Normatywne Teorie Racjonalnego Wyboru: Oczekiwana Użyteczność

Spisu treści:

Normatywne Teorie Racjonalnego Wyboru: Oczekiwana Użyteczność
Normatywne Teorie Racjonalnego Wyboru: Oczekiwana Użyteczność

Wideo: Normatywne Teorie Racjonalnego Wyboru: Oczekiwana Użyteczność

Wideo: Normatywne Teorie Racjonalnego Wyboru: Oczekiwana Użyteczność
Wideo: 60 sekund z ekonomią - teoria racjonalnego wyboru (6/6) 2024, Marzec
Anonim

Nawigacja wejścia

  • Treść wpisu
  • Bibliografia
  • Narzędzia akademickie
  • Podgląd PDF znajomych
  • Informacje o autorze i cytacie
  • Powrót do góry

Normatywne teorie racjonalnego wyboru: oczekiwana użyteczność

Pierwsza publikacja: piątek, 8 sierpnia 2014; rewizja merytoryczna Czw 15.08.2019

Często musimy podejmować decyzje w warunkach niepewności. Studia na kierunku biologia mogą prowadzić do lukratywnego zatrudnienia, bezrobocia i miażdżącego zadłużenia. Wizyta u lekarza może skutkować wczesnym wykryciem i leczeniem choroby lub może być stratą pieniędzy. Teoria oczekiwanej użyteczności to opis tego, jak dokonać racjonalnego wyboru, gdy nie masz pewności, jaki wynik będzie wynikiem twoich czynów. Jego podstawowe hasło brzmi: wybierz akt o najwyższej oczekiwanej użyteczności.

W tym artykule omówiono teorię oczekiwanej użyteczności jako teorię normatywną, czyli teorię dotyczącą tego, jak ludzie powinni podejmować decyzje. W ekonomii klasycznej teoria oczekiwanej użyteczności jest często używana jako teoria opisowa - to znaczy teoria tego, jak ludzie podejmują decyzje - lub jako teoria predykcyjna - to znaczy teoria, która chociaż może nie modelować dokładnie mechanizmów psychologicznych podejmowania decyzji, prawidłowo przewiduje wybory ludzi. Teoria oczekiwanej użyteczności daje błędne prognozy dotyczące decyzji ludzi w wielu sytuacjach życiowych (patrz Kahneman i Tversky 1982); nie przesądza to jednak o tym, czy ludzie powinni podejmować decyzje na podstawie przewidywanych względów użyteczności.

Oczekiwana użyteczność aktu jest średnią ważoną użyteczności każdego z jego możliwych rezultatów, przy czym użyteczność wyniku mierzy stopień, w jakim ten wynik jest preferowany lub preferowany w stosunku do rozwiązań alternatywnych. Użyteczność każdego wyniku jest ważona zgodnie z prawdopodobieństwem, że działanie do niego doprowadzi. Rozdział 1 przedstawia tę podstawową definicję oczekiwanej użyteczności w bardziej rygorystycznych terminach i omawia jej związek z wyborem. Rozdział 2 omawia dwa typy argumentów dla teorii oczekiwanej użyteczności: twierdzenia o reprezentacji i długoterminowe argumenty statystyczne. Rozdział 3 rozważa zastrzeżenia do teorii oczekiwanej użyteczności; Rozdział 4 omawia jego zastosowania w filozofii religii, ekonomii, etyce i epistemologii.

  • 1. Definiowanie oczekiwanego narzędzia

    • 1.1 Prawdopodobieństwa warunkowe
    • 1.2 Narzędzia wyników
  • 2. Argumenty za teorią oczekiwanej użyteczności

    • 2.1 Długofalowe argumenty
    • 2.2 Twierdzenia o reprezentacji
  • 3. Zastrzeżenia do teorii oczekiwanej użyteczności

    • 3.1 Maksymalizacja oczekiwanej użyteczności jest niemożliwa
    • 3.2 Maksymalizacja oczekiwanej użyteczności jest irracjonalna
  • 4. Aplikacje

    • 4.1 Ekonomia i polityka publiczna
    • 4.2 Etyka
    • 4.3 Epistemologia
    • 4.4 Prawo
  • Bibliografia
  • Narzędzia akademickie
  • Inne zasoby internetowe
  • Powiązane wpisy

1. Definiowanie oczekiwanego narzędzia

Koncepcję oczekiwanej użyteczności najlepiej ilustruje przykład. Załóżmy, że planuję długi spacer i muszę zdecydować, czy zabrać ze sobą parasol. Wolałbym nie trzymać parasola w słoneczny dzień, ale wolałbym zmierzyć się z deszczem z parasolem niż bez niego. Mam do wyboru dwa sposoby: zabranie parasola i pozostawienie go w domu. Który z tych aktów powinienem wybrać?

Ten nieformalny opis problemu można przekształcić, nieco bardziej formalnie, w odniesieniu do trzech rodzajów podmiotów. Po pierwsze, istnieją wyniki - obiekty preferencji nieinstrumentalnych. W tym przykładzie możemy wyróżnić trzy wyniki: albo skończę na sucho i bez obciążeń; W końcu wysycham i jestem obciążony nieporęcznym parasolem; albo będę mokry. Po drugie, istnieją rzeczy-stany pozostające poza kontrolą decydenta, które mają wpływ na wynik decyzji. W tym przykładzie istnieją dwa stany: albo pada, albo nie. Wreszcie są akty - przedmioty instrumentalnych preferencji decydenta, aw pewnym sensie rzeczy, które może ona zrobić. W tym przykładzie są dwa akty: mogę albo przynieść parasolkę; lub zostaw to w domu. Teoria oczekiwanej użyteczności zapewnia sposób uszeregowania czynów według tego, na ile są one godne wyboru:im wyższa oczekiwana użyteczność, tym lepiej wybrać akt. (Dlatego najlepiej jest wybrać akt o najwyższej oczekiwanej użyteczności - lub jeden z nich, w przypadku gdy kilka aktów jest powiązanych).

Zgodnie z ogólną konwencją dokonam następujących założeń dotyczących relacji między aktami, stanami i skutkami.

  • Stany, akty i rezultaty są propozycjami, tj. Zbiorami możliwości. Istnieje maksymalny zbiór możliwości, (Omega), z których każdy stan, działanie lub wynik jest podzbiorem.
  • Zbiór aktów, zbiór stanów i zbiór wyników to wszystkie partycje na (Omega). Innymi słowy, akty i stany są tak zindywidualizowane, że każda możliwość w (Omega) to taka, w której występuje dokładnie jeden stan, agent wykonuje dokładnie jedną czynność i następuje dokładnie jeden wynik.
  • Akty i stany są logicznie niezależne, więc żadne państwo nie wyklucza wykonania jakiegokolwiek aktu.
  • Przyjmę na chwilę, że biorąc pod uwagę stan świata, każdy akt ma dokładnie jeden możliwy skutek. (Rozdział 1.1 pokrótce omawia, w jaki sposób można osłabić to założenie).

Tak więc przykład parasola można przedstawić w poniższej macierzy, w której każda kolumna odpowiada stanowi świata; każdy wiersz odpowiada aktu; a każdy wpis odpowiada wynikowi, który ma miejsce, gdy czyn jest wykonywany w stanie świata.

państwa
pada deszcz nie pada
dzieje weź parasol obciążony, suchy obciążony, suchy
zostaw parasol mokry darmowe, suche

Po skonfigurowaniu podstawowego szkieletu mogę teraz rygorystycznie zdefiniować oczekiwaną użyteczność. Oczekiwana użyteczność aktu (A) (np. Zabranie parasola) zależy od dwóch cech problemu:

  • Wartość każdego wyniku, mierzona liczbą rzeczywistą zwaną użytecznością.
  • Prawdopodobieństwo każdego wyniku zależy od (A).

Biorąc pod uwagę te trzy informacje, oczekiwana użyteczność (A) jest zdefiniowana jako:

[EU (A) = / sum_ {o / in O} P_ {A} (o) U (o))

gdzie (O) to zbiór wyników, (P_ {A} (o)) to prawdopodobieństwo wyniku (o) zależne od (A), a (U (o)) jest narzędziem (o).

Następne dwie podsekcje rozpakują funkcję prawdopodobieństwa warunkowego (P_A) i funkcję użytkową (U).

1.1 Prawdopodobieństwa warunkowe

Wyrażenie (P_ {A} (o)) reprezentuje prawdopodobieństwo (o) dane (A) - z grubsza, jak prawdopodobne jest, że wynik (o) wystąpi, przy założeniu, że agent wybiera akt (A). (Aksjomaty prawdopodobieństwa można znaleźć we wpisie dotyczącym interpretacji prawdopodobieństwa). Aby zrozumieć, co to oznacza, musimy odpowiedzieć na dwa pytania. Po pierwsze, która interpretacja prawdopodobieństwa jest właściwa? Po drugie, co to znaczy przypisać prawdopodobieństwo przy założeniu, że podmiot wybiera akt (A)?

Teoretycy oczekiwanej użyteczności często interpretują prawdopodobieństwo jako pomiar indywidualnego stopnia przekonania, tak więc twierdzenie (E) jest prawdopodobne (dla podmiotu) w takim stopniu, w jakim jest on pewien (E) (zob. Na przykład Ramsey 1926, Savage 1972, Jeffrey 1983). Ale nic w formalizmie teorii oczekiwanej użyteczności nie narzuca nam takiej interpretacji. Zamiast tego moglibyśmy interpretować prawdopodobieństwa jako obiektywne szanse (jak w von Neumann i Morgenstern 1944) lub jako stopnie przekonania, które są uzasadnione dowodami, gdybyśmy myśleli, że są one lepszym przewodnikiem do racjonalnego działania. (Zobacz wpis dotyczący interpretacji prawdopodobieństwa, aby zapoznać się z tymi i innymi opcjami).

Jakie jest prawdopodobieństwo przy założeniu, że agent wybiera (A)? Istnieją tutaj dwa podstawowe typy odpowiedzi, odpowiadające teorii decyzji dowodowej i teorii decyzji przyczynowej.

Zgodnie z dowodową teorią decyzji, zatwierdzoną przez Jeffreya (1983), odpowiednie przypuszczalne prawdopodobieństwo (P_ {A} (o)) jest prawdopodobieństwem warunkowym (P (o / mid A)), zdefiniowanym jako stosunek dwóch bezwarunkowe prawdopodobieństwa: (P (A / amp o) / P (A)).

Spohn (1977) i Levi (1991) sprzeciwiają się definicji oczekiwanej użyteczności sformułowanej przez Jeffreya, twierdząc, że decydent nie powinien przypisywać prawdopodobieństwom samym czynom będącym przedmiotem rozważań: decydując swobodnie, czy wykonać czyn (A), nie należy Weź pod uwagę swoje przekonania na temat tego, czy wykonasz (A). Jeśli Spohn i Levi mają rację, to stosunek Jeffreya jest nieokreślony (ponieważ jego mianownik jest nieokreślony).

Nozick (1969) stawia kolejny zarzut: definicja Jeffreya daje dziwne rezultaty w Problemie Newcomba. Predyktor wręcza Ci zamknięte pudełko zawierające 0 lub 1 milion USD i oferuje otwarte pudełko zawierające dodatkowe 1000 USD. Możesz albo odrzucić otwarte pudełko („jedno pudełko”), albo wziąć otwarte pudełko („dwa pudełka”). Ale jest haczyk: predyktor przewidział twój wybór z góry, a wszystkie jej przewidywania są w 90% trafne. Innymi słowy, prawdopodobieństwo, że masz jedno pudełko, biorąc pod uwagę, że przewiduje, że masz jedno pudełko, wynosi 90%, a prawdopodobieństwo, że masz dwa pudełka, biorąc pod uwagę, że przewiduje, że masz dwa pudełka, wynosi 90%. Wreszcie, zawartość zamkniętego pudełka zależy od prognozy: jeśli predyktor myślał, że będziesz miał dwa pudełka, włożyła nic do zamkniętego pudełka, a jeśli sądziła, że zrobisz jedno pudełko, włożyła 1 milion dolarów do zamkniętego pudełka. Macierz Twojej decyzji wygląda następująco:

państwa
1 milion dolarów w zamkniętym pudełku 0 $ w zamkniętym pudełku
dzieje jedno pudło 1 000 000 $ 0 USD
dwa pudełka 1 001 000 $ 1000 $

Dwa boksy dominują w jednym boksie: w każdym stanie dwa boksy dają lepszy wynik. Jednak zgodnie z definicją prawdopodobieństwa warunkowego Jeffreya, jeden boks ma wyższą oczekiwaną użyteczność niż podwójny boks. Istnieje wysokie warunkowe prawdopodobieństwo znalezienia 1 miliona dolarów w zamkniętym pudełku, biorąc pod uwagę, że masz jedno pudełko, więc jedno pudełko ma wysoką oczekiwaną użyteczność. Podobnie, istnieje wysokie warunkowe prawdopodobieństwo nie znalezienia niczego w zamkniętym pudełku, biorąc pod uwagę, że masz dwa pola, więc podwójny boks ma niską oczekiwaną użyteczność.

Teoria decyzji przyczynowych jest alternatywną propozycją, która omija te problemy. Nie wymaga (ale nadal zezwala) na działania, aby mieć prawdopodobieństwa i zaleca tworzenie dwóch pól w problemie Newcomb.

Teoria decyzji przyczynowych występuje w wielu odmianach, ale rozważę wersję reprezentatywną zaproponowaną przez Savage'a (1972), która oblicza (P_ {A} (o)) poprzez zsumowanie prawdopodobieństw stanów, które w połączeniu z aktem (A), prowadzi do wyniku (o). Niech (f_ {A, s} (o)) będzie a z wyników, które odwzorowują (o) na 1, jeśli (o) wynika z wykonania (A) w stanie s, mapy (o) do 0 w przeciwnym razie. Następnie

[P_ {A} (o) = / sum_ {s / in S} P (s) f_ {A, s} (o))

Zgodnie z propozycją Savage, podwójny boks wychodzi z wyższą oczekiwaną użytecznością niż jeden boks. Wynik ten obowiązuje bez względu na prawdopodobieństwo przypisania stanom przed podjęciem decyzji. Niech (x) będzie prawdopodobieństwem przypisanym do stanu, że w zamkniętym pudełku znajduje się 1 milion dolarów. Według Savage, oczekiwane użyteczności, odpowiednio, jednego i dwóch boksu to:

[x { cdot} U ({1 000 000 USD) + (1 - x) { cdot} U (0 USD))

i

[x { cdot} U ({1 001 000 USD}) + (1 - x) { cdot} U ({1 000 USD}))

Tak długo, jak większym kwotom pieniężnym przypisuje się ściśle większe media, druga suma (użyteczność podwójnego boksu) jest większa niż pierwsza (użyteczność jednego boksu).

Savage zakłada, że każdy czyn i stan wystarczą, aby jednoznacznie określić wynik. Ale są przypadki, w których to założenie zawodzi. Przypuśćmy, że oferujesz mi sprzedaż następującego hazardu: rzucasz monetą; jeśli moneta wyląduje orłami, wygrywam 100 $; a jeśli moneta wyląduje reszka, tracę 100 $. Ale odmawiam hazardu, a moneta nigdy nie jest rzucana. Nie ma wyniku, który by się zakończył, gdyby rzucono monetą - mógłbym wygrać 100 $, a mogłem przegrać 100 $.

Możemy uogólnić propozycję Savage'a, pozwalając (f_ {A, s}) być funkcją prawdopodobieństwa, która odwzorowuje wyniki na liczby rzeczywiste w przedziale ([0, 1]). Lewis (1981), Skyrms (1980) i Sobel (1994) utożsamiają (f_ {A, s}) z obiektywną szansą, że (o) byłby wynikiem, gdyby stan (s) został uzyskany, a agent wybrał akcję (A).

W niektórych przypadkach - najbardziej znanych w przypadku problemu Newcomba - rozpadają się definicja Jeffreya i definicja oczekiwanej użyteczności Savage'a. Ale jeśli spełnione są dwa poniższe warunki, zgadzają się.

  • Akty są probabilistycznie niezależne od stanów. Formalnie dla wszystkich aktów (A) i stanów (s), [P (s) = P (s / mid A) = / frac {P (s / amp A)} {P (A)}.) (Jest to warunek naruszony w problemie Newcomb).
  • Dla wszystkich wyników / (o), aktów (A) i stanów (s) (f_ {A, s} (o)) jest równe warunkowemu prawdopodobieństwu (o) podanemu (A) i (s); formalnie, [f_ {A, s} (o) = P (o / mid A / amp s) = / frac {P (o / amp A / amp s)} {P (A / amp s)}.) (Potrzeba tego warunku pojawia się, gdy działania i stany nie określają jednoznacznie wyniku; zob. Lewis 1981.)

1.2 Narzędzia wyników

Wyrażenie (U (o)) reprezentuje użyteczność wyniku (o) - w przybliżeniu, jak cenny jest (o). Formalnie (U) jest funkcją, która przypisuje liczbę rzeczywistą do każdego wyniku. (Jednostki powiązane z (U) są zwykle nazywane utiles, więc jeśli (U (o) = 2), mówimy, że (o) jest warte 2 utiles.) Im większa użyteczność, tym więcej cenny wynik.

Jaką wartość mierzy się w utiles? Użyteczności zwykle nie bierze się za jednostki waluty, takie jak dolary, funty czy jeny. Bernoulli (1738) argumentował, że pieniądze i inne dobra mają malejącą użyteczność krańcową: gdy agent staje się bogatszy, każdy kolejny dolar (lub złoty zegarek czy jabłko) jest dla niej mniej wartościowy niż poprzedni. Podaje następujący przykład: Dla bogatego człowieka, ale nie dla nędzarza, racjonalne jest zapłacenie 9 000 dukatów w zamian za los na loterię, który daje 50% szans na 20 000 dukatów i 50% szans na nic. Ponieważ loteria daje dwóm mężczyznom taką samą szansę na każdą nagrodę pieniężną, nagrody muszą mieć różne wartości w zależności od tego, czy gracz jest biedny, czy bogaty.

Klasyczni utylitaryści, tacy jak Bentham (1789), Mill (1861) i Sidgwick (1907) interpretowali użyteczność jako miarę przyjemności lub szczęścia. Dla tych autorów stwierdzenie, że (A) ma większą użyteczność niż (B) (dla agenta lub grupy agentów), oznacza, że (A) skutkuje większą przyjemnością lub szczęściem niż (B)) (dla tego agenta lub grupy agentów).

Jednym z zarzutów wobec takiej interpretacji użyteczności jest to, że może nie być ani jednego dobra (lub nawet żadnego dobra), do którego poszukiwania wymaga racjonalność. Ale jeśli rozumiemy „użyteczność” wystarczająco szeroko, aby objąć wszystkie potencjalnie pożądane cele - przyjemność, wiedzę, przyjaźń, zdrowie itd. - nie jest jasne, czy istnieje jedyny właściwy sposób na dokonanie kompromisów między różnymi dobrami, tak aby każdy wynik otrzymał użyteczność. Może nie ma dobrej odpowiedzi na pytanie, czy życie ascety mnicha zawiera więcej czy mniej dobra niż życie szczęśliwego libertyna - ale przypisanie użyteczności tym opcjom zmusza nas do ich porównania.

Współcześni teoretycy decyzji zazwyczaj interpretują użyteczność jako miarę preferencji, więc stwierdzenie, że (A) ma większą użyteczność niż (B) (dla agenta), jest po prostu stwierdzeniem, że agent woli (A) (B). W tym podejściu kluczowe jest, aby preferencje dotyczyły nie tylko wyników (takich jak ilość przyjemności lub kombinacja przyjemności i wiedzy), ale także niepewnych perspektyw (takich jak loteria, w której płaci się 1 milion dolarów, jeśli dana moneta wyląduje reszami, i skutkuje godziną bolesnego porażenia prądem, jeśli moneta wyląduje reszką). Rozdział 2 tego artykułu szczegółowo omawia formalny związek między preferencjami a wyborem.

Teoria oczekiwanej użyteczności nie wymaga, aby preferencje były egoistyczne lub egoistyczne. Ktoś może woleć dawanie pieniędzy na cele charytatywne niż wydawanie pieniędzy na wystawne obiady, albo wolę poświęcić własne życie niż pozwolić swojemu dziecku umrzeć. Sen (1977) sugeruje, że psychologię każdej osoby najlepiej przedstawia się za pomocą trzech rankingów: jeden reprezentuje wąski interes własny osoby, drugi reprezentuje interes własny danej osoby rozumiany szerzej w celu wyjaśnienia uczuć współczucia (np. Cierpienie podczas oglądania innej osoby) cierpieć), a trzecia reprezentuje zobowiązania danej osoby, co może wymagać od niej działania wbrew jej szeroko rozumianemu interesowi własnemu.

Broome (1991) interpretuje użyteczność jako pomiar porównań obiektywnej wyższości i goryczy, a nie osobistych preferencji: powiedzieć, że (A) ma większą użyteczność niż (B), to powiedzieć, że (A) jest obiektywnie lepsze niż (B), lub że racjonalna osoba wolałaby (A) od (B). Tak jak w formalizmie teorii prawdopodobieństwa nie ma niczego, co wymagałoby od nas stosowania prawdopodobieństw subiektywnych, a nie obiektywnych, tak samo w formalizmie teorii oczekiwanej użyteczności nie ma niczego, co wymagałoby od nas stosowania wartości subiektywnych, a nie obiektywnych.

Ci, którzy interpretują użyteczność w kategoriach osobistych preferencji, stają przed szczególnym wyzwaniem: tak zwanym problemem interpersonalnych porównań użyteczności. Podejmując decyzje dotyczące dystrybucji współdzielonych zasobów, często chcemy wiedzieć, czy nasze czyny polepszyłyby sytuację Alicji niż Bobowi, a jeśli tak, to o ile lepiej. Ale jeśli użyteczność jest miarą indywidualnych preferencji, nie ma jasnego, sensownego sposobu dokonywania takich porównań. Narzędzia Alicji są konstytuowane przez preferencje Alicji, narzędzia Boba są konstytuowane przez preferencje Boba i nie ma żadnych preferencji obejmujących Alice i Boba. Nie możemy założyć, że użyteczność Alicji 10 jest równoważna użyteczności Boba 10, podobnie jak nie możemy założyć, że uzyskanie oceny A z równań różniczkowych jest równoważne uzyskaniu oceny A z tkania koszyka.

Teraz jest dobry moment na zastanowienie się, które cechy funkcji użyteczności zawierają istotne informacje. Porównania mają charakter informacyjny: jeśli (U (o_1) gt U (o_2)) (dla osoby), to (o_1) jest lepsze niż (lub preferowane) (o_2). Ale nie tylko porównania mają charakter informacyjny - funkcja użyteczności musi zawierać inne informacje, jeśli teoria oczekiwanej użyteczności ma dać znaczące wyniki.

Aby zobaczyć, dlaczego, ponownie rozważ przykład parasolowy. Tym razem wpisałem prawdopodobieństwo dla każdego stanu i narzędzie dla każdego wyniku.

państwa
pada ((P = 0,6)) nie pada ((P = 0,4))
dzieje weź parasol obciążony, suchy ((U = 5)) obciążony, suchy ((U = 5))
zostaw parasol mokro ((U = 0)) wolny, suchy ((U = 10))

Oczekiwana użyteczność zabrania parasola to

(begin {align} EU (take) & = P _ { take} (encumbered, / dry) cdot 5 \& / quad + P _ { take} (wet) cdot 0 \& / quad + P _ { take} (free, dry) cdot 10 \& = 5 / end {align})

podczas gdy oczekiwana użyteczność pozostawienia parasola jest

(begin {align} EU (leave) & = P _ { Leave} (encumbered, / dry) cdot 5 \& / quad + P _ { leave} (wet) cdot 0 \& / quad + P _ { Leave} (free, dry) cdot 10 \& = 4 / end {align})

Ponieważ (EU (take) gt EU (leave)), teoria oczekiwanej użyteczności mówi mi, że zabranie parasola jest lepsze niż pozostawienie go.

Ale teraz załóżmy, że zmienimy użyteczność wyników: zamiast używać (U), używamy (U ').

państwa
pada ((P = 0,6)) nie pada ((P = 0,4))
dzieje weź parasol obciążony, suchy ((U '= 4)) obciążony, suchy ((U '= 4))
zostaw parasol mokro ((U '= 2)) wolny, suchy ((U '= 8))

Nowa oczekiwana użyteczność wzięcia parasola to

(begin {align} EU '(take) & = P _ { take} (encumbered, / dry) cdot 4 \& / quad + P _ { take} (wet) cdot 2 \& / quad + P _ { take} (free, dry) cdot 8 \& = 4 / end {align})

podczas gdy nowa oczekiwana użyteczność pozostawienia parasola jest

(begin {align} EU '(leave) & = P _ { Leave} (encumbered, / dry) cdot 4 \& / quad + P _ { leave} (wet) cdot 2 \& / quad + P _ { Leave} (free, dry) cdot 8 \& = 4.4 / end {align})

Ponieważ (EU '(take) lt EU' (leave)), teoria oczekiwanej użyteczności mówi mi, że pozostawienie parasola jest lepsze niż wzięcie go.

Funkcje użytkowe (U) i (U ') oceniają wyniki dokładnie w ten sam sposób: wolny, suchy jest najlepszy; obciążone, suche szeregi pośrodku; a mokro jest najgorsze. Jednak teoria oczekiwanej użyteczności daje różne rady w obu wersjach problemu. Musi więc istnieć jakaś istotna różnica między preferencjami odpowiednio opisanymi przez (U) a preferencjami odpowiednio opisanymi przez (U '). W przeciwnym razie teoria oczekiwanej użyteczności jest kapryśna i może zmienić swoje rady, gdy zostanie napotkana różnymi opisami tego samego problemu.

Kiedy dwie funkcje użyteczności reprezentują ten sam podstawowy stan rzeczy? Teoria pomiaru odpowiada na to pytanie, charakteryzując dopuszczalne transformacje funkcji użyteczności - sposoby jej zmiany, które pozostawiają wszystkie jej znaczące cechy nietknięte. Jeśli scharakteryzujemy dopuszczalne transformacje funkcji użyteczności, określimy w ten sposób, które z jej cech są znaczące.

Obrońcy teorii oczekiwanej użyteczności zazwyczaj wymagają, aby użyteczność była mierzona za pomocą skali liniowej, gdzie dopuszczalnymi przekształceniami są wszystkie i tylko dodatnie przekształcenia liniowe, tj. Funkcje (f) postaci

[f (U (o)) = x { cdot} U (o) + y)

dla liczb rzeczywistych (x / gt 0) i (y).

Pozytywne transformacje liniowe użyteczności wyników nigdy nie wpłyną na werdykty teorii oczekiwanej użyteczności: jeśli (A) ma większą oczekiwaną użyteczność niż (B), gdzie użyteczność mierzy się funkcją (U), to (A) będzie miał również większą oczekiwaną użyteczność niż (B), gdzie użyteczność jest mierzona przez dowolną dodatnią liniową transformację (U).

2. Argumenty za teorią oczekiwanej użyteczności

Po co wybierać akty, które maksymalizują oczekiwaną użyteczność? Jedną z możliwych odpowiedzi jest to, że teoria oczekiwanej użyteczności to racjonalna podstawa - to oznacza, że racjonalność oznacza przede wszystkim maksymalizację oczekiwanej użyteczności. Jednak dla tych, którzy uważają tę odpowiedź za niezadowalającą, istnieją dwa dalsze źródła uzasadnienia. Po pierwsze, istnieją argumenty długoterminowe, które opierają się na dowodach, że maksymalizacja oczekiwanej użyteczności jest opłacalną polityką w perspektywie długoterminowej. Po drugie, istnieją argumenty oparte na twierdzeniach o reprezentacji, które sugerują, że pewne racjonalne ograniczenia preferencji pociągają za sobą, że wszyscy racjonalni agenci maksymalizują oczekiwaną użyteczność.

2.1 Długofalowe argumenty

Jednym z powodów maksymalizacji oczekiwanej użyteczności jest to, że stanowi dobrą politykę w dłuższej perspektywie. Feller (1968) podaje wersję tego argumentu. Opiera się na dwóch faktach matematycznych dotyczących prawdopodobieństw: silnych i słabych prawach wielkich liczb. Oba te fakty dotyczą sekwencji niezależnych, identycznie rozłożonych prób - takiego rodzaju konfiguracji, która wynika z wielokrotnego obstawiania w ten sam sposób sekwencji obrotów ruletki lub gier w kości. Zarówno słabe, jak i mocne prawa o dużych liczbach mówią z grubsza, że na dłuższą metę średnia wartość użyteczności uzyskanej na próbę jest w przeważającej mierze zbliżona do oczekiwanej wartości indywidualnego badania.

Słabe prawo wielkich liczb mówi, że tam, gdzie każda próba ma wartość oczekiwaną (mu), dla dowolnie małych liczb rzeczywistych (epsilon / gt 0) i (delta / gt 0), tam jest jakąś skończoną liczbą prób (n), taką, że dla wszystkich (m) większych lub równych (n), z prawdopodobieństwem co najmniej (1- / delta), średnie zyski gracza pierwsze próby (m) będą znajdować się w obrębie (epsilon) (mu). Innymi słowy, w długim okresie podobnego hazardu średni zysk na próbę z dużym prawdopodobieństwem stanie się arbitralnie zbliżony do oczekiwanej wartości hazardu w określonym czasie. Zatem w skończonej perspektywie, średnia wartość związana z hazardem jest w przeważającej mierze zbliżona do wartości oczekiwanej.

Silne prawo dużych liczb mówi, że jeśli każda próba ma wartość oczekiwaną (mu), dla dowolnej dowolnej małej liczby rzeczywistej (epsilon / gt 0), wraz ze wzrostem liczby prób prawdopodobieństwo, że średnie wygrane gracza na próbę mieszczą się w zakresie (epsilon) (mu) zbiegają się do 1. Innymi słowy, gdy liczba powtórzeń hazardu zbliża się do nieskończoności, średni zysk na próbę będzie arbitralnie zbliżony do wartość oczekiwana hazardu z prawdopodobieństwem 1. Tak więc na dłuższą metę średnia wartość powiązana z hazardem jest praktycznie pewna, że równa się jego wartości oczekiwanej.

Istnieje kilka zastrzeżeń co do tych długoterminowych argumentów. Po pierwsze, wielu decyzji nie można powtórzyć w nieskończenie wielu podobnych próbach. Decyzje o tym, jaką karierę wybrać, kogo poślubić i gdzie mieszkać, na przykład, są podejmowane w najlepszym przypadku skończoną liczbę razy. Ponadto, gdy decyzje te są podejmowane więcej niż jeden raz, różne badania mają różne możliwe wyniki, z różnymi prawdopodobieństwami. Nie jest jasne, dlaczego długoterminowe rozważania dotyczące powtarzających się gier miałyby wpływać na te jednostkowe wybory.

Po drugie, argument opiera się na dwóch założeniach dotyczących niezależności, z których jedno lub oba mogą zawieść. Jedno z założeń mówi, że prawdopodobieństwa różnych prób są niezależne. Odnosi się to do gier hazardowych w kasynie, ale nie do innych wyborów, w przypadku których chcielibyśmy skorzystać z teorii decyzji - np. Wyborów dotyczących leczenia. Moja pozostała chora po jednym kursie antybiotyków zwiększa prawdopodobieństwo, że pozostanę chora po następnym kursie, ponieważ zwiększa to prawdopodobieństwo, że bakterie antybiotykooporne rozprzestrzenią się po moim organizmie. Argument ten wymaga również, aby użyteczność różnych procesów była niezależna, tak aby wygranie nagrody w jednym procesie miało taki sam wkład w ogólną użyteczność decydenta, bez względu na to, co wygrywa w innych procesach. Ale to założenie jest naruszane w wielu rzeczywistych przypadkach. Z powodu malejącej krańcowej użyteczności pieniędzy, wygranie 10 milionów dolarów w dziesięciu grach w ruletkę nie jest warte dziesięć razy więcej niż wygranie 1 miliona dolarów w jednej grze w ruletkę.

Trzeci problem polega na tym, że mocne i słabe prawa wielkich liczb są modalnie słabe. Żadne prawo nie zakłada, że gdyby hazard był powtarzany w nieskończoność (przy odpowiednich założeniach), średni zysk użyteczności na próbę byłby zbliżony do oczekiwanej użyteczności gry. Ustalają tylko, że średni zysk użyteczności na próbę byłby z dużym prawdopodobieństwem bliski oczekiwanej użyteczności gry. Ale wysokie prawdopodobieństwo - nawet prawdopodobieństwo 1 - nie jest pewnością. (Teoria prawdopodobieństwa standardowego odrzuca zasadę Cournota, która mówi, że zdarzenia z niskim lub zerowym prawdopodobieństwem nie wystąpią. Ale patrz Shafer (2005) na obronę zasady Cournota). Dla dowolnej sekwencji niezależnych, identycznie rozłożonych prób, jest możliwe dla średniej korzyści z użyteczności na proces, które arbitralnie różnią się od oczekiwanej użyteczności indywidualnego procesu.

2.2 Twierdzenia o reprezentacji

Drugi typ argumentu na rzecz teorii oczekiwanej użyteczności opiera się na tzw. Twierdzeniach o reprezentacji. Podążamy za sformułowaniem Zyndy (2000) dotyczącym tego argumentu - nieco zmodyfikowanym, aby odzwierciedlić rolę narzędzi, a także prawdopodobieństw. Argument ma trzy przesłanki:

Warunek racjonalności.

Aksjomaty teorii oczekiwanej użyteczności są aksjomatami racjonalnej preferencji.

Reprezentowalność.

Jeśli preferencje osoby są zgodne z aksjomatami teorii oczekiwanej użyteczności, wówczas można ją przedstawić jako osobę mającą stopnie przekonania zgodne z prawami rachunku prawdopodobieństwa [oraz funkcję użyteczności taką, że woli ona działania o wyższej oczekiwanej użyteczności].

Warunek rzeczywistości.

Jeśli osobę można przedstawić jako osobę mającą stopnie wiary, które są zgodne z rachunkiem prawdopodobieństwa [i taką funkcją użyteczności, która preferuje działania z wyższą oczekiwaną użytecznością], to osoba ta naprawdę ma stopnie wiary, które są zgodne z prawami rachunku prawdopodobieństwa [i naprawdę woli działania o wyższej oczekiwanej użyteczności].

Z przesłanek tych wynika następujący wniosek.

Jeśli osoba [nie preferuje działań o wyższej oczekiwanej użyteczności], to narusza przynajmniej jeden z aksjomatów racjonalnej preferencji.

Jeśli przesłanki są prawdziwe, argument wskazuje, że coś jest nie tak z ludźmi, których preferencje są sprzeczne z teorią oczekiwanej użyteczności - łamią aksjomaty racjonalnej preferencji. Rozważmy bardziej szczegółowo każdą z przesłanek, zaczynając od kluczowej przesłanki - reprezentatywności.

Funkcja prawdopodobieństwa i funkcja użyteczności razem reprezentują zbiór preferencji na wypadek, gdyby następująca formuła zachowała się dla wszystkich wartości (A) i (B) w dziedzinie relacji preferencji

[EU (A) gt EU (B) text {wtedy i tylko wtedy, gdy} A / text {jest preferowane zamiast} B.)

Matematyczne dowody reprezentatywności nazywane są twierdzeniami o reprezentacji. Sekcja 2.1 omawia trzy najbardziej wpływowe twierdzenia o reprezentacji, z których każde opiera się na innym zestawie aksjomatów.

Bez względu na to, jakiego zestawu aksjomatów używamy, Warunek Racjonalności jest kontrowersyjny. W niektórych przypadkach preferencje, które wydają się racjonalnie dopuszczalne - być może nawet racjonalnie wymagane - naruszają aksjomaty teorii oczekiwanej użyteczności. Rozdział 3 szczegółowo omawia takie przypadki.

Warunek rzeczywistości jest również kontrowersyjny. Hampton (1994), Zynda (2000) oraz Meacham i Weisberg (2011) wskazują, że bycie reprezentowalnym za pomocą funkcji prawdopodobieństwa i użyteczności nie oznacza posiadania funkcji prawdopodobieństwa i użyteczności. W końcu agent, którego można przedstawić jako maksymalizator oczekiwanej użyteczności z stopniami wiary zgodnymi z rachunkiem prawdopodobieństwa, może być również przedstawiony jako ktoś, kto nie maksymalizuje oczekiwanej użyteczności ze stopniami przekonania, które naruszają rachunek prawdopodobieństwa. Dlaczego sądzisz, że oczekiwana reprezentacja użyteczności jest właściwa?

Istnieje kilka opcji. Być może obrońca twierdzeń o reprezentacji może założyć, że posiadanie określonych stopni przekonań i użyteczności to po prostu posiadanie odpowiednich preferencji. Głównym wyzwaniem dla obrońców tej odpowiedzi jest wyjaśnienie, dlaczego reprezentacje w kategoriach oczekiwanej użyteczności są przydatne do wyjaśnienia i dlaczego są lepsze niż reprezentacje alternatywne. A może prawdopodobieństwo i użyteczność są dobrymi, oczyszczonymi teoretycznymi substytutami naszych ludowych pojęć wiary i precyzyjnymi naukowymi substytutami naszych pojęć ludowych. Meacham i Weisberg kwestionują tę odpowiedź, argumentując, że prawdopodobieństwa i użyteczność są kiepskimi odpowiednikami naszych ludowych wyobrażeń. Trzecią możliwością, zasugerowaną przez Zyndę, jest to, że fakty dotyczące stopni przekonań są prawdziwe niezależnie od preferencji agenta,i zapewnić oparty na zasadach sposób ograniczenia zakresu dopuszczalnych reprezentacji. Wyzwaniem dla obrońców tego typu odpowiedzi jest sprecyzowanie, jakie są te dodatkowe fakty.

Przejdę teraz do rozważenia trzech wpływowych twierdzeń o reprezentacji. Te twierdzenia o reprezentacji różnią się od siebie na trzy filozoficznie znaczące sposoby.

Po pierwsze, różne twierdzenia o reprezentacji nie zgadzają się co do przedmiotów preferencji i użyteczności. Czy są powtarzalne? Czy muszą być całkowicie pod kontrolą agenta

Po drugie, twierdzenia o reprezentacji różnią się pod względem traktowania prawdopodobieństwa. Nie zgadzają się co do tego, które byty mają prawdopodobieństwa i czy te same obiekty mogą mieć zarówno prawdopodobieństwa, jak i użyteczność.

Po trzecie, podczas gdy każde twierdzenie o reprezentacji dowodzi, że dla odpowiedniego uporządkowania preferencji istnieje prawdopodobieństwo i funkcja użyteczności reprezentująca porządek preferencji, różnią się one tym, jak wyjątkowe jest to prawdopodobieństwo i funkcja użyteczności. Innymi słowy, różnią się tym, jakie transformacje funkcji prawdopodobieństwa i użyteczności są dopuszczalne.

2.2.1 Ramsey

Idea twierdzenia o reprezentacji spodziewanej użyteczności sięga Ramseya (1926). (Jego szkic twierdzenia o reprezentacji jest następnie wypełniany przez Bradleya (2004) i Elliotta (2017).) Ramsey zakłada, że preferencje są definiowane w dziedzinie gier hazardowych, które dają jedną nagrodę pod warunkiem, że zdanie (P) jest prawdą i inną nagrodą pod warunkiem, że (P) jest fałszywe. (Przykłady hazardu: jeśli masz dziecko, otrzymasz kombinezon, a w przeciwnym razie butelkę szkockiej; otrzymasz dwadzieścia dolarów, jeśli Bojack wygra Kentucky Derby, a w przeciwnym razie stracisz dolara).

Ramsey nazywa propozycję etycznie neutralną, gdy „dwa możliwe światy różniące się jedynie [jej prawdziwością] mają zawsze taką samą wartość”. W przypadku propozycji neutralnej etycznie prawdopodobieństwo 1/2 można zdefiniować w kategoriach preferencji: taka propozycja ma prawdopodobieństwo równe 1/2 na wypadek, gdybyś był obojętny, po której jej stronie stawiasz. (Więc jeśli Bojack wygrywa Kentucky Derby jest etycznie neutralną propozycją, ma prawdopodobieństwo równe 1/2 na wypadek, gdybyś był obojętny między wygraną dwudziestu dolarów, jeśli to prawda, a przegraną dolara w przeciwnym razie, a wygraną dwudziestu dolarów, jeśli jest fałszywa i stratą dolara Inaczej.)

Stawiając etycznie neutralną propozycję z prawdopodobieństwem 1/2, wraz z bogatą przestrzenią nagród, Ramsey definiuje liczbowe użyteczność nagród. (Ogólny pogląd jest taki, że jeśli nie masz różnicy między otrzymaniem średniej nagrody (m) na pewno a hazardem, który daje lepszą nagrodę (b), jeśli etycznie neutralna propozycja jest prawdziwa, a gorsza nagroda (w) jeśli spada, to użyteczność (m) jest w połowie drogi między użytecznościami (b) i (w).) Używając tych liczbowych narzędzi, wykorzystuje definicję oczekiwanej użyteczności do zdefiniowania prawdopodobieństwa dla wszystkich innych zdań.

Ogólnym pomysłem jest wykorzystanie bogactwa przestrzeni nagród, co zapewnia, że dla każdego hazardu (g), który daje lepszą nagrodę (b), jeśli (E) jest prawdą i gorszą nagrodą (w) jeśli (E) jest fałszem, agent jest obojętny między (g) a jakąś średnią nagrodą (m). Oznacza to, że (EU (g) = EU (m)). Korzystając z algebry, plus fakt, że (EU (g) = P (E) U (b) + (1-P (E)) U (w)), Ramsey pokazuje, że

[P (E) = / frac {(1 - U (m)} {(U (b) - U (w))})

2.2.2 Von Neumann i Morgenstern

Von Neumann i Morgenstern (1944) twierdzą, że preferencje są definiowane w dziedzinie loterii. Niektóre z tych loterii są stałe i dają z całą pewnością jedną nagrodę. (Nagrody mogą obejmować banan, milion dolarów, dług w wysokości miliona dolarów, śmierć lub nowy samochód). Loterie mogą również mieć inne loterie jako nagrody, więc można mieć loterię z 40% szansą na uzyskanie banan i 60% szans na wygraną 50-50 między milionem dolarów a śmiercią.) Domena loterii zostaje zamknięta w ramach operacji mieszania, więc jeśli (L) i (L ') są loterie, a (x) jest liczbą rzeczywistą w przedziale ([0, 1]), to jest loteria (x L + (1-x) L '), która daje (L) z prawdopodobieństwem (x) i (L ') z prawdopodobieństwem (1-x). Pokazują, że każda relacja preferencji spełniająca określone aksjomaty może być reprezentowana przez prawdopodobieństwa użyte do zdefiniowania loterii, wraz z funkcją użyteczności, która jest unikalna aż do dodatniej liniowej transformacji.

2.2.3 Savage

Zamiast przyjmować prawdopodobieństwa za pewnik, jak to robią von Neumann i Morgenstern, Savage (1972) definiuje je w kategoriach preferencji w stosunku do czynów. Savage zakłada trzy oddzielne domeny. Prawdopodobieństwo wiąże się ze zdarzeniami, które możemy traktować jako dysjunkcje stanów, podczas gdy użyteczność i wewnętrzne preferencje wiążą się z wynikami. Oczekiwana użyteczność i nieistotne preferencje wiążą się z czynami.

W przypadku Savage'a czyny, stany i rezultaty muszą spełniać pewne ograniczenia. Akty muszą być całkowicie pod kontrolą agenta (więc publikowanie mojego artykułu w myślach nie jest aktem, ponieważ zależy to częściowo od decyzji redaktora, nad którą nie mam kontroli). Wyniki muszą mieć tę samą użyteczność niezależnie od tego, który stan uzyskuje (więc „Wygram fantazyjny samochód” nie jest wynikiem, ponieważ użyteczność luksusowego samochodu będzie większa w stanach, w których osoba, na której najbardziej chcę zaimponować, chciałaby mieć samochód, a rzadziej w stanach, w których stracę prawo jazdy). Żadne państwo nie może wykluczyć wykonania jakiejkolwiek czynności, a akt i państwo razem muszą przesądzić o wyniku z pewnością. Dla każdego wyniku (o) istnieje stały akt, który daje (o) w każdym stanie. (Tak więc, jeśli pokój na świecie jest wynikiem, jest akt, który prowadzi do pokoju na świecie,bez względu na stan świata.) Wreszcie, zakłada on dla dowolnych dwóch aktów (A) i (B) oraz każdego zdarzenia (E), że istnieje akt mieszany (A_E / amp B_ { sim E}), który daje taki sam wynik jak (A), jeśli (E) jest prawdą, i taki sam wynik jak (B) w przeciwnym razie. (Tak więc, jeśli pokój na świecie i koniec świata są skutkami, to istnieje mieszany akt, który prowadzi do pokoju na świecie, jeśli pewna moneta wyląduje orzeł, a koniec świata w przeciwnym razie).))

Savage postuluje relację preferencji nad aktami i podaje aksjomaty rządzące tą relacją preferencji. Następnie definiuje subiektywne prawdopodobieństwa lub stopnie przekonań w kategoriach preferencji. Kluczowym posunięciem jest zdefiniowanie relacji „przynajmniej tak prawdopodobnej” między zdarzeniami; Parafrazuję tutaj.

Załóżmy, że (A) i (B) są stałymi aktami, tak że (A) jest preferowane niż (B). Wtedy (E) jest co najmniej tak samo prawdopodobne jak (F) na wypadek, gdyby agent preferował (A_E / amp B _ { sim E}) (czynność, która daje (A) if (E) uzyskuje, a (B) w przeciwnym razie) do (A_F / amp B _ { sim F}) (akt, który daje (A) jeśli (F) uzyskuje, a (B) w przeciwnym razie) lub inaczej jest obojętny między (A_E / amp B _ { sim E}) a (A_F / amp B _ { sim F}).

Myśl kryjąca się za definicją jest taka, że agent uważa (E) za co najmniej tak samo prawdopodobne jak (F), na wypadek gdyby wolał raczej postawić na (F) niż na (E)).

Następnie Savage podaje aksjomaty ograniczające racjonalne preferencje i pokazuje, że każdy zestaw preferencji spełniający te aksjomaty daje „co najmniej tak prawdopodobną” relację, która może być jednoznacznie reprezentowana przez funkcję prawdopodobieństwa. Innymi słowy, istnieje jedna i tylko jedna funkcja prawdopodobieństwa (P) taka, że dla wszystkich (E) i (F), (P (E) ge P (F)) wtedy i tylko jeśli (E) jest co najmniej tak samo prawdopodobne jak (F). Każda relacja preferencji zgodna z aksjomatami Savage'a jest reprezentowana przez tę funkcję prawdopodobieństwa (P) wraz z funkcją użyteczności, która jest unikalna aż do dodatniej transformacji liniowej.

Twierdzenie Savage'a o reprezentacji daje mocne wyniki: zaczynając od samego uporządkowania preferencji, możemy znaleźć pojedynczą funkcję prawdopodobieństwa i wąską klasę funkcji użyteczności, które reprezentują to uporządkowanie preferencji. Minusem jest jednak to, że Savage musi budować nieprawdopodobnie mocne założenia dotyczące domeny czynów.

Luce i Suppes (1965) wskazują, że ciągłe czyny Savage'a są niewiarygodne. (Przypomnij sobie, że ciągłe działania dają ten sam rezultat i taką samą wartość w każdym stanie). Weź bardzo dobry wynik - całkowitą błogość dla każdego. Czy naprawdę istnieje ciągły akt, który ma taki skutek w każdym możliwym stanie, w tym w stanach, w których rasa ludzka jest niszczona przez meteor? Problematyczne jest również poleganie na bogatej przestrzeni aktów mieszanych. Savage musiał założyć, że dowolne dwa wyniki i jakiekolwiek wydarzenie, jest aktem mieszanym, który daje pierwszy rezultat, jeśli zdarzenie ma miejsce, a drugi rezultat w przeciwnym razie? Czy naprawdę istnieje akt, który przynosi całkowitą błogość, jeśli wszyscy zostaną zabici przez odporną na antybiotyki zarazę, aw przeciwnym razie totalna nędza? Luce i Krantz (1971) sugerują sposoby przeformułowania Savage'atwierdzenie reprezentacji, które osłabia te założenia, ale Joyce (1999) twierdzi, że nawet przy osłabionych założeniach domena aktów pozostaje nieprawdopodobnie bogata.

2.2.4 Bolker i Jeffrey

Bolker (1966) udowadnia ogólne twierdzenie o reprezentacji dotyczące oczekiwań matematycznych, które Jeffrey (1983) wykorzystuje jako podstawę do filozoficznego opisu teorii oczekiwanej użyteczności. Twierdzenie Bolkera zakłada jedną dziedzinę zdań, które są zarówno przedmiotami preferencji, użyteczności, jak i prawdopodobieństwa. Tak więc twierdzenie, że dzisiaj będzie padać, ma użyteczność, a także prawdopodobieństwo. Jeffrey interpretuje tę użyteczność jako wartość wiadomości propozycji - miarę tego, jak szczęśliwy lub rozczarowany byłbym, gdy dowiedziałem się, że propozycja jest prawdziwa. Zgodnie z konwencją ustawia wartość niezbędnego zdania na 0 - konieczne zdanie to żadna nowość! Podobnie propozycja, że biorę parasolkę do pracy, która jest aktem, ma zarówno prawdopodobieństwo, jak i użyteczność. Jeffrey interpretuje to jako oznaczające, że mam stopnie wiary w to, co zrobię.

Bolker podaje aksjomaty ograniczające preferencje i pokazuje, że wszelkie preferencje spełniające jego aksjomaty mogą być reprezentowane przez miarę prawdopodobieństwa (P) i miarę użyteczności (U). Jednak aksjomaty Bolkera nie zapewniają, że (P) jest unikalne lub że (U) jest unikalne aż do dodatniej transformacji liniowej. Nie pozwalają nam też zdefiniować prawdopodobieństwa porównawczego w kategoriach preferencji. Zamiast tego, gdzie (P) i (U) razem reprezentują porządek preferencji, Bolker pokazuje, że para (langle P, U / rangle) jest unikalna aż do ułamkowej transformacji liniowej.

Z technicznego punktu widzenia, gdzie (U) jest funkcją użyteczności znormalizowaną tak, że (U (Omega) = 0), (inf) jest największą dolną granicą wartości przypisanych przez (U), (sup) to najmniejsza górna granica wartości przypisanych przez (U), a (lambda) to parametr mieszczący się między (- 1 / inf) a (- 1 / sup), ułamkowa transformacja liniowa (langle P _ { lambda}, U _ { lambda} rangle) z (langle P, U / rangle) odpowiadająca (lambda) jest dana wzorem:

(begin {align} P _ { lambda} & = P (x) (1 + / lambda U (x)) / U _ { lambda} & = U (x) ((1+ / lambda) / (1 + / lambda U (x)) end {align})

Zauważ, że ułamkowe przekształcenia liniowe pary prawdopodobieństwo-użyteczność mogą nie zgadzać się z pierwotną parą co do tego, które zdania są bardziej prawdopodobne niż inne.

Joyce (1999) pokazuje, że z dodatkowymi zasobami, twierdzenie Bolkera można zmodyfikować, aby ustalić unikalne (P) i (U), które jest unikalne aż do dodatniej transformacji liniowej. Musimy jedynie uzupełnić porządkowanie preferencji prymitywną relacją „bardziej prawdopodobne niż”, rządzoną przez własny zestaw aksjomatów i powiązaną z przekonaniem kilkoma dodatkowymi aksjomatami. Joyce modyfikuje wynik Bolkera, aby pokazać, że biorąc pod uwagę te dodatkowe aksjomaty, relacja „bardziej prawdopodobne niż” jest reprezentowana przez unikalne (P), a uporządkowanie preferencji jest reprezentowane przez (P) wraz z funkcją użyteczności, która jest unikalna do dodatniej transformacji liniowej.

2.2.5 Podsumowanie

Te cztery powyższe twierdzenia o reprezentacji można podsumować w poniższej tabeli.

Twierdzenie

Przedmioty

preferencji

Kolejność

budowy

Dopuszczalne

przekształcenia:

prawdopodobieństwo

Dopuszczalne

przekształcenia:

użytkowe

Ramsey hazard preferencja → użyteczność → prawdopodobieństwo tożsamość dodatnia liniowa

von Neumann /

Morgenstern

loterie (preferencja i prawdopodobieństwo) → użyteczność Nie dotyczy dodatnia liniowa
Brutalny dzieje preferencja → prawdopodobieństwo → użyteczność tożsamość dodatnia liniowa
Jeffrey / Bolker propozycje preferencja → (prawdopodobieństwo i użyteczność) - ułamkowy liniowy -

Zauważ, że kolejność konstrukcji różni się między twierdzeniami: Ramsey konstruuje reprezentację prawdopodobieństwa za pomocą użyteczności, podczas gdy von Neumann i Morgenstern rozpoczynają od prawdopodobieństwa i konstruują reprezentację użyteczności. Tak więc, chociaż strzałki przedstawiają matematyczną relację reprezentacji, nie mogą reprezentować metafizycznej relacji uziemienia. Warunek Rzeczywistości musi być uzasadniony niezależnie od jakiegokolwiek twierdzenia o reprezentacji.

Odpowiednio ustrukturyzowane prawdopodobieństwa porządkowe (relacje wybrane przez „co najmniej tak prawdopodobne jak”, „bardziej prawdopodobne niż” i „równie prawdopodobne”) pozostają w zgodności jeden do jednego z funkcjami prawdopodobieństwa kardynalnego. Wreszcie szara linia od preferencji do prawdopodobieństw porządkowych wskazuje, że każda funkcja prawdopodobieństwa spełniająca aksjomaty Savage'a jest reprezentowana przez unikalne prawdopodobieństwo kardynalne - ale ten wynik nie jest odpowiedni dla aksjomatów Jeffreya.

Zwróć uwagę, że często można podążać za strzałkami w kółko - od preferencji do prawdopodobieństwa porządkowego, od prawdopodobieństwa porządkowego do prawdopodobieństwa kardynalnego, od prawdopodobieństwa kardynalnego i preferencji do oczekiwanej użyteczności oraz od oczekiwanej użyteczności z powrotem do preferencji. Tak więc, chociaż strzałki przedstawiają matematyczną relację reprezentacji, nie reprezentują metafizycznej relacji uziemienia. Fakt ten dowodzi, że niezależne uzasadnianie twierdzeń o reprezentacji warunku rzeczywistości nie może uzasadniać teorii oczekiwanej użyteczności bez dodatkowych założeń.

3. Uwagi do teorii oczekiwanej użyteczności

3.1 Maksymalizacja oczekiwanej użyteczności jest niemożliwa

Powinno implikować, że można, ale czy jest możliwe maksymalizowanie oczekiwanej użyteczności? March i Simon (1958) zwracają uwagę, że aby obliczyć oczekiwane użyteczności, agent potrzebuje zniechęcająco złożonego zrozumienia dostępnych działań, możliwych wyników i wartości tych wyników, a wybór najlepszego aktu jest znacznie bardziej wymagający niż wybierając czyn, który jest po prostu wystarczająco dobry. Podobne punkty pojawiają się w Lindblom (1959), Feldman (2006) i Smith (2010).

McGee (1991) twierdzi, że maksymalizacja oczekiwanej użyteczności nie jest matematycznie możliwa nawet dla idealnego komputera z nieograniczoną pamięcią. Aby zmaksymalizować oczekiwaną użyteczność, musielibyśmy zaakceptować każdy zakład, który nam zaoferowano, co do prawdy arytmetyki, i odrzucić każdy zakład, który nam zaoferowano, na fałszywe zdania w języku arytmetyki. Ale arytmetyka jest nierozstrzygalna, więc żadna maszyna Turinga nie może określić, czy dane zdanie arytmetyczne jest prawdziwe, czy fałszywe.

Jedną z odpowiedzi na te trudności jest podejście oparte na ograniczonej racjonalności, które ma na celu zastąpienie teorii oczekiwanej użyteczności niektórymi bardziej zrozumiałymi regułami. Innym jest argumentacja, że wymagania teorii oczekiwanej użyteczności są łatwiejsze do zrealizowania, niż się wydaje (Burch-Brown 2014; zob. Także Greaves 2016), lub że odpowiednia zasada „powinno implikować, że może” jest fałszywa (Srinivasan 2015).

3.2 Maksymalizacja oczekiwanej użyteczności jest irracjonalna

Wielu autorów podało przykłady, w których teoria oczekiwanej użyteczności wydaje się dawać błędne zalecenia. Sekcje 3.2.1 i 3.2.2 omawiają przykłady, w których racjonalność wydaje się dopuszczać preferencje niezgodne z teorią oczekiwanej użyteczności. Te przykłady sugerują, że maksymalizacja oczekiwanej użyteczności nie jest konieczna dla racjonalności. W sekcji 3.2.3 omówiono przykłady, w których teoria oczekiwanej użyteczności dopuszcza preferencje, które wydają się irracjonalne. Te przykłady sugerują, że maksymalizacja oczekiwanej użyteczności nie jest wystarczająca dla racjonalności. Sekcja 3.2.4 omawia przykład, w którym teoria oczekiwanej użyteczności wymaga preferencji, które wydają się racjonalnie zabronione - wyzwanie zarówno dla konieczności, jak i wystarczalności oczekiwanej użyteczności dla racjonalności.

3.2.1 Przeciwprzykłady obejmujące przechodniość i kompletność

Teoria oczekiwanej użyteczności sugeruje, że struktura preferencji odzwierciedla strukturę relacji większej niż między liczbami rzeczywistymi. Zatem, zgodnie z teorią oczekiwanej użyteczności, preferencje muszą być przechodnie: Jeśli (A) jest preferowane od (B) (tak, że (U (A) gt U (B))) i (B)) jest preferowane zamiast (C) (tak, że (U (B) gt U (C))), to (A) musi być preferowane zamiast (C) (ponieważ musi to być (U (A) gt U (C))). Podobnie preferencje muszą być kompletne: dla dowolnych dwóch opcji albo jedna musi być preferowana względem drugiej, albo agent musi być między nimi obojętny (ponieważ z ich dwóch narzędzi, albo jeden musi być większy, albo dwa muszą być równe). Są jednak przypadki, w których racjonalność wydaje się dopuszczać (a może nawet wymaga) błędów przechodniości i zupełności.

Przykładem preferencji, które nie są przechodnie, ale mimo to wydają się racjonalnie dopuszczalne, jest zagadka Quinna dotycząca samobójcy (1990). Samobójca jest podłączony do maszyny z tarczą o ustawieniach oznaczonych od 0 do 1000, gdzie ustawienie 0 nic nie robi, a każde kolejne ustawienie powoduje nieco silniejszy wstrząs elektryczny. Ustawienie 0 jest bezbolesne, podczas gdy ustawienie 1000 powoduje potworną agonię, ale różnica między dowolnymi dwoma sąsiednimi ustawieniami jest tak mała, że jest niezauważalna. Tarcza jest wyposażona w zapadkę, dzięki czemu można ją obracać do góry, ale nigdy w dół. Załóżmy, że w każdym miejscu oprawcy samobójcy oferuje 10 000 dolarów, aby przejść do następnego miejsca, tak że za tolerowanie ustawienia (n) otrzyma wypłatę w wysokości (n { cdot} {10 000 $}). Dopuszczalne jest, aby samobójca preferował ustawienie (n + 1) zamiast ustawienia (n) dla każdego (n) między 0 a 999 (ponieważ różnica w bólu jest niedostrzegalna, podczas gdy różnica w wypłaty są znaczące), ale nie wolę ustawić 1000 niż ustawić 0 (ponieważ ból związany z ustawieniem 1000 może być tak nie do zniesienia, że żadna kwota nie nadrobi tego.

Wydaje się również racjonalnie dopuszczalne, aby mieć niepełne preferencje. W przypadku niektórych par działań agent może nie mieć przemyślanego poglądu, który woli. Pomyśl o Jane, elektryku, który nigdy nie myślał zbytnio o zostaniu zawodową piosenkarką lub zawodowym astronautą. (Być może obie te opcje są niewykonalne, a może uważa, że obie są znacznie gorsze niż jej stała praca jako elektryk). To nieprawda, że Jane woli zostać piosenkarką niż zostać astronautą, i nieprawdą jest, że woli zostać astronautą niż piosenkarką. Ale fałszywe jest również to, że jest obojętna między zostaniem piosenkarką a zostaniem astronautą. Woli zostać piosenkarką i otrzymać 100 $ premii od zostania piosenkarką, a jeśli byłaby obojętna na to, czy zostać piosenkarką, a zostać astronautą,byłaby racjonalnie zmuszona, by wolała zostać piosenkarką i otrzymać 100 $ premii niż zostać astronautą.

Pomiędzy tymi dwoma przykładami rozważanymi powyżej istnieje jedna kluczowa różnica. Preferencje Jane można rozszerzyć, dodając nowe preferencje bez usuwania tych, które posiada, w sposób, który pozwala nam przedstawić ją jako oczekiwaną maksymalizator użyteczności. Z drugiej strony, nie ma sposobu, aby rozszerzyć preferencje samobójcy, tak aby można go było przedstawić jako oczekiwanego maksymalizatora użyteczności. Niektóre z jego preferencji musiałyby zostać zmienione. Jedną z popularnych odpowiedzi na niekompletne preferencje jest twierdzenie, że chociaż racjonalne preferencje nie muszą spełniać aksjomatów danego twierdzenia o reprezentacji (patrz sekcja 2.2), musi istnieć możliwość ich rozszerzenia tak, aby spełniały aksjomaty. Z tego słabszego wymogu dotyczącego preferencji - że można je rozszerzyć do uporządkowania preferencji, które spełnia odpowiednie aksjomaty - można udowodnić istnienie połówek odpowiednich twierdzeń o reprezentacji. Jednak nie można już ustalić, że każde uporządkowanie preferencji ma reprezentację, która jest unikalna aż do dopuszczalnych przekształceń.

Żadnej takiej odpowiedzi nie ma w przypadku samobójcy, którego preferencji nie można rozszerzyć tak, aby spełniały aksjomaty teorii oczekiwanej użyteczności. Zobacz wpis dotyczący preferencji, aby zapoznać się z bardziej szczegółową dyskusją na temat przypadku samobójców.

3.2.2 Przeciwprzykłady dotyczące niezależności

Allais (1953) i Ellsberg (1961) proponują przykłady preferencji, których nie można przedstawić za pomocą oczekiwanej funkcji użyteczności, które mimo to wydają się racjonalne. Oba przykłady dotyczą naruszenia aksjomatu Niepodległości Savage'a:

Niezależność. Załóżmy, że (A) i (A ^ *) to dwa działania, które dają takie same wyniki w przypadku, gdy (E) jest fałszywe. Wtedy dla każdego aktu (B) trzeba mieć

  • (A) jest preferowane zamiast (A ^ *) wtedy i tylko wtedy, gdy (A_E / amp B _ { sim E}) jest preferowane zamiast (A ^ * _ E / amp B _ { sim E})
  • Agent jest obojętny między (A) a (A ^ *) wtedy i tylko wtedy, gdy jest obojętny między (A_E / amp B _ { sim E}) a (A ^ * _ E / amp B_ { sim E})

Innymi słowy, jeśli dwa akty mają takie same konsekwencje, ilekroć (E) jest fałszywe, to preferencje agenta między tymi dwoma aktami powinny zależeć tylko od ich konsekwencji, gdy (E) jest prawdą. Zgodnie z definicją oczekiwanej użyteczności Savage teoria oczekiwanej użyteczności pociąga za sobą Niezależność. I zgodnie z definicją Jeffreya, teoria oczekiwanej użyteczności pociąga za sobą niezależność przy założeniu, że stany są probabilistycznie niezależne od aktów.

Pierwszy kontrprzykład, Allais Paradox, obejmuje dwa oddzielne problemy decyzyjne, w których losowany jest bilet z liczbą od 1 do 100. W pierwszym zadaniu agent musi wybrać jedną z dwóch loterii:

  • Loteria (A)
  • • 100 milionów dolarów z pewnością
  • Loteria (B)
  • • 500 milionów dolarów, jeśli zostanie wylosowany jeden z losów 1–10
  • • 100 milionów dolarów, jeśli zostanie wylosowany jeden z losów 12-100
  • • Nic, jeśli los 11 jest losowany

W drugim problemie decyzyjnym agent musi wybrać jedną z dwóch loterii:

  • Loteria (C)
  • • 100 milionów dolarów, jeśli zostanie wylosowany jeden z losów 1–11
  • • Nic innego
  • Loteria (D)
  • • 500 milionów dolarów, jeśli zostanie wylosowany jeden z losów 1–10
  • • Nic innego

Wydaje się rozsądne, aby preferować (A) (co daje pewne 100 milionów dolarów) zamiast (B) (gdzie dodatkowe 10% szans na 500 milionów dolarów jest więcej niż zrównoważone ryzykiem niczego nie dostanie). Wydaje się również rozsądne, aby preferować (D) (10% szans na wygraną w wysokości 500 mln $) zamiast (C) (nieco większe 11% przy znacznie mniejszej wygranej 100 mln $). Ale razem te preferencje (nazwij je preferencjami Allais) naruszają niezależność. Loterie (A) i (C) dają taką samą nagrodę w wysokości 100 milionów dolarów za kupony 12–100. Można je zamienić na loterie (B) i (D), zastępując nagrodę w wysokości 100 milionów dolarów na 0 $.

Ponieważ naruszają Niezależność, preferencje Allaisa są niezgodne z teorią oczekiwanej użyteczności. Ta niezgodność nie wymaga żadnych założeń dotyczących względnych narzędzi użyteczności 0, 100 i 500 milionów USD. Tam, gdzie 500 milionów $ ma użyteczność (x), 100 milionów $ ma użyteczność (y), a 0 $ ma użyteczność (z), oczekiwane użyteczności loterii są następujące.

(begin {align} EU (A) & = 0,11 lat + 0,89 lat \\ EU (B) & = 0,10x + 0,01 z + 0,89 lat \\ EU (C) & = 0,11 lat + 0,89 z \\ EU (D) & = 0,10x + 0,01 z + 0,89 z / end {align})

Łatwo zauważyć, że warunek, w którym (EU (A) gt EU (B)) jest dokładnie taki sam, jak warunek, w którym (EU (C) gt EU (D)): obie nierówności uzyskać na wszelki wypadek (0,11y / gt 0,10x + 0,01z)

Paradoks Ellsberga obejmuje również dwa problemy decyzyjne, które powodują naruszenie zasady pewności. W każdym z nich losowana jest kulka z urny zawierającej 30 kulek czerwonych i 60 kulek białych lub żółtych w nieznanych proporcjach. W pierwszym problemie decyzyjnym agent musi wybrać jedną z następujących loterii:

  • Loteria (R)
  • • Wygraj 100 $, jeśli wylosowana zostanie czerwona bila
  • • W przeciwnym razie stracisz 100 $
  • Loteria (W)
  • • Wygraj 100 $, jeśli wylosowana zostanie biała bila
  • • W przeciwnym razie stracisz 100 $

W drugim problemie decyzyjnym agent musi wybrać jedną z następujących loterii:

  • Loteria (RY)
  • • Wygraj 100 $, jeśli wylosowana zostanie czerwona lub żółta bila
  • • W przeciwnym razie stracisz 100 $
  • Loteria (WY)
  • • Wygraj 100 $, jeśli wylosowana zostanie biała lub żółta bila
  • • W przeciwnym razie stracisz 100 $

Wydaje się rozsądne, aby preferować (R) zamiast (W), ale jednocześnie preferować (WY) niż (RY). (Nazwij tę kombinację preferencji preferencjami Ellsberga). Podobnie jak preferencje Allaisa, preferencje Ellsberga naruszają niezależność. Loterie (W) i (R) przynoszą 100 $ straty, jeśli wylosowana zostanie żółta bila; można je zamienić na loterie (RY) i (WY), po prostu zastępując tę stratę 100 USD pewnym zyskiem 100 USD.

Preferencje Ellsberga, ponieważ naruszają niezależność, są nie do pogodzenia z teorią oczekiwanej użyteczności. Ponownie, ta niezgodność nie wymaga żadnych założeń dotyczących względnej użyteczności wygrania 100 $ i utraty 100 $. Nie potrzebujemy też żadnych założeń, gdzie od 0 do 1/3 spada prawdopodobieństwo wylosowania żółtej kulki. Gdzie wygrana 100 $ ma użyteczność (w) a przegrana 100 $ ma użyteczność (l), (begin {align} EU (R) & = / tfrac {1} {3} w + P (W) l + P (Y) l \\ EU (W) & = / tfrac {1} {3} l + P (W) w + P (Y) l \\ EU (RY) & = / tfrac {1} {3} w + P (W) l + P (Y) w \\ EU (WY) & = / tfrac {1} {3} l + P (W) w + P (Y) w / end {align})

Łatwo zauważyć, że warunek, w którym (EU (R) gt EU (W)) jest dokładnie taki sam, jak warunek, w którym (EU (RY) gt EU (WY)): obie nierówności uzyskać na wszelki wypadek (1/3 \, w + P (W) l / gt 1/3 \, l + P (W) w).

Istnieją trzy godne uwagi reakcje na paradoksy Allaisa i Ellsberga. Po pierwsze, można podążać za Savage'em (101 i nast.) I Raiffą (1968, 80–86) i bronić teorii oczekiwanej użyteczności na tej podstawie, że preferencje Allaisa i Ellsberga są irracjonalne.

Po drugie, można by pójść za Buchakiem (2013) i stwierdzić, że preferencje Allaisa i Ellsberga są racjonalnie dopuszczalne, a zatem teoria oczekiwanej użyteczności zawodzi jako normatywna teoria racjonalności. Buchak rozwija bardziej liberalną teorię racjonalności, z dodatkowym parametrem reprezentującym stosunek decydenta do ryzyka. Ten parametr ryzyka współdziała z użytecznością wyników i ich warunkowymi prawdopodobieństwami na działania mające na celu określenie wartości czynów. Jedno ustawienie parametru ryzyka daje teorię oczekiwanej użyteczności jako przypadek szczególny, ale inne ustawienia „niechęci do ryzyka” racjonalizują preferencje Allaisa.

Po trzecie, można podążać za Loomesem i Sugdenem (1986), Weirichiem (1986) i Pope (1995) i argumentować, że wyniki paradoksów Allaisa i Ellsberga można ponownie opisać, aby dostosować się do preferencji Allaisa i Ellsberga. Rzekomy konflikt między preferencjami Allaisa i Ellsberga z jednej strony, a teorią oczekiwanej użyteczności z drugiej opierał się na założeniu, że dana suma pieniędzy ma taką samą użyteczność bez względu na sposób jej uzyskania. Niektórzy autorzy kwestionują to założenie. Loomes i Sugden sugerują, że oprócz kwot pieniężnych, wyniki hazardu obejmują uczucie rozczarowania (lub uniesienia) z powodu uzyskania mniej (lub więcej) niż oczekiwano. Papież rozróżnia uczucie uniesienia lub rozczarowania „po wyniku” od uczucia podniecenia, strachu, znudzenia lub bezpieczeństwa „przed skutkiem”,i zwraca uwagę, że oba mogą mieć wpływ na użyteczność wyników. Weirich sugeruje, że wartość kwoty pieniężnej zależy częściowo od ryzyka związanego z jej zdobyciem, niezależnie od odczuć gracza, tak że (na przykład) 100 milionów dolarów w wyniku pewnego zakładu to ponad 100 milionów dolarów z hazardu, który mógł nic nie zapłacić.

Broome (1991) niepokoi się tym rozwiązaniem ponownego opisu. Wszelkie preferencje można uzasadnić ponownym opisem przestrzeni skutków, a tym samym pozbawieniem treści aksjomatów teorii oczekiwanej użyteczności. Broome odpiera ten zarzut, sugerując dodatkowe ograniczenie preferencji: jeśli (A) jest preferowane od (B), to (A) i (B) muszą się różnić w jakiś sposób, który uzasadnia preferowanie jednego od inny. Teoretyk spodziewanej użyteczności może wtedy uznać preferencje Allaisa i Ellsberga za racjonalne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje różnica niepieniężna, która uzasadnia umieszczanie wyników o równej wartości pieniężnej w różnych miejscach w porządku preferencji.

3.2.3 Przeciwprzykłady związane z prawdopodobieństwem 0 zdarzeń

Powyżej widzieliśmy rzekome przykłady racjonalnych preferencji, które naruszają teorię oczekiwanej użyteczności. Istnieją również rzekome przykłady irracjonalnych preferencji, które spełniają teorię oczekiwanej użyteczności.

Zgodnie z typowym rozumieniem teorii oczekiwanej użyteczności, gdy dwa akty są ze sobą powiązane, aby uzyskać najwyższą oczekiwaną użyteczność, od agentów wymaga się zachowania między nimi obojętności. Skyrms (1980, s. 74) zwraca uwagę, że ten pogląd pozwala nam wyciągać dziwne wnioski na temat wydarzeń z prawdopodobieństwem 0. Załóżmy na przykład, że masz zamiar rzucić lotką wielkości punktu w okrągłą tarczę do rzutek. Klasyczna teoria prawdopodobieństwa uwzględnia sytuacje, w których rzutka ma prawdopodobieństwo trafienia w dowolny punkt równy 0. Proponujesz mi następującą kiepską ofertę: jeśli strzałka uderzy w deskę dokładnie w jej środku, naliczysz mi 100 $; w przeciwnym razie żadne pieniądze nie zmienią właściciela. Mój problem decyzyjny można uchwycić za pomocą następującej macierzy:

państwa
środek trafienia ((P = 0)) miss centrum ((P = 1))
dzieje zaakceptuj ofertę (- 100) (0)
odmówić umowy (0) (0)

Teoria oczekiwanej użyteczności mówi, że dopuszczalne jest dla mnie zaakceptowanie oczekiwanej użyteczności akceptacji umowy równej 0. (Tak jest zarówno w przypadku definicji Jeffreya, jak i definicji Savage, jeśli założymy, że sposób lądowania strzałki jest prawdopodobnie niezależny od tego, w jaki sposób bet.) Ale zdrowy rozsądek mówi, że nie wolno mi akceptować tej umowy. Odmowa słabo dominuje w akceptacji: daje lepszy wynik w niektórych stanach, a gorszy w żadnym.

Skyrms sugeruje rozszerzenie praw prawdopodobieństwa klasycznego o dodatkowy wymóg, zgodnie z którym tylko niemożliwościom przypisuje się prawdopodobieństwo 0. Easwaran (2014) argumentuje, że zamiast tego powinniśmy odrzucić pogląd, że teoria oczekiwanej użyteczności nakazuje obojętność między aktami o takiej samej oczekiwanej użyteczności. Zamiast tego teoria oczekiwanej użyteczności nie jest pełną teorią racjonalności: kiedy dwa akty mają tę samą oczekiwaną użyteczność, nie mówi nam, który preferować. Możemy wykorzystać kwestie związane z nieprzewidzianą użytecznością, takie jak słaba dominacja jako rozstrzygające kwestie.

3.2.4 Kontrprzykłady dotyczące nieograniczonej użyteczności

Funkcja użyteczności (U) jest ograniczona powyżej, jeśli istnieje granica tego, jak dobre mogą być rzeczy zgodnie z (U) lub bardziej formalnie, jeśli istnieje jakaś najmniejsza liczba naturalna (sup), taka że dla każdego (A) w domenie (U) (U (A) le sup). Podobnie, (U) jest ograniczone poniżej, jeśli istnieje granica tego, jak złe mogą być rzeczy zgodnie z (U), lub bardziej formalnie, jeśli istnieje jakaś największa liczba naturalna (inf) taka, że dla każdego (A) w domenie (U) (U (A) ge inf). Oczekiwana teoria użyteczności może wpaść w kłopoty, gdy funkcje użyteczności są nieograniczone powyżej, poniżej lub obu.

Problematycznym przykładem jest gra St. Petersburg, pierwotnie wydana przez Bernoulliego. Przypuśćmy, że moneta jest rzucana, aż po raz pierwszy wyląduje reszką. Jeśli wypadnie reszka przy pierwszym rzucie, wygrywasz 2 $; jeśli wypadnie reszka przy drugim rzucie, wygrywasz 4 $; jeśli wypadnie reszka w trzecim losowaniu, wygrywasz 8 $, a jeśli wyląduje reszka przy (n) tym rzucie, wygrywasz $ (2 ^ n). Zakładając, że każdy dolar jest wart jednej użyteczności, spodziewana wartość meczu w Petersburgu wynosi

[(tfrac {1} {2} cdot 2) + (tfrac {1} {4} cdot 4) + (tfrac {1} {8} cdot 8) + / cdots + (tfrac {1} {2 ^ n} cdot 2 ^ n) + / cdots) lub [1 + 1 + 1 + / cdots = / infty)

Okazuje się, że suma ta jest rozbieżna; gra w Sankt Petersburgu ma nieskończoną oczekiwaną użyteczność. Tak więc, zgodnie z teorią oczekiwanej użyteczności, powinieneś preferować możliwość rozegrania meczu w Sankt Petersburgu od dowolnej skończonej sumy pieniędzy, bez względu na jej wielkość. Ponadto, ponieważ nieskończona oczekiwana użyteczność pomnożona przez dowolną niezerową szansę jest nadal nieskończona, wszystko, co ma dodatnie prawdopodobieństwo uzyskania wyniku w grze w Petersburgu, ma nieskończoną oczekiwaną użyteczność. Tak więc, zgodnie z teorią oczekiwanej użyteczności, powinieneś preferować jakąkolwiek szansę na grę w St. Petersburg, nawet jeśli jest niewielka, od jakiejkolwiek skończonej sumy pieniędzy, nawet dużej.

Nover i Hájek (2004) argumentują, że oprócz gry w Petersburgu, która ma nieskończoną oczekiwaną użyteczność, istnieją inne gry nieskończone, których oczekiwana użyteczność jest nieokreślona, mimo że racjonalność narzuca im pewne preferencje.

Jedną z odpowiedzi na te problematyczne gry nieskończone jest twierdzenie, że same problemy decyzyjne są źle postawione (Jeffrey (1983, 154); inną jest przyjęcie zmodyfikowanej wersji teorii oczekiwanej użyteczności, która jest zgodna z jej werdyktami w zwykłym przypadku, ale daje intuicyjnie rozsądne werdykty dotyczące gier infinitary (Thalos i Richardson 2013) (Fine 2008) (Colyvan 2006, 2008) (Easwaran 2008).

4. Aplikacje

4.1 Ekonomia i polityka publiczna

W latach czterdziestych i pięćdziesiątych XX wieku teoria oczekiwanej użyteczności zyskała popularność w Stanach Zjednoczonych ze względu na jej potencjał do zapewnienia mechanizmu, który wyjaśniałby zachowanie zmiennych makroekonomicznych. Kiedy okazało się, że teoria oczekiwanej użyteczności nie przewidywała dokładnie zachowań prawdziwych ludzi, jej zwolennicy zamiast tego wysunęli pogląd, że może ona służyć jako teoria tego, jak racjonalni ludzie powinni reagować na niepewność (zob. Herfeld 2017).

Teoria oczekiwanej użyteczności ma różnorodne zastosowania w polityce publicznej. W ekonomii dobrobytu Harsanyi (1953) argumentuje od teorii oczekiwanej użyteczności do twierdzenia, że najbardziej sprawiedliwym społecznie rozwiązaniem jest taki, który maksymalizuje całkowity dobrobyt rozłożony na całe społeczeństwo. Teoria oczekiwanej użyteczności ma również bardziej bezpośrednie zastosowania. Howard (1980) wprowadza koncepcję mikromortowania, czyli szansy śmierci jednej na milion, i używa obliczeń oczekiwanej użyteczności, aby ocenić, które ryzyko śmiertelności jest akceptowalne. W polityce zdrowotnej lata życia skorygowane o jakość lub QALY są miarami oczekiwanej użyteczności różnych interwencji zdrowotnych stosowanych do kierowania polityką zdrowotną (patrz Weinstein i in. 2009). McAskill (2015) wykorzystuje teorię oczekiwanej użyteczności, aby odpowiedzieć na centralną kwestię efektywnego altruizmu:„Jak mogę zrobić najlepiej?” (Wykorzystania w tych aplikacjach są najbardziej naturalnie interpretowane jako mierzenie czegoś takiego jak szczęście lub dobre samopoczucie, a nie subiektywne zadowolenie z preferencji dla indywidualnego agenta).

Innym obszarem, w którym teoria oczekiwanej użyteczności znajduje zastosowanie, jest sprzedaż ubezpieczeń. Podobnie jak kasyna, firmy ubezpieczeniowe podejmują skalkulowane ryzyko w celu osiągnięcia długoterminowych korzyści finansowych i muszą brać pod uwagę ryzyko bankructwa w krótkim okresie.

4.2 Etyka

Utylitaryści, wraz ze swoimi potomkami, współcześni konsekwencjaliści, utrzymują, że o słuszności lub zła czynu decyduje dobro lub zło moralne jego konsekwencji. Niektórzy konsekwencjaliści, tacy jak (Railton 1984), interpretują to w ten sposób, że powinniśmy zrobić wszystko, co w rzeczywistości będzie miało najlepsze konsekwencje. Trudno jednak - być może niemożliwe - poznać długofalowe konsekwencje naszych czynów (Lenman 2000, Howard-Snyder 2007). W świetle tej obserwacji Jackson (1991) argumentuje, że właściwy czyn to ten, który ma największą oczekiwaną wartość moralną, a nie ten, który faktycznie przyniesie najlepsze konsekwencje.

Jak zauważa Jackson, oczekiwana wartość moralna czynu zależy od tego, z jaką funkcją prawdopodobieństwa pracujemy. Jackson argumentuje, że podczas gdy każda funkcja prawdopodobieństwa jest powiązana z „powinnością”, „powinność”, która ma największe znaczenie dla działania, jest powiązana ze stopniem przekonania decydenta w czasie działania. Inni autorzy twierdzą, że pierwszeństwo mają inne „powinności”: Mason (2013) preferuje funkcję prawdopodobieństwa, która jest najbardziej uzasadniona dla agenta w odpowiedzi na jej dowody, biorąc pod uwagę jej ograniczenia epistemiczne, podczas gdy Oddie i Menzies (1992) faworyzują funkcję obiektywnej szansy jako miara obiektywnej słuszności. (Odwołują się do bardziej skomplikowanej funkcji prawdopodobieństwa, aby zdefiniować pojęcie „subiektywnej słuszności” dla decydentów, którzy nie znają obiektywnych szans).

Jeszcze inni (Smart 1973, Timmons 2002) argumentują, że nawet jeśli powinniśmy zrobić wszystko, co będzie miało najlepsze konsekwencje, teoria oczekiwanej użyteczności może odgrywać rolę procedury decyzyjnej, gdy nie jesteśmy pewni, jakie konsekwencje będą miały nasze działania. Feldman (2006) twierdzi, że przewidywane obliczenia użyteczności są strasznie niepraktyczne. W większości rzeczywistych decyzji kroki wymagane do obliczenia oczekiwanej użyteczności wykraczają poza nasze pojęcie: wyliczenie możliwych wyników naszych działań, przypisanie każdemu wynikowi użyteczności i warunkowego prawdopodobieństwa danego działania oraz wykonanie działań arytmetycznych niezbędnych do obliczenia oczekiwanej użyteczności.

Konsekwencjalizm w wersji maksymalizującej oczekiwaną użyteczność nie jest ściśle teorią racjonalnego wyboru. Jest to teoria wyboru moralnego, ale kwestia, czy racjonalność wymaga od nas robienia tego, co jest moralnie najlepsze, jest przedmiotem dyskusji.

4.3 Epistemologia

Teoria oczekiwanej użyteczności może służyć do rozwiązywania praktycznych pytań w epistemologii. Jedno z takich pytań dotyczy tego, kiedy przyjąć hipotezę. W typowych przypadkach dowody są logicznie zgodne z wieloma hipotezami, w tym z hipotezami, dla których dają niewielkie wsparcie indukcyjne. Ponadto naukowcy zazwyczaj nie akceptują tylko tych hipotez, które są najbardziej prawdopodobne, biorąc pod uwagę ich dane. Kiedy hipoteza jest na tyle prawdopodobna, że zasługuje na akceptację?

Bayesiści, tacy jak Maher (1993), sugerują, że decyzja ta została podjęta na podstawie oczekiwanych przesłanek użyteczności. To, czy przyjąć hipotezę, jest problemem decyzyjnym, z akceptacją i odrzuceniem jako działaniem. Można to uchwycić za pomocą następującej macierzy decyzyjnej:

państwa
hipoteza jest prawdziwa hipoteza jest fałszywa
dzieje zaakceptować poprawnie zaakceptuj błędnie zaakceptować
odrzucać błędnie odrzucić poprawnie odrzucić

Zgodnie z definicją Savage'a oczekiwana użyteczność przyjęcia hipotezy jest określona przez prawdopodobieństwo hipotezy, wraz z użytecznością każdego z czterech wyników. (Możemy spodziewać się, że definicja Jeffreya zgadza się z definicją Savage'a przy prawdopodobnym założeniu, że biorąc pod uwagę posiadane przez nas dowody, hipoteza jest prawdopodobnie niezależna od tego, czy ją akceptujemy, czy odrzucamy.) W tym przypadku użyteczność można rozumieć jako wartości czysto epistemiczne, ponieważ epistemicznie wartościowe jest wierzyć w interesujące prawdy i odrzucać kłamstwa.

Krytycy podejścia bayesowskiego, tacy jak Mayo (1996), twierdzą, że hipotezom naukowym nie można rozsądnie podawać prawdopodobieństwa. Mayo twierdzi, że aby przypisać zdarzeniu użyteczne prawdopodobieństwo, potrzebujemy dowodów statystycznych na temat częstotliwości podobnych zdarzeń. Ale hipotezy naukowe są albo prawdziwe raz na zawsze, albo fałszywe raz na zawsze - nie ma takiej populacji światów jak nasz, z której moglibyśmy wyciągnąć sensowne statystyki. Nie możemy też używać prawdopodobieństw subiektywnych do celów naukowych, ponieważ byłoby to niedopuszczalnie arbitralne. Dlatego oczekiwana użyteczność akceptacji i odrzucenia jest nieokreślona i powinniśmy skorzystać z metod tradycyjnej statystyki, która polega na porównywaniu prawdopodobieństw naszych dowodów zależnych od każdej z hipotez.

Teoria oczekiwanej użyteczności dostarcza również wskazówek, kiedy należy gromadzić dowody. Good (1967) argumentuje na podstawie przewidywanej użyteczności, że zawsze racjonalne jest zebranie dowodów przed podjęciem działań, pod warunkiem, że dowody są bezpłatne. Czyn o najwyższej oczekiwanej użyteczności po uzyskaniu dodatkowych dowodów zawsze będzie zawsze co najmniej tak dobry, jak wcześniejszy akt o najwyższej oczekiwanej użyteczności.

W epistemicznej teorii decyzji, oczekiwane użyteczności są używane do oceny stanów przekonań jako racjonalnych lub nieracjonalnych. Jeśli myślimy o tworzeniu przekonań jako o akcie umysłowym, faktach dotyczących treści przekonań agenta jako zdarzeniach, a bliskość prawdy jako pożądanej cechy wyników, to możemy użyć teorii oczekiwanej użyteczności do oceny stopni przekonań w kategoriach ich oczekiwanych bliskość prawdy. Wpis dotyczący epistemicznych argumentów użyteczności przemawiających za probabilizmem zawiera przegląd oczekiwanych argumentów użyteczności dla różnych norm epistemicznych, w tym warunkowości i zasady głównej.

4.4 Prawo

Kaplan (1968) argumentuje, że rozważania dotyczące oczekiwanej użyteczności można wykorzystać do ustalenia standardu dowodu w procesach sądowych. Jury decydujące o uniewinnieniu lub skazaniu ma do czynienia z następującym problemem decyzyjnym:

państwa
winny niewinny
dzieje skazać prawdziwe przekonanie fałszywe przekonanie
uniewinnić fałszywe uniewinnienie prawdziwe uniewinnienie

Kaplan pokazuje, że (EU (skazany)> EU (uniewinniony)) kiedykolwiek

[P (guilty)> / frac {1} {1+ / frac {U (mathrm {true ~ conviction}) - U (mathrm {false ~ uniewinnienie})} {U (mathrm {true ~ acquittal}) -U (mathrm {fałszywe ~ przekonanie})}})

Jakościowo oznacza to, że standard dowodu rośnie wraz ze wzrostem uciążliwości skazania niewinnej osoby ((U (mathrm {true ~ conviction}) - U (mathrm {false ~ uniewinnienie}))) lub gdy nieprzydatność uniewinnienia winnej osoby ((U (mathrm {prawda ~ uniewinnienie}) - U (mathrm {fałszywe ~ przekonanie}))) maleje.

Krytycy tego podejścia teoretyczno-decyzyjnego, tacy jak Laudan (2006), argumentują, że wypełnienie luki między dowodami dopuszczalnymi w sądzie a rzeczywistym prawdopodobieństwem winy oskarżonego jest trudne lub niemożliwe. Prawdopodobieństwo winy zależy od trzech czynników: rozkładu pozornej winy wśród osób rzeczywiście winnych, rozkładu pozornej winy wśród osób naprawdę niewinnych oraz stosunku osób rzeczywiście winnych do rzeczywiście niewinnych oskarżonych, którzy idą na proces (zob. Bell 1987). Przeszkody w obliczeniu któregokolwiek z tych czynników będą blokować wnioskowanie od postrzegania przez sędziego lub ławę przysięgłych pozornej winy do prawdziwego prawdopodobieństwa winy.

Bibliografia

  • Allais M., 1953, „Le Comportement de l'Homme Rationnel devant le Risque: Critique des Postulats et Axiomes de l'École Americaine”, Econometrica, 21: 503–546.
  • Bell, R., 1987, „Decision Theory and Due Process: A Critique of the Supreme Court's Lawmaking for Burdens of Proof”, Journal of Criminal Law and Criminology, 78: 557-585.
  • Bentham, J., 1961. Wprowadzenie do zasad moralności i ustawodawstwa, Garden City: Doubleday. Pierwotnie opublikowane w 1789 roku.
  • Bernoulli, D., 1738, „Specimen theoriae novae de mensura sortis”, Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae 5. Przetłumaczone przez Louise Somer i przedrukowane jako „Exposition of a New Theory on the Measurement of Risk” 1954, Econometrica, 22: 23– 36.
  • Bolker, E., 1966, „Functions Resembling Quotients of Measures”, Transactions of the American Mathematical Society, 2: 292–312.
  • Bradley, R., 2004, „Ramsey's Representation theorem”, Dialectica, 58: 483–497.
  • Burch-Brown, JM, 2014, „Clues for Consequentialists”, Utilitas, 26: 105-119.
  • Buchak, L., 2013, Ryzyko i racjonalność, Oxford: Oxford University Press.
  • Colyvan, M., 2006, „No Expectations”, Mind, 116: 695–702.
  • Colyvan, M., 2008, „Relative Expectation Theory”, Journal of Philosophy, 105: 37–44.
  • Easwaran, K., 2014, „Regularity and Hyperreal Credences”, The Philosophical Review, 123: 1–41.
  • Easwaran, K., 2008, „Strong and Weak Expectations”, Mind, 117: 633–641.
  • Elliott, E., 2017, „Ramsey without Ethical Neutrality: A New Representation Theorem”, Mind, 126: 1-51.
  • Ellsberg, D., 1961, „Risk, Ambiguity, and the Savage Axioms”, Quarterly Journal of Economics, 75: 643–669.
  • Feldman, F. 2006, „Rzeczywista użyteczność, sprzeciw wobec niepraktyczności i przejście do oczekiwanej użyteczności”, Philosophical Studies, 129: 49–79.
  • Fine, T., 2008, „Evaluating the Pasadena, Altadena, and St Petersburg Gambles”, Mind, 117: 613–632.
  • Good, IJ, 1967, „On the Principle of Total Evidence”, The British Journal for the Philosophy of Science, 17: 319–321
  • Greaves, H. 2016, „Cluelessness”, Proceedings of the Aristotelian Society, 116: 311–339.
  • Hampton J., „The Failure of Expected-Utility Theory as a Theory of Reason”, Economics and Philosophy, 10: 195–242.
  • Harsanyi, JC, 1953, „Kardynalna użyteczność w ekonomii dobrobytu i teorii podejmowania ryzyka”, Journal of Political Economy, 61: 434–435.
  • Herfeld, C., „From Theories of Human Behavior to Rules of Rational Choice: Tracing a Normative Turn at the Cowles Commission, 1943-1954”, History of Political Economy, 50: 1-48.
  • Howard, RA, 1980, „On Making Life and Death Decisions”, w: RC Schwing i WA Albers, Societal Risk Assessment: How Safe is Safe Enough?, Nowy Jork: Plenum Press.
  • Howard-Snyder, F., 1997, „The Rejection of Objective Consequentialism”, Utilitas, 9: 241–248.
  • Jackson, F., 1991, „Konsekwencjalizm teorii decyzji i najbliższy i najdroższy zarzut”, Ethics, 101: 461–482.
  • Jeffrey R., 1983, logika decyzji, 2 nd edition, Chicago: University of Chicago Press.
  • Jevons, WS, 1866, „A General Mathematical Theory of Political Economy”, Journal of the Royal Statistical Society, 29: 282–287.
  • Joyce, J., 1999, The Foundations of Causal Decision Theory, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Kahneman, D. & Tversky A., Judgment Under Uncertainty: Heuristics and Biases, Nowy Jork: Cambridge University Press.
  • Kaplan, J., 1968, „Decision Theory and the Factfinding Process”, Stanford Law Review, 20: 1065-1092.
  • Kołmogorow, AN, 1933, Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitrechnung, Ergebnisse Der Mathematik; przetłumaczone jako Foundations of Probability, New York: Chelsea Publishing Company, 1950.
  • Laudan, L., 2006, Prawda, błąd i prawo karne, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Lenman, J., 2000. „Consequentialism and cluelessness”, Philosophy and Public Affairs, 29 (4): 342–370.
  • Lewis, D., 1981, „Przyczynowa teoria decyzji”, Australasian Journal of Philosophy, 59: 5–30.
  • Levi, I., 1991, „Consequentialism and Sequential Choice”, w: M. Bacharach i S. Hurley (red.), Foundations of Decision Theory, Oxford: Basil Blackwell Ltd, 92–12.
  • Lindblom, CE, 1959, „The Science of 'Muddling Through'”, Public Administration Review, 19: 79–88.
  • Loomes, G. And Sugden, R., 1986, „Disappointment and Dynamic Consistency in Choice under Uncertainty”, The Review of Economic Studies, 53 (2): 271–282.
  • Maher, P., 1993, Zakłady na teorie, Cambridge: Cambridge University Press.
  • March, JG and Simon, H., 1958, Organizations, New York: Wiley.
  • Mason, E., 2013, „Obiektywizm i perspektywizm o słuszności”, Journal of Ethics and Social Philosophy, 7: 1–21.
  • Mayo, D., 1996, Error and the Growth of Experimental Knowledge, Chicago: University of Chicago Press.
  • McAskill, W., 2015, Doing Good Better, New York: Gotham Books.
  • McGee, V., 1991, „My Turing Machines nie są oczekiwanymi maksymalizatorami użyteczności (nawet idealnie)”, Philosophical Studies, 64: 115-123.
  • Meacham, C. and Weisberg, J., 2011, „Representation Theorems and the Foundations of Decision Theory”, Australasian Journal of Philosophy, 89: 641–663.
  • Menger, K., 1871, Grundsätze der Volkswirtschaftslehre, przekład James Dingwall i Bert F. Hoselitz as Principles of Economics, Nowy Jork: New York University Press, 1976; przedruk online, Ludwig von Mises Institute, 2007.
  • Mill JS, 1861. Utylitaryzm. Edytowane ze wstępem Rogera Crispa. Nowy Jork: Oxford University Press, 1998.
  • von Neumann, J., and Morgenstern, O., 1944, Theory of Games and Economic Behavior, Princeton: Princeton University Press.
  • Nover, H. & Hájek, A., 2004, „Irytujące oczekiwania”, Mind, 113: 237–249.
  • Nozick, R., 1969, „Newcomb's Problem and Two Principles of Choice”, Nicholas Rescher (red.), Essays in Honor of Carl G. Hempel, Dordrecht: Reidel, 114–115.
  • Oliver, A., 2003, „Ilościowy i jakościowy test paradoksu Allaisa z wykorzystaniem wyników zdrowotnych”, Journal of Economic Psychology, 24: 35–48.
  • Pope, R., 1995, „Ku bardziej precyzyjnym ramom decyzyjnym: oddzielenie negatywnej użyteczności przypadku od malejącej użyteczności krańcowej i preferencji dla bezpieczeństwa”, Theory and Decision, 39: 241–265.
  • Raiffa, H., 1968, Analiza decyzji: wykłady wprowadzające na temat wyborów w warunkach niepewności, Reading, MA: Addison-Wesley.
  • Ramsey, FP, 1926, „Truth and Probability”, w: Foundations of Mathematics and other Essays, RB Braithwaite (red.), Londyn: Kegan, Paul, Trench, Trubner, & Co., 1931, 156–198; przedrukowano w Studies in Subiektywne Prawdopodobieństwo, HE Kyburg, Jr. and HE Smokler (red.), 2 wydanie, Nowy Jork: RE Krieger Publishing Company, 1980, 23–52; przedrukowano w Philosophical Papers, DH Mellor (red.), Cambridge: Cambridge University Press, 1990.
  • Savage, LJ, 1972, Podstawy statystyki, 2 nd edition, Nowy Jork: Dover Publications, Inc.
  • Sen A., 1977, „Rational Fools: A Critique of the Behavioural Foundations of Economic Theory”, Philosophy and Public Affairs, 6: 317–344.
  • Shafer, G., 2007, „Od zasady Cournota do efektywności rynku”, w: Augustin Cournot: Modeling Economics, Jean-Philippe Touffut (red.), Cheltenham: Edward Elgar, 55–95.
  • Sidgwick, H., 1907. The Methods of Ethics, wydanie siódme. Londyn: Macmillan; wydanie pierwsze, 1874.
  • Simon, H., 1956, „Behawioralny model racjonalnego wyboru”, The Quarterly Journal of Economics, 69: 99–118.
  • Skyrms, B., 1980. Przyczynowa konieczność: pragmatyczne badanie konieczności praw, New Haven, CT: Yale University Press.
  • Smith, HM, „Subiektywna słuszność”, Filozofia społeczna i polityczna, 27: 64–110.
  • Sobel, JH, 1994, Taking Chances: Essays on Rational Choice, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Spohn, W., 1977, „Where Luce and Krantz naprawdę uogólniają model decyzyjny Savage'a”, Erkenntnis, 11: 113–134.
  • Srinivasan, A., 2015, „Normativity Without Cartesian Privilege”, Noûs, 25: 273-299.
  • Suppes, P., 2002, Representation and Invariance of Scientific Structures, Stanford: CSLI Publications.
  • Thalos, M. and Richardson, O., 2013, „Kapitalizacja w grze St. Petersburg: Dlaczego rozkłady statystyczne mają znaczenie”, Politics, Philosophy & Economics, 13: 292-313.
  • Weinstein, MC, Torrence, G. i McGuire, A., 2009 „QALYs: the basics”, Value in Health, 12: S5 – S9.
  • Weirich, P., 1986, „Oczekiwana użyteczność i ryzyko”, British Journal for the Philosophy of Science, 37: 419–442.
  • Zynda, L., 2000, „Twierdzenia o reprezentacji i realizm o stopniach wiary”, Filozofia nauki, 67: 45–69.

Narzędzia akademickie

człowiek ikona
człowiek ikona
Jak cytować ten wpis.
człowiek ikona
człowiek ikona
Zobacz wersję PDF tego wpisu w Friends of the SEP Society.
ikona Inpho
ikona Inpho
Poszukaj tego tematu wpisu w Internet Philosophy Ontology Project (InPhO).
ikona dokumentów phil
ikona dokumentów phil
Ulepszona bibliografia tego wpisu na PhilPapers, z linkami do jego bazy danych.

Inne zasoby internetowe

  • Decisions, Games, and Rational Choice, materiały do kursu prowadzonego wiosną 2008 r. Przez Roberta Stalnakera z MIT OpenCourseWare.
  • Microeconomic Theory III, materiały do kursu prowadzonego wiosną 2010 przez Muhameta Yildiza, MIT OpenCourseWare.
  • Wybór w warunkach niepewności, notatki z wykładów Jonathana Levina.
  • Teoria oczekiwanej użyteczności, Philippe Mongin, wpis do The Handbook of Economic Methodology.
  • The Origins of Expected Utility Theory, esej Yvana Lengwilera.

Zalecane: