Ramsey I Międzypokoleniowa Ekonomia Dobrobytu

Spisu treści:

Ramsey I Międzypokoleniowa Ekonomia Dobrobytu
Ramsey I Międzypokoleniowa Ekonomia Dobrobytu

Wideo: Ramsey I Międzypokoleniowa Ekonomia Dobrobytu

Wideo: Ramsey I Międzypokoleniowa Ekonomia Dobrobytu
Wideo: Austriacka ekonomia dobrobytu - Dawid Megger 2024, Marzec
Anonim

Nawigacja wejścia

  • Treść wpisu
  • Bibliografia
  • Narzędzia akademickie
  • Podgląd PDF znajomych
  • Informacje o autorze i cytacie
  • Powrót do góry

Ramsey i międzypokoleniowa ekonomia dobrobytu

Po raz pierwszy opublikowano 1 czerwca 2019 r

Jak powinniśmy konceptualizować dobrostan człowieka na przestrzeni czasu i na przestrzeni pokoleń? W jaki sposób należy uwzględniać interesy ludzi w odległej przyszłości, podejmując własne decyzje? Ile ze swojej produkcji naród powinien zainwestować na przyszłość? W jakie aktywa należy dokonać takiej inwestycji? Jaka powinna być równowaga między prywatnymi, publicznymi i wspólnotowymi inwestycjami w całokształt inwestycji przyszłych pokoleń? Ile świat powinien wydać na przeciwdziałanie globalnej zmianie klimatu?

W niezwykłym artykule Frank Ramsey opracował schemat, w którym każde z tych pytań może być badane w formie, która jest wystarczająco precyzyjna i zrozumiała, aby uzyskać odpowiedzi (Ramsey, 1928). Jego podejście polegało na zastosowaniu rachunku klasyczno-utylitarnego w celu zidentyfikowania najlepszego dopasowania spośród osiągalnych i pożądanych strumieni użyteczności w czasie i na przestrzeni pokoleń. Choć dziś bardzo sławny, nie wywarł on początkowego wpływu. Niektórzy ekonomiści przypisywali brak zainteresowania technicznemu charakterowi artykułu. Odpowiadając na postawione przez siebie pytanie („Jaką część produkcji narodu powinno to zaoszczędzić?”), Ramsey musiał skorzystać z rachunku wariacyjnego. Nie ma wątpliwości, że niewielu ekonomistów znało wtedy wymagane szczegóły techniczne. Ale trudno sobie wyobrazić, że nie było ekonomistów, którzy byliby w stanie nauczyć się niezbędnej matematyki, gdyby chcieli. Powód, dla którego artykuł Ramseya nie wzbudzał zainteresowania, leżał gdzie indziej. W latach następujących po publikacji, w okresie znanym obecnie jako Wielki Kryzys, głównym problemem ekonomicznym krajów uprzemysłowionych było znalezienie sposobów na zwiększenie zatrudnienia. Fabryki były bezczynne, podobnie jak ludzie. Stopa bezrobocia w Europie i USA kształtowała się na poziomie 25%. Potrzebne polityki dotyczyły wtedy tworzenia zachęt dla pracodawców do zatrudniania pracowników. Chociaż wśród ekonomistów były kontrowersje co do tego, jaka powinna być taka polityka, nikt nie wątpił, że społeczeństwa uprzemysłowione borykają się z problemem na krótką metę. W przeciwieństwie do tego Ramsey zajął się kwestią długoterminową; a żeby mieć niezakłócony problem do analizy, przyjął go za to, że w każdym dniu zarówno kapitał, jak i praca są pełne zatrudnienia.

Wraz z pojawieniem się narodów postkolonialnych po drugiej wojnie światowej, długofalowy rozwój gospodarczy stał się ważny w badaniach ekonomicznych. We wczesnych latach sześćdziesiątych stało się jasne, że artykuł Ramseya jest naturalnym punktem wyjścia do badania ekonomii dobrobytu na dłuższą metę, nie tylko dla dążenia do optymalnego rozwoju w gospodarkach centralnie planowanych (Chakravarty, 1969), ale także do wykorzystania w kosztach społecznych. analiza korzyści inwestycji publicznych w gospodarkach mieszanych (Arrow i Kurz, 1970), wybór technologii w gospodarkach z nadwyżką siły roboczej (Little and Mirrlees, 1968, 1974), a ostatnio ekonomia dobrobytu zmian klimatycznych (Cline, 1992; Nordhaus, 1994; Stern, 2007). Liczba tras wytyczonych przez Ramseya była niezwykła. W ekonomii akademickiej jest to jeden z kilkunastu najbardziej wpływowych artykułów XX wieku.

Klasyczny utylitaryzm przyjmuje, że dobro jest oczekiwaną wartością sumy mediów w czasie i na przestrzeni pokoleń (Sidgwick, 1907). Sformułowanie Ramseya zostało zbudowane na tym moralnym rozumowaniu. Użył nawet terminu „przyjemność”, aby zinterpretować użyteczność. Artykuł uosabia rodzaj rozważań etycznych Sen i Williamsa (1982), zwanych „Utilitaryzmem Domu Rządowego”. Ale artykuł Ramseya rozwija się dzisiaj, ponieważ Government House potrzebuje wskazówek etycznych, które nie są rekwizytem dla opłacanych urzędników, by działać w nepotyzm, nie wspominając o drapieżnych sposobach, ale zamiast tego są bezstronni wobec ludzkich potrzeb i wrażliwości. Chociaż Ramsey używał języka utylitaryzmu, hojna lektura jego artykułu mówi, że wiele byśmy zyskali, gdybyśmy zamiast „przyjemności” pracowali z szerszym pojęciem „dobrobytu”.„Takie posunięcie pozwala zwrócić większą uwagę na czynniki, czy to materialne, czy inne, które przyczyniają się do rozkwitu życia.

  • 1. Możliwości produkcyjne w ujęciu Ramseya
  • 2. Rachunek klasyczno-utylitarny

    2.1 Brak rabatu na przyszłe dobrobyt

  • 3. Problem optymalnego oszczędzania

    • 3.1 Niezdyskontowany utylitaryzm
    • 3.2 Ponowna normalizacja niezdyskontowanego utylitaryzmu
    • 3.3 Kryterium wyprzedzania
    • 3.4 Dyskontowany utylitaryzm
  • 4. Reguła Ramseya i jej konsekwencje

    • 4.1 Argument zmienny
    • 4.2 Niekompletność w analizie Ramseya
    • 4.3 Warunek transwersalności
    • 4.4 Liczbowe oszacowanie optymalnej szybkości oszczędzania
    • 4.5 Komentarz
  • Bibliografia
  • Narzędzia akademickie
  • Inne zasoby internetowe
  • Powiązane wpisy

1. Możliwości produkcyjne w ujęciu Ramseya

Cel Ramseya był praktyczny: „Jaką część produkcji narodu powinno to zachować na przyszłość?” Przyjęty został przez niego profil demograficzny w czasie, co oznacza, że przyszłe liczby ludzi były postrzegane jako egzogeniczne i przewidywalne. Dlatego mieliśmy sobie wyobrazić, że polityka gospodarcza ma znikomy wpływ na zachowania reprodukcyjne (ale patrz Dasgupta, 1969, w celu zbadania wspólnego problemu populacji / oszczędzania, stosując klasyczny utylitaryzm jako zasadę przewodnią). Parfit (1984) ochrzcił wybory o tym samym profilu demograficznym „Same Numbers Choices”.

Składniki teorii Ramseya to dobrobyt jednostek na całe życie. Dom rządowy w jego świecie maksymalizuje oczekiwaną sumę dobrobytu wszystkich, którzy są tutaj dzisiaj i wszystkich, którzy kiedykolwiek się urodzą, z zastrzeżeniem ograniczeń zasobów. Optymalny rozkład dobrobytu na całe życie między pokoleniami jest wynikiem tego ćwiczenia maksymalizującego. Oczywiście upływ czasu nie jest tym samym, co postęp pokoleń. Dobrobyt jednostki przez całe życie jest sumą przepływu dobrego samopoczucia, którego doświadcza, podczas gdy dobrostan międzypokoleniowy jest sumą dobrobytu całego życia wszystkich, którzy pojawiają się na scenie. Wątpliwe jest, aby te dwa agregaty miały taką samą funkcjonalną postać. Z drugiej strony niewiele jest dowodów sugerujących, że bylibyśmy daleko od celu zakładając, że mają taką samą formę. Jeśli chodzi o etykę praktyczną, niezwykle pomaga przybliżyć się, nie odróżniając funkcjonalnej formy czyjegoś dobrego samopoczucia w czasie od dobrostanu na przestrzeni pokoleń. Ramsey przyjął ten skrót. Przyjmowano również, że ludzie są identyczni, więc równie dobrze możemy założyć, że na każdym dniu jest jedna osoba. Ten ruch usuwa wszelkie różnice między czasem a pokoleniami. Alternatywna interpretacja pozwoliłaby nam wyobrazić sobie, że gospodarka składa się z jednej dynastii, w której rodzice w każdym pokoleniu pozostawiają zapisy dla swoich dzieci (Meade, 1966, przyjął tę interpretację). Ramsey założył również, prawdopodobnie dlatego, że matematyka jest prostsza, że czas jest zmienną ciągłą, a nie dyskretną.ogromnie pomaga w przybliżeniu, nie odróżniając funkcjonalnej formy czyjegoś dobrego samopoczucia w czasie od dobrostanu na przestrzeni pokoleń. Ramsey przyjął ten skrót. Przyjmowano również, że ludzie są identyczni, więc równie dobrze możemy założyć, że na każdym dniu jest jedna osoba. Ten ruch usuwa wszelkie różnice między czasem a pokoleniami. Alternatywna interpretacja pozwoliłaby nam wyobrazić sobie, że gospodarka składa się z jednej dynastii, w której rodzice w każdym pokoleniu pozostawiają zapisy dla swoich dzieci (Meade, 1966, przyjął tę interpretację). Ramsey założył również, prawdopodobnie dlatego, że matematyka jest prostsza, że czas jest zmienną ciągłą, a nie dyskretną.ogromnie pomaga w przybliżeniu, nie odróżniając funkcjonalnej formy czyjegoś dobrego samopoczucia w czasie od dobrostanu na przestrzeni pokoleń. Ramsey przyjął ten skrót. Przyjmowano również, że ludzie są identyczni, więc równie dobrze możemy założyć, że na każdym dniu jest jedna osoba. Ten ruch usuwa wszelkie różnice między czasem a pokoleniami. Alternatywna interpretacja pozwoliłaby nam wyobrazić sobie, że gospodarka składa się z jednej dynastii, w której rodzice w każdym pokoleniu pozostawiają zapisy dla swoich dzieci (Meade, 1966, przyjął tę interpretację). Ramsey założył również, prawdopodobnie dlatego, że matematyka jest prostsza, że czas jest zmienną ciągłą, a nie dyskretną.więc równie dobrze możemy założyć, że w każdym dniu jest jedna osoba. Ten ruch usuwa wszelkie różnice między czasem a pokoleniami. Alternatywna interpretacja pozwoliłaby nam wyobrazić sobie, że gospodarka składa się z jednej dynastii, w której rodzice w każdym pokoleniu pozostawiają zapisy dla swoich dzieci (Meade, 1966, przyjął tę interpretację). Ramsey założył również, prawdopodobnie dlatego, że matematyka jest prostsza, że czas jest zmienną ciągłą, a nie dyskretną.więc równie dobrze możemy założyć, że w każdym dniu jest jedna osoba. Ten ruch usuwa wszelkie różnice między czasem a pokoleniami. Alternatywna interpretacja pozwoliłaby nam wyobrazić sobie, że gospodarka składa się z jednej dynastii, w której rodzice w każdym pokoleniu pozostawiają zapisy dla swoich dzieci (Meade, 1966, przyjął tę interpretację). Ramsey założył również, prawdopodobnie dlatego, że matematyka jest prostsza, że czas jest zmienną ciągłą, a nie dyskretną.nie dyskretne.nie dyskretne.

Niech (t / ge 0) oznacza czas. W modelu Ramseya nie ma niepewności (ale patrz Levhari i Srinivasan, 1969, dla jednego z pierwszych z wielu rozszerzeń modelu Ramseya, które obejmują niepewność co do przyszłych możliwości). Gospodarka jest wyposażona w jeden, niepodlegający amortyzacji towar, który może zostać wykorzystany przez siłę roboczą do wytworzenia produktu w każdym dniu (Gale, 1967 i Brock, 1973, były jednymi z pierwszych z wielu rozszerzeń modelu Ramseya, które zawierają heterogeniczną kolekcję dóbr inwestycyjnych). Zakłada się, że gospodarka jest zamknięta dla handlu międzynarodowego (otwarcie gospodarki na handel wiąże się tylko z niewielkim rozszerzeniem modelu Ramseya). Oznacza to, że część produkcji można zainwestować, aby dodać do zapasów towaru, podczas gdy reszta może zostać natychmiast skonsumowana. Zasoby towaru, które służą do produkcji produktu, nazywamy „kapitałem”.„Problem polega więc na znalezieniu optymalnego podziału produkcji w każdym dniu między konsumpcją a inwestycjami.

Ramsey założył, że praca jest nieprzyjemna. Ale ponieważ uwzględnienie uciążliwości pracy w naszym opisie jego pracy nie dodałoby niczego istotnego, przypuszczamy, że podaż pracy jest zewnętrznie określoną stałą (np. Jest niezależna od płac, jakich może żądać praca). To pozwala nam ograniczyć podaż siły roboczej zarówno w produkcji, jak i na czynniki wpływające na dobrobyt.

Jeśli (K) jest zasobem kapitału jednego i jedynego towaru w gospodarce, to produkcja jest równa (F (K)), gdzie (F (0) = 0) (tj. Produkcja wynosi zero jeśli nie ma kapitału), (dF (K) / dK / gt 0) (tj. produkt krańcowy kapitału jest dodatni) i (d ^ 2 F (K) / dK ^ 2 / le 0) (tj. iloczyn krańcowy (K) nie rośnie wraz z (K)). (F (K)) jest przepływem (produkcją w danym momencie), w przeciwieństwie do (K), który jest zasobem (ilość kapitału, okres). Zauważ również, że produkcja zależy wyłącznie od zasobów kapitału. Nie wspomina się o możliwej poprawie jakości kapitału lub pracy. Tak więc w modelu Ramseya nie ma perspektywy postępu technicznego ani akumulacji kapitału ludzkiego (ale patrz Mirrlees, 1967,za jedno z pierwszych z wielu rozszerzeń modelu Ramseya, które obejmują postęp technologiczny w produkcji i tworzenie kapitału ludzkiego); nie ma też żadnych zasobów naturalnych w modelu (ale patrz Dasgupta i Heal, 1974, dla jednego z pierwszych z wielu rozszerzeń modelu Ramseya, które obejmują kapitał naturalny w produkcji).

Niech (C (t)) będzie konsumpcją w (t). Jest to przepływ (jednostki zużycia na chwilę). Podobnie piszemy (K (t)) dla zasobu kapitału w (t). Ponieważ (dK (t) / dt) jest tempem zmian w zasobach kapitałowych w (t), jest to „inwestycja netto w (t)”, co również jest przepływem. A ponieważ zakłada się, że zasób kapitału nie ulegnie deprecjacji, inwestycja brutto równa się inwestycji netto.

W modelu Ramseya przewidywana produkcja w każdym momencie jest równa sumie zamierzonych inwestycji i zamierzonej konsumpcji. Zamiary są zawsze realizowane. Mówiąc językiem technicznym, gospodarka jest w każdej chwili w stanie równowagi, co jest innym sposobem na powiedzenie, że w każdej chwili zamierzone oszczędności są równe zamierzonym inwestycjom. (Założenie to nie wymaga wyjaśnienia w modelu z pojedynczym agentem, ale ma realne znaczenie w świecie, w którym oszczędzający nie są tymi samymi agentami co inwestorzy). Zakłada się, że kapitał jest zawsze w pełni wykorzystany, a praca (która jest przyjmuje się, że funkcja (F (K))) jest w pełni wykorzystana. Wynik w (t) to (F (K (t))). Wynika z tego, że gospodarkę napędza równanie dynamiczne

(tag {1} frac {dK (t)} {dt} = F (K (t)) - C (t))

Równanie (1) mówi, że jeśli konsumpcja wynosi (C (t)), inwestycje są tym, co pozostaje z produkcji. Tak więc problem Ramseya można przedstawić w równym stopniu jako: „Jaką część produkcji narodu powinna konsumować?” Jeśli zużycie jest mniejsze niż produkcja w (t) (tj. (C (t) lt F (K (t))), inwestycja jest dodatnia (tj. (DK (t) / dt / gt 0)), a zasób kapitału rośnie; ale jeśli konsumpcja przekroczy produkcję w (t), inwestycje są ujemne, co oznacza, że kapitał jest pochłaniany, a zasoby spadają (tj. (dK (t) / dt / lt 0).) Wyobrażamy sobie teraz, że Government House otrzymuje radę od „obywatela zaangażowanego społecznie”, czyli osoby, która w każdym dniu stara się ustalić właściwą równowagę między konsumpcją a inwestycjami w gospodarce. Decyzję tę nazwiemy maker, czyli DM. Ramsey wyobrażał sobie, że DM jest klasycznym utylitarystą.

2. Rachunek klasyczno-utylitarny

Klasyczny utylitaryzm identyfikuje dobro jako oczekiwaną sumę dobrobytu na przestrzeni czasu i na przestrzeni pokoleń. Oto Sidgwick (1907: 414) w tej sprawie:

Wydaje się… jasne, że czas, w którym człowiek istnieje, nie może wpływać na wartość jego szczęścia z uniwersalnego punktu widzenia; i że interesy potomności muszą dotyczyć utylitaryzmu tak samo, jak interesy jego współczesnych, z wyjątkiem tego, że wpływ jego działań na potomstwo - a nawet istnienie istot ludzkich, na które ma to wpłynąć - musi być z konieczności bardziej niepewny. (Dodano kursywy)

Aby to sformalizować, rozważmy dowolną datę (t), w której DM obraduje. Niech (tau) oznacza daty nie wcześniejsze niż (t) (tj. (Tau / ge t)). Ramsey rozważał deterministyczny, nieskończenie żyjący świat (ale zobacz Yaari, 1965, dla pierwszego z wielu rozszerzeń modelu Ramseya, które uwzględniają ryzyko indywidualnego lub społecznego wymarcia). Przyjmuje się, że dobrostan jest wielkością liczbową. Niech (U (t)) będzie dobrostanem w (t) i niech (V (t)) będzie zagregowaną miarą przepływu dobrostanu w czasie i pokoleniach, ocenianym w czasie (t). Ramsey poszedł za Sidgwickiem, zakładając to

(tag {2} V (t) = / int ^ { infty} _t [U (tau)] d / tau)

(V (t)) to dobrobyt międzypokoleniowy w (t). Ponieważ świat Ramseya jest deterministyczny, (V (t)) jest również oczekiwaną wartością (V (t)). Zatem kryterium Sidgwicka to (V (t)) w równaniu (2).

Przyjmuje się, że dobrostan w danym dniu jest funkcją wyłącznie konsumpcji w tym dniu. Dlatego piszemy (U (t) = U (C (t))). Ramsey założył, że marginalne samopoczucie jest dodatnie (tj. (DU (C) / dC / gt 0)), ale zmniejsza się wraz ze wzrostem poziomu konsumpcji (tj. (D ^ 2 U (C) / dC ^ 2 / lt 0)). Ta ostatnia właściwość oznacza, że (U (C)) jest funkcją ściśle wklęsłą. (Edgeworth, 1885, rutynowo założył, że krańcowy dobrobyt spada wraz ze wzrostem konsumpcji). Zatem równanie (2) można zapisać jako

(tag {3} V (t) = / int ^ { infty} _t [U (C (tau))] d / tau)

Klasyczny utylitaryzm, jak odzwierciedla równanie (3), wymaga, aby jeśli (U) jest liczbową miarą dobrostanu, to tak samo jest z (alpha U + / beta), gdzie (alpha) jest a liczba dodatnia, a (beta) to liczba obu znaków. Formalnie mówimy, że (U) jest unikalne aż do „pozytywnych przekształceń afinicznych”. Obecnie potwierdzamy, że zalecenia teorii są niezmienne w przypadku takich przekształceń.

2.1 Brak rabatu na przyszłe dobrobyt

W równaniu (3) przyszłe wartości (U) nie są dyskontowane, gdy ogląda się je od chwili obecnej (t). Ten konkretny ruch wywołał więcej debat wśród ekonomistów i filozofów niż jakakolwiek inna cecha teorii Ramseya dotycząca optymalnego oszczędzania. Czasami debata była ostrzejsza niż my, ekonomiści, jesteśmy przyzwyczajeni (patrz w szczególności Nordhaus, 2007). Ryzykując dzikiego uogólnienia, ekonomiści opowiadali się za stosowaniem dodatnich stóp w celu dyskontowania przyszłego dobrobytu (np. Arrow i Kurz, 1970), podczas gdy filozofowie nalegali, aby dobrobyt przyszłych ludzi miał taką samą wagę jak ludzi współczesnych (np. Parfit, 1984).

Jak wyglądałby klasyczny utylitaryzm z pozytywnym dyskontowaniem przyszłego dobrobytu? Niech (delta / gt 0) będzie stopą, przy której uważa się za pożądane dyskontowanie przyszłych dobrobytu (dla uproszczenia przyjmujemy, że stopa dyskontowa jest stała). Wtedy zamiast równań (2) - (3) dobrostan międzypokoleniowy w (t) miałby postać

(tag {4} begin {align} V (t) & = / int ^ { infty} _t [U (tau) e ^ {- / delta (tau -t)}] d / tau & = / int ^ { infty} _t [U (C (tau)) e ^ {- / delta (tau -t)}] d / tau, t / ge 0 \\ / end {align}]

W równaniu (4) (delta) „stopa dyskontowa czasu” i (e ^ {- / delta}) wynikowy „współczynnik dyskonta czasowego”.

(delta / gt 0) implikuje (e ^ {- / delta} lt 1). Oznacza to, że (e ^ {- / delta (tau -t)}) ma tendencję do zera wykładniczo, ponieważ (tau) dąży do nieskończoności. W drugiej części swojej pracy Ramsey (1928: 553–555) użył równania (4) do zbadania problemu optymalnej oszczędności, ale nie pochwalił tego sformułowania. Zamiast tego napisał (s. 543), że zdyskontowanie późniejszych (U) w porównaniu z wcześniejszymi jest „… etycznie nie do obrony i wynika jedynie ze słabości wyobraźni”. W książce, która zainaugurowała formalne badanie rozwoju gospodarczego, Harrod (1948: 40) poszedł w jego ślady, nazywając tę praktykę „… uprzejmym wyrażeniem drapieżności i podboju rozumu przez namiętność”.

Mocne słowa, ale dla niektórych ekonomistów restrykcja Ramseya-Harroda w deterministycznym świecie brzmi jak niedzielne oświadczenie. Solow (1974a: 9) wyraził to uczucie dokładnie wtedy, gdy napisał: „Na uroczystym zgromadzeniu konklawe, że tak powiem, powinniśmy zachowywać się tak, jakby [stopa dyskontowa dla przyszłych dobrobytu] wynosiła zero”.

Ale sprawy nie da się rozstrzygnąć bez badania możliwości produkcji i konsumpcji otwartych dla gospodarki. Rozważ następujące napięcie między dwoma zestawami rozważań:

  1. Niskie wskaźniki konsumpcji przez pokolenia w dostatecznie odległej przyszłości nie byłyby postrzegane jako coś złego przez obecny DM, gdyby przyszłe dobrobyt były dyskontowane w dodatnim tempie. Dlatego dzisiejszy DM zalecałby wysokie wskaźniki konsumpcji na teraz i w najbliższą przyszłość, nawet jeśli oznaczałoby to, że pokolenia w odległej przyszłości będą żyć w nędzy. Gdyby jednak przestrzegano takiej polityki, nie zostałyby spełnione wymogi dalszego moralnego wymogu wobec klasycznego utylitaryzmu, które DM może wyznawać, a mianowicie „sprawiedliwości międzypokoleniowej”. Dlatego powinniśmy podążać za Ramseyem i nie lekceważyć przyszłego dobrobytu.
  2. Zapisz (dF (K) / dK) jako (F_K). Z równania (1) można łatwo wywnioskować, że (F_K) to stopa zwrotu z inwestycji. W gospodarce Ramseya (F_K / gt 0), co oznacza, że każda zaoszczędzona jednostka produkcji daje więcej niż jednostka przyszłej konsumpcji, przy czym inne czynniki są takie same. Na przykład, jeśli DM miałby zmniejszyć zużycie w (t) o jednostkę, dodatkowe zużycie, które byłoby dostępne w najkrótszym okresie później - zapisujemy to jako (Delta t) - bez wpływu na zużycie w żadnym przyszła data to (1+ [dF (K (t)) / dK (t)] Delta t). Produktywność kapitału jest więc związana ze strzałką czasu, która stwarza tendencję na korzyść przyszłych pokoleń. To uprzedzenie ugryza powiedzenie: „Możemy coś zrobić dla potomności,ale co może kiedykolwiek zrobić dla nas potomność?” Nieuchronnie nasuwa się myśl, że być może należałoby przeciwdziałać temu uprzedzeniu w rachunku DM, gdyby poświęciła trochę uwagi międzypokoleniowej równości w urzeczywistnionym dobrobycie jako uzupełnieniu klasycznego utylitaryzmu. To z kolei sugeruje, że DM powinien porzucić Ramseya i zdyskontować przyszły dobrobyt w dodatnim tempie.

Siła każdego rozważania została wykazana w literaturze ekonomicznej. W kontekście prostego modelu pokazano, że jeśli produkcja wymaga kapitału produkowanego i wyczerpujących się zasobów, to optymalna konsumpcja spada do zera w dłuższej perspektywie, jeśli przyszłe dobrobyt są dyskontowane w dodatnim tempie (Dasgupta i Heal, 1974) ale wzrasta w nieskończoność, jeśli podążamy za Ramseyem w niedyskontowaniu przyszłych dobrobytu (Solow, 1974b). Ćwiczenia mówią nam, że długoterminowe cechy optymalnej polityki oszczędzania zależą od względnej wielkości stopy dyskontowania przyszłego dobrobytu oraz długoterminowej produktywności aktywów kapitałowych.

Jest tutaj bardziej ogólny punkt, który został zgłębiony przez Koopmansa (1960, 1965, 1967, 1972) w niezwykłym zestawie publikacji poświęconych idei rozwoju gospodarczego. W tak złożonych ćwiczeniach, jak te, które dotyczą konsumpcji i inwestycji w długim horyzoncie czasowym, głupotą jest uważanie jakiejkolwiek zasady etycznej (np. Klasycznego utylitaryzmu) za świętość. Nigdy nie wiadomo z góry, z czym może się spotkać. Bardziej rozsądną taktyką niż Ramsey byłoby rozgrywanie jednego zestawu założeń etycznych przeciwko drugiemu w niewiarygodnych światach, sprawdzenie, jakie są ich implikacje dla dystrybucji dobrobytu między pokoleniami, a następnie odwołanie się do naszych intuicyjnych zmysłów, zanim zaczną się kłócić polityka. Ustalenie ex ante, czy zastosować dodatnią stopę procentową w celu zdyskontowania przyszłego dobrobytu, może być posunięciem daremnym. [1]

3. Problem optymalnego oszczędzania

Ramsey rozważał świat o nieokreślonej przyszłości. Może się to wydawać dziwnym posunięciem, ale ma mocne uzasadnienie. Załóżmy, że DM miałby wybrać horyzont (T) lat. Ponieważ nie wie, kiedy skończy się nasz świat, będzie chciała określić zasoby, które powinny pozostać w (T) na wypadek, gdyby świat się wtedy nie skończył. Ale aby znaleźć uzasadnienie dla kwoty pozostającej w (T), DM będzie potrzebować oceny świata poza (T). Oznaczałoby to jednak włączenie świata poza (T). I tak dalej.

Oznaczmy strumień konsumpcji od teraźniejszości ((t = 0)) do nieskończoności jako ({C (t) }.) (K (0) gt 0) opisuje gospodarkę; jest to ilość kapitału, który społeczeństwo odziedziczyło z przeszłości. Matematycy nazwaliby (K (0)) „warunkiem początkowym”. Problem, który Ramsey postawił sobie, polegał na określeniu strumienia konsumpcji ({C (t) }) od 0 do nieskończoności, który wybrałby DM, gdyby była klasyczną utylitarystką.

3.1 Niezdyskontowany utylitaryzm

Wywołaj strumień zużycia ({C (t) }) wykonalny, jeśli spełnia równanie (1) z warunkiem początkowym (K (0)). W deterministycznym świecie Ramseya klasyczne utylitarne sformułowanie problemu optymalnych oszczędności narodowych na dzień (t = 0) jest następujące:

„Ze zbioru wszystkich możliwych strumieni zużycia znajdź, że ({C (t) }), które maksymalizuje

[V (0) = / int ^ { infty} _0 [U (C (t))] dt.”)

Nazwijmy ten problem optymalizacji Ramsey Mark I.

Z Ramsey Mark I jest poważna trudność: nie jest spójna. Nieskończone kwoty niekoniecznie są zbieżne. Dla każdego ({C (t) }), dla którego całka nieskończona nie jest zbieżna, (V (0)) nie istnieje. Jeśli całka nie jest zbieżna dla wszystkich wykonalnych strumieni zużycia ({C (t) }), problem maksymalizacji jest bez znaczenia: nie można zmaksymalizować czegoś, co wydaje się być funkcją o wartościach rzeczywistych (V (0)), gdy w rzeczywistości funkcja nie istnieje.

Siłę tej obserwacji można zobaczyć w

Przykład 1 (przypisywany Davidowi Gale)

Załóżmy, że jako skrajny przypadek specjalny gospodarki Ramseya, (F (K) = 0) dla wszystkich (K / ge 0). Następnie równanie (1) sprowadza się do

(tag {5} frac {dK (t)} {dt} = - C (t))

Gospodarka opisana w równaniu (5) składa się z niepogarszającego się kawałka ciasta o rozmiarze (K (0) gt 0) w dniu początkowym. Jest oczywiste, że każdy strumień zużycia ({C (t) }) spełniający równanie (5) dąży do zera w dłuższej perspektywie. Formalnie (C (t) rightarrow 0) as (t / rightarrow / infty).

Ponieważ funkcja (U) - jest unikalna aż do dodatnich transformacji afinicznych, możemy bez utraty ogólności znormalizować ją tak, aby (U (0) ne 0). Jest więc oczywiste, że dla wszystkich wykonalnych ({C (t) }), (V (0)) w Ramsey Mark I rozbiega się do minus nieskończoności, jeśli (U (0) lt 0), ale rozbiega się do plus nieskończoności, jeśli (U (0) gt 0). Że optymalna polityka nie istnieje w modelu jedzenia ciastek, można zobaczyć, jeśli teraz przypomnimy sobie, że (U (C)) zostało przyjęte jako ściśle wklęsłe. Założenie to oznacza, że jakikolwiek nie-egalitarny podział konsumpcji między pokoleniami może zostać ulepszony poprzez odpowiednią redystrybucję. Idealna dystrybucja to równa konsumpcja dla wszystkich pokoleń. Jedynym strumieniem zużycia z tą drugą właściwością jest (C (t) = 0) dla wszystkich (t). Ale to najgorsza możliwa dystrybucja. CO BYŁO DO OKAZANIA

3.2 Ponowna normalizacja niezdyskontowanego utylitaryzmu

Powstaje pytanie, czy istnieją okoliczności, w których istnieje najlepszy strumień zużycia, mimo że (V (0)) nie jest zbieżny dla wszystkich strumieni zużycia. Ramsey sformułował to pytanie, zmieniając sposób postawienia problemu oszczędzania.

Wyobraź sobie, że dobre samopoczucie jest na pierwszym miejscu, bez względu na to, jak duża jest konsumpcja. Niech (U) będzie liczbową miarą dobrostanu, którą zdecyduje się pracować DM. (Wszystkie pozytywne transformacje afiniczne (U) byłyby równie uprawnionymi miarami dobrobytu.) Niech (B) będzie najniższą górną granicą (U). Ramsey ochrzcił to „Bliss”. Ponieważ stopa zwrotu z inwestycji ((F_K)) w jego modelu jest dodatnia, konsumpcja rosłaby w nieskończoność i dążyłaby do nieskończoności w długim okresie, gdyby stopy oszczędności były odpowiednio dobrane. Oznacza to, że istnieją możliwe ścieżki rozwoju gospodarczego, w których (U (C (t))) ma tendencję do (B) w dłuższej perspektywie. Oznacza to jednak, że istnieją możliwe ścieżki rozwoju gospodarczego, w których spadek (U (C (t))) z (B) zmierza do zera w dłuższej perspektywie. Jeśli krótki spadek zmierza do zera wystarczająco szybko,istniałaby niezdyskontowana całka różnicy między (U (C (t))) a (B), a DM może dążyć do maksymalizacji zmodyfikowanej całki. Mamy więc Ramseya Mark II, który brzmi jak

„Ze zbioru wszystkich możliwych strumieni zużycia znajdź, że ({C (t) }), które maksymalizuje

[V (0) = / int ^ { infty} _0 [U (C (t)) - B] dt.”)

Zauważ, że Mark II jest transformacją Mark I. Transformacja sprowadza się do ponownej normalizacji kryterium optymalności. Przejście od Marka I do Marka II ze strony Ramseya było nie tylko genialne, ale także pokazało jego moralną integralność. Byłoby mu dość łatwo poprosić DM zamiast tego o zdyskontowanie przyszłej konsumpcji i rozszerzenie zakresu okoliczności, w których utylitaryzm dostarcza odpowiedzi na problem, który DM stara się rozwiązać. Postanowił tego nie robić.

Intuicja Ramseya dotycząca przejścia od Marka I do Marka II była potężna, ale w artykule, który zainicjował współczesną literaturę dotyczącą problemu Ramseya, Chakravarty (1962) zauważył, że poleganie wyłącznie na stanie, który Ramsey zidentyfikował jako niezbędny do strumienia konsumpcji, Być optymalnym (patrz poniżej) może prowadzić do absurdalnych rezultatów (patrz poniżej, sekcja 4). W efekcie Chakravarty zauważył, że całki nieskończone, nawet rzucone w postaci ponownie znormalizowanej w Ramsey Mark II, niekoniecznie zbiegają się do wartości skończonych.

3.3 Kryterium wyprzedzania

Potrzebne było oddzielenie pytania, czy nieskończone całki dobrostanu zbiegają się z pytania, czy istnieją optymalne strumienie zużycia. Spostrzeżenia tego dostarczyli Koopmans (1965) i von Weizsacker (1965). Ponowne sformułowanie problemu optymalnego oszczędzania przez tego ostatniego autora było następujące:

Mówimy, że możliwy strumień zużycia ({C ^ * (t) }) jest lepszy od możliwego do wykorzystania strumień ({C (t) }) jeśli istnieje (T / gt 0) takie, że dla wszystkich (t / ge T), (tag {6} int ^ t_0 [U (C ^ * (s))] ds / ge / int ^ t_0 [U (C (s))] ds)

Nazywamy ({C ^ * (t) }) optymalnym, jeśli przewyższa wszystkie inne możliwe strumienie zużycia.

Warunek, który jest reprezentowany przez nierówność (6), jest znany jako kryterium wyprzedzania (OC), bo tak właśnie jest. OC unika pytania, czy całki po obu stronach nierówności (6) są zbieżne jako (t / rightarrow / infty). Jeśli tak, OC sprowadza się do klasycznego utylitaryzmu. Ale OC jest w stanie odpowiedzieć na problem oszczędności Ramseya w szerszej kategorii sytuacji. W swojej pracy Koopmans (1965) zidentyfikował kanoniczny model ekonomiczny, w którym funkcja (U) - jest ograniczona powyżej iw którym Ramsey Mark II jest odpowiednikiem problemu optymalizacji, który jest postawiony w kategoriach OC.

Co mamy zrobić z etyką lekceważenia dobrobytu przyszłych pokoleń? Ramsey (1928) zaczął od odrzucenia go, ale potem przestudiował go na końcu swojej pracy. DM może oczywiście uzasadniać pomijanie przyszłego dobrobytu, jeśli istnieje możliwość wymarcia w przyszłości. Sam Sidgwick (1907) zauważył to we zacytowanym wcześniej fragmencie. Jeśli klasyczny utylitaryzm ma pochwalić oczekiwaną sumę dobrobytu, wówczas „współczynnik ryzyka” w dniu (t) (tj. Prawdopodobieństwo wyginięcia w dniu (t) zależy od przetrwania społeczeństwa do (t))) pojawi się w wyrażeniu dla oczekiwanego dobrostanu jako stopa dyskontowa dla dobrobytu przy (t). Pozostaje pytanie, czy klasyczny utylitaryzm nalegałby na zerowe dyskontowanie przyszłych usług użyteczności publicznej w deterministycznym świecie.

W niezwykłej parze prac Koopmans (1960, 1972) ujawnił wewnętrzne sprzeczności w rozumowaniu etycznym w deterministycznym świecie zarówno w Ramsey Mark I, jak i Ramsey Mark II. On (a następnie Diamond, 1965) wykazał, że jeśli na koncepcję dobrostanu międzypokoleniowego w deterministycznym świecie nakłada się stosunkowo słabe wymagania normatywne, należy porzucić równe traktowanie funkcji (U) - przez pokolenia. Przejdźmy teraz do tego.

3.4 Dyskontowany utylitaryzm

Okazuje się, że matematyka jest dużo prostsza, jeśli zamiast zakładać, że czas jest ciągły, czas jest dyskretny. Zatem teraz zakładamy, że (t = 0,1,2, / ldots). Załóżmy również, że dobrostan międzypokoleniowy w punkcie (t = 0) można mierzyć za pomocą funkcji liczbowej (V). Chodzi o to, aby funkcja, która jest zdefiniowana w nieskończonych strumieniach dobrobytu, spełniała właściwości odzwierciedlające dyrektywy etyczne.

Niech ({U (t) }) będzie nieskończonym strumieniem dobrego samopoczucia, to znaczy ({U (t) } = (U (0), U (1), / ldots, U (t), / ldots)). Mówimy, że (V ({U (t) })) jest ciągłe, jeśli w odpowiednim matematycznym sensie wartości (V) dla strumieni dobrobytu ({U (t) }) które nie różnią się zbytnio w przestrzeni ({U (t) }) s są blisko siebie. Kolejnym warunkiem funkcji (V) - atrakcyjnej etycznie jest „monotoniczność”. Aby zdefiniować pojęcie, powiedzmy, że strumień dobrobytu jest „lepszy” od innego, jeśli żadne pokolenie nie cieszy się mniejszym dobrobytem w porównaniu z poprzednim i jeśli jest przynajmniej jedno pokolenie, które cieszy się większym dobrobytem w pierwszym niż w drugim. Mówimy, że (V) jest monotoniczne, jeśli (V) jest większe dla strumienia dobrobytu niż dla innego, jeśli to pierwsze jest lepsze od drugiego.

Obie nieruchomości są atrakcyjne. Niezależnie od porządków leksykograficznych nie ma przekonujących argumentów przeciwko ciągłości. Oczywiście Rawls (1972) umieścił zasady pierwszeństwa i porządki leksykograficzne na obiektach będących przedmiotem zainteresowania w swojej koncepcji sprawiedliwości, które im towarzyszą, w centrum swojej teorii, ale okazało się, że było to jedno z jego najbardziej kontrowersyjnych posunięć. Bogactwo i głębia jego analizy nie zmniejszyłyby się, gdyby dopuszczono niewielkie kompromisy między przedmiotami sprawiedliwości. Trudno jest znaleźć powody, które przemawiają przeciwko monotoniczności. Nawet Rawls, którego praca była tak ukierunkowana na sprawiedliwość rozdzielczą, nalegał na monotonię.

Można jednak wykazać, że każda funkcja (V) -, która spełnia ciągłość i monotoniczność, musi mieć wbudowane dyskontowanie generacji. Wydawałoby się, że rzeczywiste liczby nie są wystarczająco bogate, aby pomieścić nieskończone strumienie dobrobytu w sposób, który szanuje ciągłość i monotonię, jednocześnie przyznając dobrobytom wszystkich pokoleń równą wagę. Dowód tej propozycji znajduje się w Diamond (1965) i został przypisany przez autora Menahem Yaari. Więc teraz wprowadzamy pozytywne dyskontowanie dobrostanu w funkcji (V) - i formułujemy Ramsey Mark III.

Wróć jeszcze raz do receptury, w której czas jest ciągły. Jak poprzednio mówimy, że strumień konsumpcji ({C (t) }) jest możliwy, jeśli spełnia równanie (1) z początkowym zasobem kapitału (K (0)). Ramsey Mark III (Ramsey, 1928, 553–555) jest zatem:

„Ze zbioru wszystkich możliwych strumieni zużycia znajdź, że ({C (t) }), które maksymalizuje

[V (0) = / int ^ { infty} _0 [U (C (t)) e ^ {- / delta t}] dt, / delta / gt 0.”)

W Mark III stopa dyskontowa (delta) jest dodatnią stałą. Oznacza to, że odpowiadający współczynnik dyskontowy (e ^ {- / delta}) jest mniejszy niż 1. Ten ostatni z kolei może oznaczać, że w szerokim zakresie modeli ekonomicznych (e ^ {- / delta t}) dąży do zera w tak szybkim tempie, że Mark III ma odpowiedź.

Niech ({C ^ * (t) }) będzie rozwiązaniem Ramseya Mark III. Z heurystycznego punktu widzenia warto wyobrazić sobie, że w każdym dniu jest DM. Miarą dobrostanu międzypokoleniowego dla DM w dniu (t) jest (V (t)) z równania (4). Zauważ, że poglądy etyczne kolejnych DM są ze sobą zgodne. Nie ma zatem potrzeby, aby DM sporządzali „umowę międzypokoleniową”. DM każdego dnia będzie chciał wybrać poziom konsumpcji, który uzna za optymalny, mając świadomość, że kolejne DM wybiorą zgodnie z tym, co dla nich zaplanowała. We współczesnym żargonie opartym na teorii gier optymalny strumień konsumpcji Ramseya ({C ^ * (t) }) jest „niewspółpracującą” (Nash) równowagą pomiędzy DM.

4. Reguła Ramseya i jej konsekwencje

Teraz skonstruujemy nieformalną wersję argumentu wariacyjnego, którego Ramsey użył do określenia ({C ^ * (t) }) w Mark III. Mówiąc najprościej, DM wymagają krańcowej stopy etycznie obojętnej substytucji między konsumpcją w dowolnych dwóch krótkich okresach czasu, aby zrównać się z krańcowym tempem, z jakim konsumpcja może zostać przekształcona między tymi samymi parami krótkich okresów. Ich równość (tj. Właściwa równowaga pomiędzy „pożądanymi” i „możliwymi”) jest niezbędną właściwością optymalnego strumienia konsumpcji.

Ramsey skonstruował matematyczne wyrażenie tej własności, ale nie szukał warunków, które wzięte razem są zarówno konieczne, jak i wystarczające. Posłużymy się prostym przykładem, który również znajduje się w jego artykule, aby pokazać, jak można uzyskać wystarczający stan.

4.1 Argument zmienny

Napisz (dU / dC = U_C) i (d ^ 2 U / dC ^ 2 = U_ {CC}.) Niech ({C (t) }) będzie wykonalnym strumieniem zużycia. Najpierw wyprowadzamy formalne wyrażenie określające krańcową stopę etycznie obojętnej substytucji między konsumpcją w dowolnych dwóch krótkich okresach czasu. Załóżmy, że intencją jest zmniejszenie zużycia w przyszłości (t) o niewielką ilość (Delta C (t)) i zwiększenie zużycia w najbliższym terminie (t + / Delta t) przy jednoczesnym zachowaniu zużycia w ogóle inne daty takie same jak w ({C (t) }). Utrata dobrego samopoczucia, która wynikałaby z przeprowadzki, wynosi (e ^ {- / delta t} U_ {C (t)} Delta C (t)). Teraz staramy się określić procentowy wzrost zużycia, który byłby wymagany przy (t + / Delta t), jeśli (V (0)) ma pozostać niezmienione; ponieważ jest to krańcowa stopa etycznie obojętnej substytucji między konsumpcją w (t) a konsumpcją w (t + / Delta t). Oznacz ten kurs przez (varrho (t)). Wtedy (varrho (t)) musi być stopą procentową, przy której zdyskontowany krańcowy dobrobyt spada przy (t). Wynika z tego również, że (varrho (t)) jest stopą, jaką DM w (t = 0) użyłby do zdyskontowania jednostki konsumpcji przy (t), tak aby przenieść ją do teraźniejszości (ponieważ to właśnie rozumie się przez stopę procentową, przy której zdyskontowany krańcowy dobrobyt spada przy (t) - formalna demonstracja, patrz Dasgupta, 2008). Niektórzy ekonomiści nazywają (varrho (t)) konsumpcyjną stopą procentową (Little i Mirrlees, 1974), inni nazywają ją społeczną stopą dyskontową (Arrow i Kurz, 1970). (varrho (t)) jest podstawowym obiektem analizy kosztów i korzyści społecznych. Wynika z tego również, że (varrho (t)) jest stopą, jaką DM w (t = 0) użyłby do zdyskontowania jednostki konsumpcji przy (t), tak aby przenieść ją do teraźniejszości (ponieważ to właśnie rozumie się przez stopę procentową, przy której zdyskontowany krańcowy dobrobyt spada przy (t) - formalna demonstracja, patrz Dasgupta, 2008). Niektórzy ekonomiści nazywają (varrho (t)) konsumpcyjną stopą procentową (Little i Mirrlees, 1974), inni nazywają ją społeczną stopą dyskontową (Arrow i Kurz, 1970). (varrho (t)) jest podstawowym obiektem analizy kosztów i korzyści społecznych. Wynika z tego również, że (varrho (t)) jest stopą, jaką DM w (t = 0) użyłby do zdyskontowania jednostki konsumpcji przy (t), tak aby przenieść ją do teraźniejszości (ponieważ to właśnie rozumie się przez stopę procentową, przy której zdyskontowany krańcowy dobrobyt spada przy (t) - formalna demonstracja, patrz Dasgupta, 2008). Niektórzy ekonomiści nazywają (varrho (t)) konsumpcyjną stopą procentową (Little i Mirrlees, 1974), inni nazywają ją społeczną stopą dyskontową (Arrow i Kurz, 1970). (varrho (t)) jest podstawowym obiektem analizy kosztów i korzyści społecznych. Niektórzy ekonomiści nazywają (varrho (t)) konsumpcyjną stopą procentową (Little i Mirrlees, 1974), inni nazywają ją społeczną stopą dyskontową (Arrow i Kurz, 1970). (varrho (t)) jest podstawowym obiektem analizy kosztów i korzyści społecznych. Niektórzy ekonomiści nazywają (varrho (t)) konsumpcyjną stopą procentową (Little i Mirrlees, 1974), inni nazywają ją społeczną stopą dyskontową (Arrow i Kurz, 1970). (varrho (t)) jest podstawowym obiektem analizy kosztów i korzyści społecznych.

Niech (Delta) będzie znikomo małe. Następnie z definicji

(tag {7} varrho (t) = - [d (e ^ {- / delta t} U_ {C (t)}) / dt] / e ^ {- / delta t} U_ {C (t)})

Aby uprościć zapis niech (g (C (t))) oznacza procentową stopę wzrostu w (C (t)) (tj. (G (C (t)) = [dC (t) / dt] / C (t)), która może być ujemna) i niech (sigma (C)) oznacza elastyczność krańcowego dobrostanu (tj. (sigma (C) = -CU_ { CC} / U_C / gt 0)). Równanie (7) upraszcza się następnie do

(tag {8} varrho (t) = / delta + / sigma (C (t)) g (C (t)))

Ponieważ ({C ^ * (t) }) jest z założenia optymalnym, żadne możliwe odchylenie od ({C ^ * (t) }) nie może wzrosnąć (V (0)). Oznacza to, że stopa procentowa konsumpcji ((varrho (t))) musi być równa społecznej stopie zwrotu z inwestycji ((F_ {K (t)})) w każdym (t). Aby zobaczyć, dlaczego, załóżmy w jakimś znikomo małym przedziale czasu (F_ {K (t)} gt / varrho (t)). Wtedy (V (0)) można by zwiększyć, zużywając jednostkę mniej przy (t) i ciesząc się zwrotem ((1 + F_ {K (t)})) wkrótce potem. Alternatywnie, jeśli (F_ {K (t)} lt / varrho (t), V (0)) można by zwiększyć, zużywając jednostkę więcej przy (t) i zmniejszając zużycie wkrótce potem o wartość równą powrót ((1 + F_ {K (t)})). Ale to oznacza, że stopa procentowa konsumpcji (varrho (t)) jest równa społecznej stopie zwrotu (F_ {K (t)}) wzdłuż ({C ^ * (t) }) w każdą randkę. Korzystając z równania (8) mamy, (tag {9} delta + / sigma (C (t)) g (C (t)) = F_ {K (t)})

Równanie (9) to reguła Ramseya. Jest to warunek konieczny optymalności w Ramsey Mark III i bezsprzecznie najsłynniejsze równanie w międzyokresowej ekonomii dobrobytu. Reguła jest formalnym stwierdzeniem wymogu ({C ^ * (t) }), że krańcowa stopa substytucji między konsumpcją w dwóch pobliskich datach (lewa strona równania 9) jest równa krańcowe tempo transformacji pomiędzy konsumpcją w tych samych parach pobliskich dat (prawa strona równania (9). Łatwo jest potwierdzić, że równanie (9) jest niezmienne przy dodatnich afinicznych przekształceniach (U)-funkcjonować.

4.2 Niekompletność w analizie Ramseya

Obecnie określimy funkcję (U) - dla której (sigma) jest niezależne od (C). Na razie po prostu przypuszczamy, że (sigma) jest stała. W takim przypadku Reguła Ramseya ma postać

(tag {10} delta + / sigma g (C (t)) = F_ {K (t)})

W Ramsey Mark III (K (0)) jest podane jako dziedzictwo z przeszłości. Oznacza to, że (F_ {K (0)}) jest podany jako warunek początkowy, nie jest to wybór dla DM w (t = 0). Ponadto (delta) i (sigma) są parametrami odzwierciedlającymi wartości etyczne. DM może zatem wyznaczyć (g (C (0))) z równania (10). Ale to jest optymalna stopa procentowa wzrostu konsumpcji w początkowym terminie. Reguła Ramseya podaje DM równanie określające początkową stopę wzrostu konsumpcji, ale nie mówi, jaki powinien być początkowy poziom konsumpcji. Poniżej pokazujemy na przykładzie, że istnieje nieskończona liczba możliwych ścieżek konsumpcji spełniających regułę Ramseya. Wynika z tego, że DM w (t = 0) wymaga dodatkowego warunku, aby określić (C ^ * (0)).

Przykład 2 (gospodarka liniowa)

Założyć

(begin {align} tag {11a} F (K) & = / mu K, / mu / gt 0 \\ / tag {11b} U (C) & = - C ^ {- (sigma -1)}, / sigma / gt 1 / end {align})

Z równania (11a) wynika, że (F_K = / mu), co oznacza, że stopa zwrotu z inwestycji jest stała. Z równania (11b) wynika, że (sigma) jest elastycznością krańcowego dobrostanu. Zauważ również, że (U (C) rightarrow - / infty) as (C / rightarrow 0) i że przy wybranej normalizacji funkcji (U) - (U (C) rightarrow 0) jako (C / rightarrow / infty). Używając równania (11a) w równaniu (1) daje, (tag {12} frac {dK (t)} {dt} = / mu K (t) - C (t))

Napisz (m = (mu - / delta) / / sigma). Zastosowanie równań (11a – b) do równania (10) redukuje Regułę Ramseya do

(tag {13} frac {dC (t)} {dt} = [(mu - / delta) / / sigma] C (t) = mC (t))

Równanie (13) mówi, że jeśli (mu / lt / delta, C (t)) spada do 0 w tempie wykładniczym. Z empirycznego punktu widzenia, możliwy do rozważenia przypadek to (mu / gt / delta) i właśnie to zrobimy tutaj. Oznacza to, że stopa zwrotu z inwestycji ((mu)) przekracza stopę, w której dyskontowany jest czas ((delta)). A to z kolei oznacza (m / gt 0). Otrzymuje równanie całkujące (13)

(tag {14} C (t) = C (0) e ^ {mt})

Równanie (14) mówi, że (C (t)) rośnie wykładniczo w tempie (m). Ponownie potwierdzamy punkt, który został wysunięty wcześniej, że chociaż równanie (14) ujawnia tempo wzrostu optymalnej konsumpcji w początkowej dacie (tj. (T = 0)), nie ujawnia początkowego poziomu konsumpcji (tj., (C (0))). Na tym polega nieokreśloność Reguły Ramseya.

Najprostszym sposobem określenia optymalnego zużycia początkowego (C ^ * (0)) jest obserwacja z równania (14), że jeśli (C ^ * (t)) rośnie w nieskończoność w tempie (m), więc (K (t)) powinno rosnąć w tym samym tempie. Powodem jest to, że gdyby tempo wzrostu (K (t)) było mniejsze niż (m), kapitał zostałby pochłonięty, co oznacza, że zasoby zostałyby wyczerpane w skończonym czasie. Gospodarka przestałaby wtedy istnieć ((V (0)) byłoby minus nieskończoność, gdyby przyszła trajektoria gospodarki miałaby być taka.) Gdyby z drugiej strony tempo wzrostu (K (t)) Gdyby przekroczył (m), nastąpiłaby nadmierna akumulacja kapitału, w tym sensie, że konsumpcja byłaby niższa w każdym dniu, niż jest to konieczne. Sytuacja przypominałaby taką, w której DM wyrzuca część początkowego kapitału (K (0)), a następnie decyduje się na zachowanie oszczędnościowe, które jest zgodne z regułą Ramseya.

Wykładniczy wzrost w naszej gospodarce liniowej (równanie 11a) mówi nam, że stopa oszczędności powinna być stała. Zdefiniujmy stopę oszczędności, (s), jako odsetek produktu (PKB), który jest inwestowany w każdej chwili. Następnie równanie (1) można ponownie zapisać jako

(tag {15} frac {dK (t)} {dt} = s / mu K (t))

Równanie (15) mówi, że zamierzona oszczędność równa się zamierzonej inwestycji. Otrzymujemy równanie całkujące (15)

(tag {16} K (t) = K (0) e ^ {s / mu t})

Ale nalegamy, aby zarówno (K (t)), jak i (C (t)) rosły w tym samym tempie. Zatem równania (14) i (16) implikują

(tag {17} m = / frac { mu - / delta} { sigma} = s / mu)

Stopa oszczędności w równaniu (17) jest optymalna. Więc piszemy to jako (s ^ *). A zatem

(tag {18} s ^ * = / frac {m} { mu} = / frac { mu - / delta} { sigma / mu} lt 1)

Równania (16) - (18) mówią nam, że optymalne tempo wzrostu konsumpcji, (g ^ *), to

(tag {19} g ^ * = / frac { mu - / delta} { sigma} gt 0)

Zauważ również, że jeśli (delta = 0), równanie (18) redukuje się do

(tag {20} s ^ * = / frac {1} { sigma})

Równanie (20) oferuje tak elegancką, uproszczoną odpowiedź, jak to tylko możliwe, na pytanie, od którego Ramsey rozpoczął swoją pracę.

4.3 Warunek transwersalności

Technologia liniowa (równanie 11a) i funkcja izoelastyczna (U) - (równanie 11b) pozwoliły nam od razu rozpoznać, że jeśli strumień konsumpcji spełniający regułę Ramseya ma być optimum, to zarówno kapitał, jak i konsumpcja powinny rosną w tym samym tempie wykładniczym, (m). Znalezienie wystarczającego warunku optymalności w bardziej ogólnych modelach jest znacznie trudniejsze. To, czego potrzebujemy, to warunek dotyczący długoterminowych cech strumienia konsumpcji spełniającego regułę Ramseya, który zapewni, że będzie on optymalny. von Weizsacker (1965) wykazał, że warunek wymagany odnosi się do długoterminowego zachowania społecznej wartości kapitału związanego z tym strumieniem konsumpcji. Teraz formalizujemy warunek.

Niech (U) będzie jednostką rozliczeniową. Rozważmy strumień zużycia ({C (t) }). Wynika z tego, że (U_ {C (t)}) jest społeczną wartością krańcowej jednostki konsumpcji. Napisz (P (t)) dla (U_ {C (t)}. P (t)) nazywamy (spot) ceną księgową zużycia. Ponieważ (e ^ {- / delta t} P (t)) jest zdyskontowaną wartością (P (t)), nazywa się to księgową ceną konsumpcji według wartości bieżącej. Jeśli ({C (t) }) spełnia regułę Ramseya w Mark III, (e ^ {- / delta t} P (t)) jest również ceną księgową według wartości bieżącej jednostki kapitału Zbiory. von Weizsacker (1965) wykazał, że warunkiem wystarczającym dla optymalności ({C (t) }) jest (e ^ {- / delta t} P (t) K (t) rightarrow A) jako t (rightarrow / infty), gdzie (A) jest (skończoną) liczbą nieujemną. W słowach,warunkiem koniecznym i wystarczającym, aby ({C (t) }) było optimum, (i) spełnia Regułę Ramseya oraz (ii) wartość bieżąca kapitału gospodarki jest skończona. Warunek (ii), który jest powszechnie znany jako „warunek przekrojowości”, eliminuje te możliwe strumienie konsumpcji, które spełniają zasadę Ramseya, ale zgodnie z którymi występują nadmierne oszczędności. Proste obliczenie potwierdza, że w przykładzie 2 warunek poprzeczności jest spełniony, jeśli stopa oszczędności wynosi (s ^ *) (równanie 18). Proste obliczenie potwierdza, że w przykładzie 2 warunek poprzeczności jest spełniony, jeśli stopa oszczędności wynosi (s ^ *) (równanie 18). Proste obliczenie potwierdza, że w przykładzie 2 warunek poprzeczności jest spełniony, jeśli stopa oszczędności wynosi (s ^ *) (równanie 18).

4.4 Liczbowe oszacowanie optymalnej szybkości oszczędzania

Równanie (18) mówi, że (s ^ *) jest rosnącą funkcją zwrotu z inwestycji ((mu)), malejącą funkcją stopy dyskonta w czasie ((delta)) oraz malejąca funkcja elastyczności krańcowego dobrostanu ((sigma)). Każda z tych właściwości jest intuicyjnie oczywista:

(1) Im wyższa stopa zwrotu z inwestycji ((mu)), tym większy zysk dla przyszłych pokoleń z nieznacznego wzrostu oszczędności przez pierwsze pokolenia. To mówi, że optymalna stopa oszczędzania powinna być rosnącą funkcją (mu), przy czym inne rzeczy są równe.

(2) Im większa jest wartość stopy dyskontowej czasu ((delta)) wybrana przez DM, tym mniejsza jest waga, jaką przyznaje ona dobrobytowi przyszłych pokoleń. To implikuje wyższe optymalne poziomy konsumpcji dla wczesnych pokoleń (sekcja 2.1), co z kolei oznacza, że optymalna stopa oszczędności jest niższa, przy innych warunkach równych.

(3) Ponieważ zwrot z inwestycji jest dodatni ((mu / gt 0)), strzałka czasu wskazuje na korzyść przyszłych pokoleń (sekcja 2.1). Ale im większa jest wybrana wartość (sigma), tym więcej DM przejawia obawy co do równości konsumpcji na przestrzeni pokoleń. Dlatego im większy problem, tym wyższy optymalny poziom konsumpcji, z którego mogą korzystać pierwsze pokolenia. Powinniśmy więc oczekiwać, że optymalna stopa oszczędzania będzie malejącą funkcją (sigma), przy pozostałych parametrach równych.

Pouczające jest rozważenie stylizowanych liczb dla parametrów po prawej stronie równań (18) i (19). Chociaż są one stylizowane, są to liczby odpowiadające parze parametrów etycznych (sigma) i (delta), które ekonomiści piszący o ekonomii zmian klimatycznych przyjęli w swojej pracy. Oczywiście ekonomia dobrobytu zmian klimatu wymagała bardziej skomplikowanych modeli niż model przedstawiony w równaniach (1) i (11a), ale jak potwierdzimy poniżej, nie dostarczył żadnych dodatkowych teoretycznych spostrzeżeń. Poniżej bierzemy rok jako jednostkę czasu i zakładamy, że (mu = 0,05) (tj. 5% rocznie). Wzdłuż optimum, konsumpcyjna stopa procentowa równa się stopie zwrotu z inwestycji (reguła Ramseya), co oznacza, że optymalna stopa konsumpcji wynosi stałe 5% rocznie.

Liczba 5% rocznie dla (mu) implikuje współczynnik kapitału do produkcji ((1 / / mu)) wynoszący 20 lat, który jest znacznie wyższy niż szacunki współczynników kapitału do produkcji z branży międzybranżowej badania, do których doszli ekonomiści z różnych części świata (Behrman, 2001); reprezentatywna liczba dla 1 / (mu) w tej literaturze to 3 lata. Ale ich szacunki opierają się na definicji „kapitału”, która ogranicza się do kapitału „produkowanego”, takiego jak fabryki, drogi, porty i budynki. Brakuje im kapitału ludzkiego (edukacja, zdrowie, wiedza), podobnie jak kapitału naturalnego (ekosystemy, zasoby podglebia). Model Ramseya ujęty w równaniu (11a) obejmuje wszystkie formy dóbr kapitałowych. Bez wątpienia jego sformułowanie wymaga heroicznego (czytaj, niemożliwego!) Wyczynu agregacji, ale gdy weźmie się pod uwagę wszystkie dobra kapitałowe, które trafiają do produkcji,powinniśmy spodziewać się, że zagregowany stosunek kapitału do produkcji (który powinniśmy nazwać (włącznie) stosunkiem zamożności do produkcji) będzie znacznie wyższy niż 3 lata; być może nawet powyżej 20 lat (Arrow i in., 2012, 2013). W krajowych rachunkach ekonomicznych nie ma dużych kategorii dóbr kapitałowych, które pozwalają nam ekonomistom zrozumieć możliwości produkcji i konsumpcji (Dasgupta, 2019). Wydawałoby się więc, że jest jeszcze długa droga, zanim będziemy mogli osiągnąć dobre przybliżenie tego, co powinniśmy przekazać naszym potomkom. W krajowych rachunkach ekonomicznych nie ma dużych kategorii dóbr kapitałowych, które pozwalają nam ekonomistom zrozumieć możliwości produkcji i konsumpcji (Dasgupta, 2019). Wydawałoby się więc, że jest jeszcze długa droga, zanim będziemy mogli osiągnąć dobre przybliżenie tego, co powinniśmy przekazać naszym potomkom. W krajowych rachunkach ekonomicznych nie ma dużych kategorii dóbr kapitałowych, które pozwalają nam ekonomistom zrozumieć możliwości produkcji i konsumpcji (Dasgupta, 2019). Wydawałoby się zatem, że jest jeszcze długa droga, zanim będziemy mogli osiągnąć dobre przybliżenie tego, co powinniśmy przekazać naszym potomkom.

Przykład 3 (zaczerpnięty z ekonomii zmian klimatycznych)

Zwróćmy teraz naszą uwagę na wartości dwóch parametrów etycznych w równaniu (11b), które zostały wybrane przez trzech ekonomistów w ich badaniu ekonomii zmian klimatycznych.

(begin {align} tag * {Cline (1992)} sigma = 1.5 / quad & / text {and} quad / delta = 0 \\ / tag * {Nordhaus (1994)} sigma = 1 / quad & / text {and} quad / delta = 0,03 / text {(3% rocznie)} / \ tag * {Stern (2007)} sigma = 1 / quad & / text {and} quad / delta = 0,001 / text {(0,1% rocznie)} end {align})

(Uwaga: (sigma = 1) odpowiada logarytmicznej funkcji dobrostanu, czyli (U (C) =) log (C) i można ją otrzymać jako granicę postaci funkcjonalnej funkcji (U (C)) w równaniu (11b) jako (sigma / rightarrow 1.))

Narzucamy te wartości parametrów, aby stwierdzić, że optymalna stopa oszczędności (s ^ *) (równanie 18) i optymalne tempo wzrostu konsumpcji (równanie 19) to z kolei:

(begin {align} tag {21a} s ^ * = 67 \% / quad & / text {and} quad g ^ * = 3,3 \% / text {rok (Cline)} / \ tag { 21b} s ^ * = 40 \% / quad & / text {and} quad g ^ * = 2,0 \% / text {rok (Nordhaus)} / \ tag {21c} s ^ * = 98 \% / quad & / text {and} quad g ^ * = 4,9 \% / text {rok (Stern)} end {align})

4.5 Komentarz

Krajowa stopa oszczędności wynosząca 40% (równ. 21b) jest niewątpliwie wysoka jak na standardy współczesnych gospodarek zachodnich, ale są kraje, które w ostatnich latach osiągnęły stopę oszczędności na poziomie 40–45% (przykładem są Chiny). Wartość 67% dla (s ^ *) (równ. 21a) jest wyższa niż stopa oszczędności w jakimkolwiek kraju, ale nie jest nie do uwierzenia. Naprawdę dziwaczne liczby to 98% (równ. 21c). Jest to dziwaczne, zwłaszcza że liczba ta jest optymalną stopą oszczędności, bez względu na to, jak mała jest (K (0)). Wprawdzie model tutaj (równania 11a – b) jest fenomenalnie stylizowany, ale wyraźnie podkreśla obserwację Koopmansa (1965), że głupotą jest zakładanie (delta = 0) (lub bliskie 0) bez uprzedniego sprawdzenia jego możliwych konsekwencji dla podziału dobrobytu na pokolenia.

Równanie (19) wykazało, że optymalne tempo wzrostu konsumpcji jest ograniczone powyżej przez (mu), co wyjaśnia, dlaczego (g ^ *) wynosi mniej niż 5% rocznie dla każdej z trzech specyfikacji parametrycznych, które mamy uważane. Specyfikacje pochodzą z trzech badań z zakresu ekonomii dobrobytu globalnych zmian klimatycznych, w których autorzy pracowali z modelami znacznie bardziej złożonymi niż te Ramseya. A jednak ich odkrycia są dokładnie tym, na co wskazywałaby jego formuła (Dasgupta, 2008), a mianowicie, że inne rzeczy są równe, im niższa jest wybrana wartość (delta) i / lub tym większe są szkody dla przyszłego Ponieważ oczekuje się, że będzie spowodowana globalną zmianą klimatu, tym większy jest poziom inwestycji, który DM powinien zalecać zapobieganie zmianom klimatycznym lub łagodzenie skutków tych zmian dla dobrostanu ludzi. Często ostra debata (np. Nordhaus,2007) na temat tego, w jakim stopniu globalne inwestycje powinny być ukierunkowane na ograniczenie szkodliwych skutków zmiany klimatu, były spowodowane różnicami w specyfikacji modeli wśród ekonomistów zajmujących się zmianami klimatycznymi.

Technologia liniowa (równanie 11a) i funkcja izoelastyczna (U) - (równanie 11b) razem wzięte dostarczyły głębokich spostrzeżeń, mimo że ograniczyliśmy dyskusję do obliczeń na papierze. Formy funkcjonalne nie są wiarygodne; niemniej jednak Ramsey z nich korzystał. Jego artykuł pokazał, że niewiarygodnie uproszczone modele, pod warunkiem, że ich konstrukcja jest poparta silną intuicją, mogą oświetlić pytania, które z pozoru są niemożliwe do sformułowania, nie mówiąc już o ilościowej odpowiedzi. To był trwały dar Ramseya dla teorii ekonomii.

Bibliografia

  • Arrow, KJ, P. Dasgupta, LH Goulder, KJ Mumford i K. Oleson (2012), „Sustainability and the Measurement of Wealth”, Environment and Development Economics, 17 (3), 317–355.
  • ––– (2013), „Sustainability and the Measurement of Wealth: Further Reflections”, „Środowisko i ekonomia rozwoju”, 18 (4), 504–516.
  • Arrow, KJ i M. Kurz (1970), Public Investment, the Rate of Return and Optimal Fiscal Policy (Baltimore: Johns Hopkins University Press).
  • Behrman, JR (2001), „Economics of Development”, International Encyclopedia of Social and Behavioral Sciences (Amsterdam: Elsivier Science Direct), str. 3566–3574.
  • Brock, WA (1973), „Some Results on the Uniqueness of Steady States in Multisector models of Optimum Growth When Future Utilities are Discounted”, International Economic Review, 14 (3), 535–559.
  • Chakravarty, S. (1962), „The Existence of Optimum Savings Programs”, Econometrica, 32 (1), 178–187.
  • ––– (1969), Planowanie kapitału i rozwoju (Cambridge, MA: MIT Press).
  • Cline, WR (1992), The Economics of Global Warming (Waszyngton, DC: Institute for International Economics).
  • Dasgupta, P. (1969), „On the Concept of Optimum Population”, Review of Economic Studies, 36 (3), 295–318.
  • ––– (2008), „Discounting Climate Change”, Journal of Risk and Uncertainty, 37 (2-3), 141–169.
  • ––– (2019), Czas i pokolenia: etyka populacji dla malejącej planety (Nowy Jork: Columbia University Press).
  • Dasgupta, P. and GM Heal (1974), „The Optimal Depletion of Exhaustible Resources”, Review of Economic Studies, 41 (Symposium Number), 3–28.
  • Diamond, PA (1965), „The Evaluation of Infinite Utility Streams”, Econometrica, 33 (1), 170–177.
  • Edgeworth, FY (1881), Mathematical Psychics: An Essay on the Application of Mathematics to the Moral Sciences (Londyn: Kegan Paul).
  • Gale, D. (1967), „On Optimal Development in a Multi-Sector Economy”, Review of Economic Studies, 34 (1), 1–18.
  • Harrod, RF (1948), Towards a Dynamic Economy (Londyn: McMillan).
  • Koopmans, TC (1960), „Stationary Ordinal Utility and Impatience”, Econometrica, 28 (2), 287–309.
  • ––– (1965), „On the Concept of Optimal Economic Growth”, Pontificiae Academiae Scientiarum Scripta Varia, 28. Przedruk w TC Koopmans (1966), The Econometric Approach to Development Planning (Amsterdam: North Holland).
  • ––– (1967), „Cele, ograniczenia i wyniki w optymalnych modelach wzrostu”, Econometrica, 35 (1), 1–15.
  • ––– (1972), „Representation of Preference Orderings over Time”, w: CB McGuire i R. Radner, red., Decision and Organisation (Amsterdam: North Holland).
  • Levhari, D. and TN Srinivasan (1969), „Optimal Savings Under Uncertainty”, Review of Economic Studies, 36 (2), 153–163.
  • Little, IMD i JA Mirrlees (1968), Podręcznik analizy projektów przemysłowych w krajach rozwijających się: analiza kosztów i korzyści społecznych (Paryż: OECD).
  • ––– (1974), Ocena i planowanie projektów dla krajów rozwijających się (Londyn: Heinemann).
  • Meade, JE (1966), „Life-Cycle Savings, In heritance, and Economic Growth”, Review of Economic Studies, 33 (1), 61–78.
  • Mirrlees, JA (1967), „Optimum Growth When Technology is Changing”, Review of Economic Studies, 34 (1), 95–124.
  • Nordhaus, WD (1994), Managing the Global Commons: The Economics of Climate Change (Cambridge, MA: MIT Press).
  • ––– (2007), „A Review of the Stern Review on the Economics of Climate Change”, Journal of Economic Literature, 45 (3), 686–702.
  • Parfit, D. (1984), Reasons and Persons (Oxford: Oxford University Press).
  • Ramsey, FP (1928), „A Mathematical Theory of Saving”, Economic Journal, 38 (4), 543–559.
  • ––– (1931), „Epilog”, w: RB Braithwaite, red., The Foundations of Mathematics and Other Logical Essays (London: Routledge and Kegan Paul).
  • Rawls, J. (1972), A Theory of Justice (Oxford: Oxford University Press).
  • Sen, A. i B. Williams (1982), „Introduction” w, Utilitarianism and Beyond (Cambridge: Cambridge University Press).
  • Sidgwick, H. (1907), The Methods of Ethics (London: MacMillan), 7. wydanie.
  • Solow, RM (1974a), „The Economics of Resources and the Resources of Economics”, American Economic Review, 64 (Papers & Proceedings), 1–21.
  • ––– (1974b), „Intergenerational Equity and Exhaustible Resources”, Review of Economic Studies, 41 (wydanie Symposium), 29–45.
  • Stern, NH (2006), The Stern Review of the Economics of Climate Change (Cambridge: Cambridge University Press).
  • von Weizsacker, CC (1965), „Existence of Optimal Programs of Accumulation for an Infinite Time Horizon”, Review of Economic Studies, 32 (2), 85–104.
  • Yaari, M. (1965), „Uncertain Lifetime, Life Insurance, and the Theory of Consumer”, Review of Economic Studies, 32 (2), 137–158.

Narzędzia akademickie

człowiek ikona
człowiek ikona
Jak cytować ten wpis.
człowiek ikona
człowiek ikona
Zobacz wersję PDF tego wpisu w Friends of the SEP Society.
ikona Inpho
ikona Inpho
Poszukaj tego tematu wpisu w Internet Philosophy Ontology Project (InPhO).
ikona dokumentów phil
ikona dokumentów phil
Ulepszona bibliografia tego wpisu na PhilPapers, z linkami do jego bazy danych.

Inne zasoby internetowe

[Prosimy o kontakt z autorem z sugestiami.]

Zalecane: