, Topoi, 34 (1): 55–61. doi: 10.1007 / s11245-013-9175-x
  • Quine, WVO, 1953, „Mr. Strawson on Logical Theory”, Mind, 62 (248): 433–451. doi: 10.1093 / mind / LXII.248.433
  • Przeczytaj, Stephen, 2001, „Self-Reference and Validity Revisited”, w: Mikko Yrjönsuuri (red.), Medieval Formal Logic, Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, s. 183–196. doi: 10.1007 / 978-94-015-9713-5_7
  • Restall, Greg, 1993, „Jak być naprawdę wolnym od skurczów”, Studia Logica, 52 (3): 381–91. doi: 10.1007 / BF01057653
  • –––, 1994, Praca doktorska O logice bez kontrakcji, The University of Queensland. [Restall 1994 dostępny online]
  • –––, 2005, „Multiple Conclusion”, w: Petr Hájek, Luis Valdés-Villanueva i Dag Westerståhl (red.), Logic, Methodology and the Philosophy of Science: Proceedings of the Twelfth International Congress, London: College Publications, str. 189–205. [Restall 2005 dostępny online]
  • Ripley, David, 2013, „Paradoxes and Failures of Cut”, Australasian Journal of Philosophy, 91: 139–164. doi: 10.1080 / 00048402.2011.630010
  • –––, 2015a, „Porównanie substrukturalnych teorii prawdy”, Ergo, 2 (13): 299–328. doi: 10.3998 / ergo.12405314.0002.013
  • –––, 2015b, „Skurcz i zamknięcie”, Myśl, 4 (2): 131–138. doi: 10.1002 / tht3.166
  • Rogerson, Susan, 2007, „Natural Deduction and Curry's Paradox”, Journal of Philosophical Logic, 36 (2): 155–179. doi: 10.1007 / s10992-006-9032-0
  • Rogerson, Susan i Greg Restall, 2004, „Routes to Triviality”, Journal of Philosophical Logic, 33 (4): 421–436. doi: 10.1023 / B: LOGI.0000036853.44128.8f
  • Rosenblatt, Lucas, 2017, „Naive Validity, Internalization, and Substructural Approaches to Paradox”, Ergo, 4 (4): 93–120. doi: 10.3998 / ergo.12405314.0004.004
  • Seldin, Jonathan P., 2006, „The Logic of Curry and Church”, w: Dov M. Gabbay and John Woods (red.), Handbook of the History of Logic, tom 5: Logic from Russell to Church, Amsterdam: Elsevier, str., 819–873.
  • Shapiro, Lionel, 2011, „Deflating Logical Consequence”, The Philosophical Quarterly, 61 (243): 320–42. doi: 10.1111 / j.1467-9213.2010.678.x
  • –––, 2013, „Validity Curry Strengthened”, Thought, 2: 100–107. doi: 10.1002 / tht3.80
  • –––, 2015, „Naive Structure, Contraction and Paradox”, Topoi, 34 (1): 75–87. doi: 10.1007 / s11245-014-9235-x
  • Simmons, Keith, 1993, Universality and the Liar: An Essay on Truth and the Diagonal Argument, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Slaney, John, 1989, „RWX in Not Curry Paraconsistent”, w: Graham Priest, Richard Routley i Jean Norman (red.), Paraconsistent Logic: Essays on the Inconsistent, Monachium: Philosophia, str. 472–480.
  • –––, 1990, „A General Logic”, Australasian Journal of Philosophy, 68 (1): 74–88. doi: 10.1080 / 00048409012340183
  • Smith, Nicholas JJ, 2000, „The Principle of Uniform Solution (of the Paradoxes of Self-Reference)”, Mind, 109 (433): 117–122. doi: 10.1093 / mind / 109.433.117
  • Tajer, Diego i Federico Pailos, 2017, „Validity in a Dialetheist Framework”, Logique & Analyze, 60 (238): 191–202.
  • van Benthem, Johan, 1978, „Four Paradoxes”, Journal of Philosophical Logic, 7 (1): 49–72. doi: 10.1007 / BF00245920
  • Wansing, Heinrich and Graham Priest, 2015, „External Curries”, Journal of Philosophical Logic, 44 (4): 453–471. doi: 10.1007 / s10992-014-9336-4
  • Weber, Zach, 2014, „Naïve Validity”, The Philosophical Quarterly, 64 (254): 99–114. doi: 10.1093 / pq / pqt016
  • Weber, Zach, David Ripley, Graham Priest, Dominic Hyde i Mark Colyvan, 2014, „Tolerating Gluts”, Mind, 123 (491): 813–828. doi: 10.1093 / mind / fzu057
  • Weir, Alan, 2015, „A Robust Non-Transitive Logic”, Topoi, 34 (1): 99–107. doi: 10.1007 / s11245-013-9176-9
  • White, Richard B., 1979, „The Consistency of the Axiom of Compression in the Infinite-Valued Predicate Logic of Łukasiewicz”, Journal of Philosophical Logic, 8 (1): 509–534. doi: 10.1007 / BF00258447
  • Whittle, Bruno, 2004, „Dialetheism, Logical Consequence and Hierarchy”, Analiza, 64: 318–26. doi: 10.1093 / analys / 64.4.318
  • Zardini, Elia, 2011, „Truth Without Contra (di) ction”, Review of Symbolic Logic, 4 (4): 498–535. doi: 10.1017 / S1755020311000177
  • –––, 2013, „Naive Modus Ponens”, Journal of Philosophical Logic, 42 (4): 575–593. doi: 10.1007 / s10992-012-9239-1
  • –––, 2014, „Naiwna prawda i naiwne właściwości logiczne”, Review of Symbolic Logic, 7 (2): 351–384. doi: 10.1017 / S1755020314000045
  • –––, 2015, „Getting One for Two, or the Contractors 'Bad Deal. Towards a Unified Solution to the Semantic Paradoxes”, w: Theodora Achourioti, Henri Galinon, José Martínez-Fernández i Kentaro Fujimoto (red.), Unifying the Philosophy of Truth, Dordrecht: Springer. doi: 10.1007 / 978-94-017-9673-6_23

Narzędzia akademickie

człowiek ikona
człowiek ikona
Jak cytować ten wpis.
człowiek ikona
człowiek ikona
Zobacz wersję PDF tego wpisu w Friends of the SEP Society.
ikona Inpho
ikona Inpho
Poszukaj tego tematu wpisu w Internet Philosophy Ontology Project (InPhO).
ikona dokumentów phil
ikona dokumentów phil
Ulepszona bibliografia tego wpisu na PhilPapers, z linkami do jego bazy danych.

Inne zasoby internetowe

[Prosimy o kontakt z autorem z sugestiami.]

Zalecane: