Fikcjonalizm W Filozofii Matematyki

Spisu treści:

Fikcjonalizm W Filozofii Matematyki
Fikcjonalizm W Filozofii Matematyki

Wideo: Fikcjonalizm W Filozofii Matematyki

Wideo: Fikcjonalizm W Filozofii Matematyki
Wideo: Liczby których nie można obliczyć 2024, Marzec
Anonim

Nawigacja wejścia

  • Treść wpisu
  • Bibliografia
  • Narzędzia akademickie
  • Podgląd PDF znajomych
  • Informacje o autorze i cytacie
  • Powrót do góry

Fikcjonalizm w filozofii matematyki

Po raz pierwszy opublikowano we wtorek 22 kwietnia 2008; rewizja merytoryczna Pn 23.07.2018

Matematyczny fikcjonalizm (dalej po prostu fikcjonalizm) jest najlepiej postrzegany jako reakcja na matematyczny platonizm. Platonizm to pogląd, że (a) istnieją abstrakcyjne obiekty matematyczne (tj. Nieprzestrzenne obiekty matematyczne) oraz (b) nasze zdania i teorie matematyczne dostarczają prawdziwych opisów takich obiektów. Na przykład z punktu widzenia platonizmu zdanie `` 3 jest liczbą pierwszą '' zapewnia prosty opis pewnego obiektu - a mianowicie liczby 3 - w podobny sposób, w jaki zdanie `` Mars jest czerwony '' opisuje Marsa.. Ale podczas gdy Mars jest obiektem fizycznym, liczba 3 jest (zgodnie z platonizmem) przedmiotem abstrakcyjnym. A abstrakcyjne przedmioty, jak mówią platonicy, są całkowicie niefizyczne, niementalne, nieprzestrzenne, nieprzestrzenne i nie powodujące przyczyny. Zatem z tego punktu widzenia liczba 3 istnieje niezależnie od nas i naszego myślenia,ale nie istnieje w czasie ani w przestrzeni, nie jest przedmiotem fizycznym ani mentalnym i nie wchodzi w związki przyczynowe z innymi przedmiotami. Pogląd ten został poparty przez Plato, Frege (1884, 1893–1903, 1919), Gödela (1964), a także w niektórych ich pismach Russell (1912) i Quine (1948, 1951), nie wspominając o wielu nowszych filozofach matematyki, np. Putnam (1971), Parsons (1971), Steiner (1975), Resnik (1997), Shapiro (1997), Hale (1987), Wright (1983), Katz (1998), Zalta (1988), Colyvan (2001), McEvoy (2012) i Marcus (2015).nie wspominając o wielu nowszych filozofach matematyki, np. Putnam (1971), Parsons (1971), Steiner (1975), Resnik (1997), Shapiro (1997), Hale (1987), Wright (1983), Katz (1998)), Zalta (1988), Colyvan (2001), McEvoy (2012) i Marcus (2015).nie wspominając o wielu nowszych filozofach matematyki, np. Putnam (1971), Parsons (1971), Steiner (1975), Resnik (1997), Shapiro (1997), Hale (1987), Wright (1983), Katz (1998)), Zalta (1988), Colyvan (2001), McEvoy (2012) i Marcus (2015).

Z drugiej strony fikcjonalizm to pogląd, że (a) nasze zdania i teorie matematyczne rzekomo dotyczą abstrakcyjnych obiektów matematycznych, jak sugeruje platonizm, ale (b) nie ma takich rzeczy jak obiekty abstrakcyjne, a więc (c) nasze teorie matematyczne nie są prawdziwe. Zatem idea jest taka, że zdania takie jak „3 jest liczbą pierwszą” są fałszywe lub nieprawdziwe z tego samego powodu, dla którego powiedzenie: „Wróżka zębatka jest szczodra” jest fałszywe lub nieprawdziwe - ponieważ tak jak nie ma takiej osoby jak ząb Wróżka, więc też nie ma czegoś takiego jak cyfra 3. Należy jednak zauważyć, że pomimo nazwy, fikcjonalistyczne poglądy nie muszą zawierać żadnych bardzo mocnych twierdzeń o analogii między matematyką a fikcją. Na przykład nie ma tutaj twierdzenia, że dyskurs matematyczny jest rodzajem dyskursu fikcyjnego. A zatem,fikcjonaliści nie są zaangażowani w tezę, że nie ma ważnych dezanalogii między matematyką a fikcją. (Wrócimy do tej kwestii poniżej, w podrozdziale 2.4.) Na koniec należy również zauważyć na początku, że fikcjonalizm jest wersją nominalizmu matematycznego, poglądu, że nie ma czegoś takiego jak przedmioty matematyczne.

Fikcjonalizm został po raz pierwszy wprowadzony przez Fielda (1980, 1989, 1998, 2016). Od tego czasu pogląd ten został rozwinięty na kilka różnych sposobów przez Balaguera (1996a, 1998a, 2001, 2009), Rosena (2001), Yablo (2002a, 2002b, 2005), Leng (2005a, 2005b, 2010), i Bueno (2009), choć jak okaże się to jasne poniżej, można by wątpić, czy Bueno i Yablo są najlepiej interpretowani jako fikcjonaliści. Inni, którzy popierają lub bronią fikcjonalizmu (lub poglądów w sąsiedztwie fikcjonalizmu) to Daly (2006), Liggins (2010), Contessa (2016) i Plebani (2018). Wreszcie, można by również zinterpretować Melię (2000) jako broniącą poglądu fikcjonisty, chociaż tak naprawdę nie angażuje się w to.

Warto zauważyć, że Hoffman (2004) również popiera pogląd będący rodzajem fikcjonalizmu. Jej pogląd bardzo różni się od poglądu fikcjonisty zdefiniowanego powyżej, ponieważ nie wiąże się z zaangażowaniem w tezę (a). Reinterpretuje matematykę na wzór Kitchera (1984), a następnie popiera fikcyjny pogląd na tę reinterpretację; tj. twierdzi, że gdy matematyka zostanie ponownie zinterpretowana w ten sposób, jej pojedyncze terminy nie będą się odnosić, a jej zdania nie będą prawdziwe. (Nie jest jasne, jak bardzo ten pogląd różni się od poglądu Kitchera; można by zinterpretować Kitcher jako poparcie bardzo podobnego poglądu.) W każdym razie należy zauważyć, że odrzucenie tezy (a) przez Hoffmana radykalnie różni jej pogląd od bardziej poglądy fikcyjne. Jak zostanie wyjaśnione poniżej, teza (a) jest bardzo prawdopodobna,a jego wiarygodność jest jednym z głównych powodów popularności platonizmu. Tak więc jedną z głównych zalet fikcjonalizmu - tj. Standardowego rodzaju fikcjonalizmu zdefiniowanego powyżej - jest to, że łączy akceptację tezy (a) z antyplatonistyczną ontologią.

Warto również zauważyć, że Lear (1982) i Corkum (2012) twierdzą, że Arystoteles posiadał wersję fikcjonalizmu matematycznego; ale jak zauważa Corkum, jest mało prawdopodobne, aby Arystoteles utrzymywał wersję fikcjonalizmu zdefiniowaną powyżej.

Kiedy po raz pierwszy słyszy się hipotezę fikcjonalizmu, może się to wydawać nieco szalone. Czy naprawdę mamy wierzyć, że zdania typu „3 jest liczbą pierwszą” i „2 + 2 = 4” są fałszywe? Ale urok fikcjonalizmu zaczyna się pojawiać, gdy zdamy sobie sprawę, jakie są alternatywy. Zastanawiając się uważnie nad kwestiami związanymi z interpretacją dyskursu matematycznego, może się wydawać, że fikcjonalizm jest w rzeczywistości bardzo prawdopodobny i rzeczywiście, może to być najmniej szalony pogląd.

Rozdział 1 zawiera sformułowanie tego, co można by uważać za główny argument przemawiający za fikcjonalizmem. Rozdział 2 zawiera omówienie wielu różnych zarzutów wobec fikcjonalizmu, a także kilku różnych wersji fikcjonalizmu. Te dwie rzeczy idą w parze bardzo naturalnie, ponieważ różne wersje fikcjonalizmu pojawiły się w związku z odpowiedziami, jakie różni filozofowie udzieliły na różne zastrzeżenia wobec fikcjonalizmu.

  • 1. Argument za fikcjonalizmem

    • 1.1 Główny argument
    • 1.2 Przesłanka (1) i parafraza Nominalizm
    • 1.3 Przesłanka (2) i nominalizm deflacyjny-prawda
    • 1.4 Przesłanka (4) oraz fizykalizm i psychologizm
    • 1.5 Przesłanka (5) i platonizm
  • 2. Zarzuty wobec fikcjonalizmu i odpowiedzi

    • 2.1 Argument nieodzowności
    • 2.2 Obiektywizm
    • 2.3 Rewolucjonizm i hermeneutyka
    • 2.4 Podobieństwo do fikcji
    • 2.5 Akceptacja i wiara
    • 2.6 Tajemnicza zawartość dodatkowa
    • 2.7 Inne zastrzeżenia
  • 3. Wniosek
  • Bibliografia
  • Narzędzia akademickie
  • Inne zasoby internetowe
  • Powiązane wpisy

1. Argument za fikcjonalizmem

1.1 Główny argument

Główny argument za fikcjonalizmem opiera się zasadniczo na próbie wyeliminowania wszystkich alternatyw dla fikcjonalizmu. Argument można przedstawić w ten sposób:

  1. Zdania matematyczne, takie jak „4 jest równe”, należy czytać według wartości nominalnej; to znaczy, powinny być odczytywane jako mające postać „F a”, a zatem jako zawierające bezpośrednie stwierdzenia dotyczące natury pewnych przedmiotów; np. „4 jest parzyste” należy odczytywać jako stwierdzenie dotyczące natury liczby 4. Ale
  2. Jeśli zdania typu „4 jest parzyste” należy odczytywać według wartości nominalnej, a ponadto są prawdziwe, to w rzeczywistości muszą istnieć przedmioty tego rodzaju, których dotyczą; na przykład, jeśli „4 jest parzyste” formułuje proste twierdzenie o naturze liczby 4 i jeśli to zdanie jest dosłownie prawdziwe, to rzeczywiście musi istnieć coś takiego jak liczba 4. Zatem z (1) i (2), wynika z tego
  3. Jeśli zdania typu „4 jest parzyste” są prawdziwe, to istnieją takie rzeczy, jak przedmioty matematyczne. Ale
  4. Jeśli istnieją takie rzeczy, jak obiekty matematyczne, to są one obiektami abstrakcyjnymi, tj. Nieprzestrzennymi obiektami czasowymi; na przykład, jeśli istnieje coś takiego jak liczba 4, to jest to przedmiot abstrakcyjny, a nie obiekt fizyczny czy psychiczny. Ale
  5. Nie ma rzeczy abstrakcyjnych. Dlatego z punktu (4) i (5) według modus tollens wynika, że
  6. Nie ma takich rzeczy jak obiekty matematyczne. I tak z (3) i (6) przez modus tollens wynika, że
  7. Zdania takie jak „4 jest równe” nie są prawdziwe (w rzeczywistości nie są prawdziwe z tego powodu, który podają fikcjonaliści, a więc wynika z tego, że fikcjonalizm jest prawdziwy).

Wszystkie trzy wnioski w tym argumencie są całkiem jasne, więc jedyne pytanie brzmi, czy cztery podstawowe przesłanki - (1), (2), (4) i (5) - są prawdziwe. A fajną rzeczą w sposobie prowadzenia tego argumentu jest to, że każda z tych przesłanek ma pozbyć się innej alternatywy dla fikcjonalizmu. Zatem argument w (1) - (7) jest w rzeczywistości powłoką znacznie dłuższego argumentu, który zawiera subargumenty na korzyść podstawowych przesłanek, a tym samym przeciwko różnym alternatywom dla fikcjonalizmu.

Biorąc to pod uwagę, możemy powiedzieć, że istnieje pięć alternatyw (lub, jeśli wolisz, pięć kategorii alternatyw) dla fikcjonalizmu. Tych, którzy odrzucają (1), można nazwać parafrazą nominalistów; tych, którzy odrzucają (2), można nazwać nominalistami prawdy deflacyjnej; ci, którzy odrzucają (4), są albo fizykalistami, albo psychologami; a ci, którzy odrzucają (5), są platonikami. Aby zmotywować swój pogląd, fikcjonaliści muszą przedstawić argumenty przeciwko wszystkim tym poglądom.

Najłatwiejszą częścią pracy fikcjonisty jest tutaj sprzeciwianie się różnym poglądom antyplatonistycznym. Wszystkie te poglądy - parafrazując nominalizm, deflację - nominalizm prawdy, fizykalizm i psychologizm - można rozumieć (tak jak fikcjonalizm) jako reakcje na platonizm. Platonizm jest bardzo atrakcyjnym poglądem, ponieważ zapewnia niezwykle naturalny i przyjemny opis praktyki matematycznej i dyskursu matematycznego. Mimo to wielu filozofów nie popiera platonizmu, ponieważ nie mogą się zmusić do zaakceptowania jego ontologii. Innymi słowy, po prostu nie wierzą, że istnieją przedmioty abstrakcyjne. Z tego powodu wiele pracy wykonanej w filozofii matematyki poświęcono próbom uniknięcia platonizmu. W szczególności parafrazuje nominalizm, nominalizm prawdy deflacyjnej, fizykalizm,a psychologizm można rozumieć w ten sposób. Wszyscy oni próbują podważyć platonistyczny pogląd na warunki prawdziwości zdań matematycznych. Ale jak zostanie wyjaśnione poniżej, wszystkie te poglądy stanowią poważny problem. I tu właśnie wkracza fikcjonalizm: przyznaje platonistyczny pogląd na rzeczywistość warunków zdań matematycznych, ale wciąż zaprzecza ontologicznej tezie platonisty, że istnieją abstrakcyjne przedmioty. To w istotny sposób odróżnia fikcjonalizm od innych poglądów antyplatonistycznych. Możemy to docenić, zauważając, że platonizm obejmuje dwie różne tezy, jedną semantyczną, a drugą ontologiczną. Teza semantyczna jest hipotezą empiryczną o warunkach prawdziwości zwykłych wypowiedzi matematycznych,a teza ontologiczna jest głęboko metafizyczną hipotezą o istnieniu abstrakcyjnych przedmiotów. Każda wersja antyplatonizmu odrzuca ontologiczną hipotezę platonizmu, a wszystkie niefikcjonalistyczne wersje antyplatonizmu odrzucają również tezę semantyczną. Fikcjonalizm to jedyny pogląd antyplatonistyczny, który nie odrzuca tezy semantycznej. I dlatego fikcjonalizm może wydawać się bardziej atrakcyjny niż inne wersje antyplatonizmu - ponieważ semantyczna hipoteza platonisty jest niezwykle wiarygodna i dobrze umotywowana. Zatem wersje antyplatonizmu, które odrzucają tę hipotezę, mogą wydawać się nieprawdopodobne i pozbawione motywacji. Fikcjonalizm to jedyny pogląd antyplatonistyczny, który nie odrzuca tezy semantycznej. I dlatego fikcjonalizm może wydawać się bardziej atrakcyjny niż inne wersje antyplatonizmu - ponieważ semantyczna hipoteza platonisty jest niezwykle wiarygodna i dobrze umotywowana. Zatem wersje antyplatonizmu, które odrzucają tę hipotezę, mogą wydawać się nieprawdopodobne i pozbawione motywacji. Fikcjonalizm to jedyny pogląd antyplatonistyczny, który nie odrzuca tezy semantycznej. I dlatego fikcjonalizm może wydawać się bardziej atrakcyjny niż inne wersje antyplatonizmu - ponieważ semantyczna hipoteza platonisty jest niezwykle wiarygodna i dobrze umotywowana. Zatem wersje antyplatonizmu, które odrzucają tę hipotezę, mogą wydawać się nieprawdopodobne i pozbawione motywacji.

Tak więc, ponownie, łatwa część argumentu na rzecz fikcjonalizmu (lub w każdym razie łatwiejsza część) jest przeprowadzana przez dostarczenie argumentów dla przesłanek (1), (2) i (4) - lub równoważnie, poprzez dostarczenie argumentów przeciwko różnym nie-fikcjonalistycznym wersjom antyplatonizmu, tj. parafrazowaniu nominalizmu, nominalizmu prawdy deflacyjnej, fizykalizmu i psychologizmu. W następnych trzech podrozdziałach (1.2–1.4) omówiono te cztery poglądy, a także niektóre argumenty, które fikcjonaliści mogą podnosić przeciwko nim. Rozdział 1.5 obejmuje trudniejszą część argumentacji fikcjonisty - tj. Przesłankę (5) oraz pytanie, w jaki sposób fikcjonaliści mogą argumentować przeciwko platonizmowi.

1.2 Przesłanka (1) i parafraza Nominalizm

Parafraza nominalizmu to pogląd, że zwykłych zdań matematycznych, takich jak „3 jest liczbą pierwszą”, nie należy czytać według wartości nominalnej - a dokładniej, że nie należy ich czytać jako mających postać „Fa” i twierdzących o obiektach matematycznych. Istnieje kilka różnych wersji tego widoku. Być może najbardziej znanym jest if-toizm. Zgodnie z tym poglądem, „3 jest liczbą pierwszą” najlepiej interpretować jako wyrażenie warunkowego twierdzenia, takiego jak „Gdyby istniały liczby, to 3 byłoby liczbą pierwszą” lub „Koniecznie, jeśli istnieją liczby, to 3 jest liczbą pierwszą”. (Wersje if-toizmu opracowali Putnam (1967a, b), Horgan (1984), Hellman (1989), Dorr (2008) i Yablo (2017)); co więcej, prekursor tego poglądu został poparty przez wczesne Hilberta (patrz jego 1899 i jego listy do Frege w Frege 1980).inne wersje nominalizmu parafrazowego zostały zatwierdzone przez Chihara (1990), Yi (2002), Hofweber (2005), Rayo (2008, 2013) i Moltmann (2013); w ten sposób można by także interpretować Curry'ego (1951) i Wittgensteina (1956)).

Problem z parafrazowaniem poglądów nominalistycznych jest bardzo prosty: obejmują one empiryczne hipotezy dotyczące znaczeń zwykłych wypowiedzi matematycznych, które są skrajnie nieprawdopodobne. Na przykład w związku z if-toizmem naprawdę trudno uwierzyć, że najlepszą interpretacją tego, co mówią zwykli mówcy dyskursu matematycznego (zwykli matematycy i zwykli ludzie), gdy wypowiadają np. byłyby liczby, wtedy 3 byłoby liczbą pierwszą. Wydaje się, że to źle, co ludzie naprawdę mają na myśli, kiedy wypowiadają takie zdania. Rzeczywiście, wydaje się, że można tu poruszyć kwestię bardziej ogólną. Istnieje dobra zasada interpretacyjna, która mówi mniej więcej tak: powinniśmy interpretować wypowiedzi ludzi według wartości nominalnej, chyba że istnieją dowody na to, że mają oni pozytywne intencje, aby interpretować je nie literalnie. Biorąc to pod uwagę i biorąc pod uwagę (co wydaje się oczywiste), że zwykli ludzie nie mają pozytywnych intencji, aby ich wypowiedzi matematyczne były interpretowane nie dosłownie - np. Jako wyrażające zdania warunkowe - wydaje się, że powinniśmy interpretować nasze wypowiedzi matematyczne według wartości nominalnej. Ale to oznacza, że powinniśmy przyjąć przesłankę (1) i odrzucić parafrazę nominalizmu.

Parafrazując nominaliści, mogą próbować odpowiedzieć na ten argument, zaprzeczając, że są oddani tezie, że ich parafrazy pasują do intencji zwykłych matematyków i zwykłych ludzi. Rzeczywiście, tego rodzaju twierdzenia wysuwali zarówno Chihara (1990, 2004), jak i Hellman (1998). Ale parafrazując nominaliści nie mogą poprzeć tego stanowiska, bo jeśli to zrobią, ich pogląd zamieni się w wersję fikcjonalizmu. Jeśli parafrazując nominaliści przyznają, że platoniści i fikcjonaliści mają rację co do znaczeń prawdziwych wypowiedzi matematycznych - tj. Wypowiedzi prawdziwych matematyków - to (ponieważ chcą również utrzymywać, że nie ma rzeczy abstrakcyjnych), będą zobowiązani do twierdzą, że wypowiedzi prawdziwych matematyków są nieprawdziwe. A zatem,jeśli parafrazujący nominaliści nie twierdzą, że ich parafrazy oddają rzeczywiste znaczenie zwykłych zdań matematycznych, to ich pogląd nie zapewni prawdziwej alternatywy dla fikcjonalizmu. Zapadnie się w wersję fikcjonalizmu. Mówiąc dokładniej, parafraza nominalista byłaby po prostu fikcjonistą, który myśli, że powinniśmy zmienić nasz język matematyczny lub to, co rozumiemy przez nasze wypowiedzi matematyczne; a może twierdzenie byłoby po prostu takie, że gdybyśmy chcieli, moglibyśmy zmienić nasz język matematyczny i że fakt ten daje fikcjonalistom sposób odpowiedzi na pewne zastrzeżenia.parafraza nominalista byłby po prostu fikcjonalistą, który myśli, że powinniśmy zmienić nasz język matematyczny lub to, co rozumiemy przez nasze wypowiedzi matematyczne; a może twierdzenie byłoby po prostu takie, że gdybyśmy chcieli, moglibyśmy zmienić nasz język matematyczny i że fakt ten daje fikcjonalistom sposób odpowiedzi na pewne zastrzeżenia.parafraza nominalista byłby po prostu fikcjonalistą, który myśli, że powinniśmy zmienić nasz język matematyczny lub to, co rozumiemy przez nasze wypowiedzi matematyczne; a może twierdzenie byłoby po prostu takie, że gdybyśmy chcieli, moglibyśmy zmienić nasz język matematyczny i że fakt ten daje fikcjonalistom sposób odpowiedzi na pewne zastrzeżenia.

1.3 Przesłanka (2) i nominalizm deflacyjny-prawda

Nominalizm prawdy deflacyjnej to pogląd, że (a) jak utrzymują platonicy i fikcjonaliści, zwykłe zdania matematyczne, takie jak „3 jest liczbą pierwszą”, należy czytać według wartości nominalnej, tj. Jako mające formę przedmioty matematyczne i (b) nie ma takich rzeczy jak przedmioty matematyczne, ale (c) nasze zdania matematyczne są nadal prawdziwe. Poglądy tego rodzaju zostały poparte przez Azzouni (1994, 2004, 2010) i Bueno (2005, 2009). Należy jednak zauważyć, że Bueno - w swoim (2009) - nazywa swoją wersję nominalizmu deflacyjnego prawdy wersją fikcjonalizmu. Nie dzieje się tak dlatego, że naprawdę popiera pogląd, który w tym eseju nazywa się fikcjonalizmem; to dlatego, że używa terminu „fikcjonalizm” w inny sposób niż w tym eseju. Ale ważne jest, aby pamiętać, że użycie Bueno nie różni się tak bardzo; ponieważ, jak wkrótce zobaczymy, nominalizm prawdy deflacyjnej i fikcjonalizm (tak jak jest tu definiowany) są dość podobnymi poglądami. (Pogląd Bueno różni się również od poglądu fikcjonalizmu zdefiniowanego tutaj w drugi sposób: popiera on raczej agnostycyzm w stosunku do abstrakcyjnych obiektów niż pełny antyrealizm. Ale ta różnica jest jeszcze mniej ważna niż pierwsza; jeśli przeformułujemy (b) i (c) w powyższej definicji fikcjonalizmu, tak aby były one zgodne z agnostycyzmem, praktycznie nic innego w poglądach fikcjonalistów nie musiałoby się zmieniać. Tak więc fikcjonaliści mogą wybrać, czy chcą być agnostykami, czy antyrealistami w odniesieniu do abstrakcyjnych obiektów, a ta decyzja nie będą miały dużego wpływu na resztę ich poglądów. Rzeczywiście, jak zostanie wyjaśnione w sekcji 3,Agnostycyzm Bueno może być mniej więcej równoważny poglądom niektórych fikcjonistów).

Przed opisaniem problemów związanych z nominalizmem prawdy deflacyjnej należy zauważyć, że głównym twierdzeniem stojącym za tym poglądem jest hipoteza empiryczna dotycząca zwykłego dyskursu. W szczególności jest to twierdzenie o znaczeniu terminu „prawda” lub o pojęciu prawdy. Kiedy nominalniści prawdy deflacyjnej twierdzą, że np. „3 jest liczbą pierwszą” mogłoby być prawdą, nawet gdyby nie było czegoś takiego jak liczba 3, twierdzą oni o zwykłej koncepcji prawdy. Mówią, że ta koncepcja ma zastosowanie w pewnych sytuacjach, w których większość z nas - platonistów i fikcjonalistów, a także prawie wszyscy inni - uważa, że nie ma ona zastosowania. prawdy, wtedy ich pogląd zapadnie się w wersję fikcjonalizmu. Ponieważ zgadzają się z fikcjonalistami, że `` 3 jest pierwsze '' rzekomo dotyczy pewnego abstrakcyjnego przedmiotu, a ponieważ zgadzają się również, że nie ma czegoś takiego jak abstrakcyjne przedmioty, to wynika z tego, że jeśli popierali standardowy pogląd na prawdę, tj. pogląd platonistyczno-fikcyjny, zgodnie z którym zdanie w postaci „F a” nie mogłoby być prawdziwe, chyba że „a” odnosiło się do faktycznie istniejącego przedmiotu - wówczas musieliby oni przyznać, że „3 jest liczbą pierwszą” jest nieprawdziwe. Teraz mogą dalej argumentować, że te zdania są prawdziwe * - gdzie jest to zdefiniowane w taki sposób, że zdania w postaci 'F a' mogą być prawdziwe * nawet jeśli nie ma czegoś takiego jak a - ale oczywiście, fikcjoniści zgodziliby się z tym. Zatem jeśli nominalizm prawdy deflacyjnej ma być autentycznie różny od fikcjonalizmu, musi zawierać tezę o znaczeniu zwykłego słowa „prawda”;w szczególności należy twierdzić, że zdania w postaci „F a” mogą być prawdziwe w zwykłym znaczeniu tego słowa, nawet jeśli termin „a” w liczbie pojedynczej nie odnosi się do żadnego faktycznie istniejącego przedmiotu.

Biorąc to pod uwagę, większość fikcjonalistów prawdopodobnie powiedziałaby, że problem z nominalizmem opartym na deflacji polega na tym, że jest on empirycznie nieprawdopodobny. Innymi słowy, zarzut byłby taki, że nominalizm deflacyjny prawdy źle leci w obliczu naszych intuicji co do znaczenia „prawda”. I wydaje się, że istnieje jakieś uzasadnienie tego twierdzenia. Na przykład wydaje się intuicyjnie oczywiste, że zdanie „Mars jest planetą” nie może być dosłownie prawdziwe, chyba że naprawdę istniało coś takiego jak Mars. Co więcej, intuicyjnie zdanie „Mars jest planetą, ale jej nie ma” wydaje się zaprzeczeniem, a ta intuicja wydaje się nie do pogodzenia z nominalizmem deflacyjno-prawdy. Jeśli to prawda - jeśli teza semantyczna deflacyjna prawdy jest sprzeczna z naszymi intuicjami semantycznymi - to dostarcza mocnych dowodów na to, że sądzi, że jest fałszywa.

Ale jest też drugi problem z nominalizmem prawdy deflacyjnej: ma on zapewnić nam sposób na uniknięcie platonizmu, ale w rzeczywistości tak nie jest. Prima facie, mogłoby się wydawać, że nominalizm prawdy deflacyjnej dostarcza sposobu na uniknięcie platonizmu, ponieważ argument za platonizmem może wydawać się opierać na przesłance (2) powyżej - tj. Może się wydawać, że opiera się na twierdzeniu anty-deflacyjnym że jeśli zdania takie jak „4 jest parzyste” należy odczytywać według wartości nominalnej, tj. jako mające formę „F a”, i jeśli są one dosłownie prawdziwe, to zobowiązujemy się wierzyć w przedmioty, których dotyczą np. liczba 4. Ale w rzeczywistości platoniści mogą sformułować swój argument tak, aby nie opierał się on na przesłance anty-deflacyjnej prawdy. Aby zwrócić na to uwagę, zacznijmy od wprowadzenia dwóch nowych terminów sztuki - prawda1 'i' prawda 2 '- i zastrzegając, że' prawdziwe 1 'należy traktować jako wyrażające platonistyczno-fikcyjną koncepcję prawdy, tak że zdanie w postaci' F a 'nie może być prawdziwe 1, chyba że' a 'odnosi się do faktycznie istniejący przedmiot, podczas gdy „prawda 2” wyraża deflacyjną koncepcję prawdy, tak że zdanie w postaci „F a” może być prawdziwe 2, nawet jeśli „a” nie odnosi się do żadnego faktycznie istniejącego obiektu. Biorąc to pod uwagę, platoniści mogą powiedzieć, co następuje:

Po prostu nie obchodzi nas, czy słowo „prawda”, tak jak jest używane w zwykłym języku angielskim, wyraża prawdę 1 lub prawdę 2 (lub czy jest niejednoznaczne i czasami wyraża jedną koncepcję, a czasami drugą). Uznajemy, że standardowe sformułowania argumentu za platonizmem obejmują twierdzenia, że zwykłe zdania matematyczne, takie jak „3 jest liczbą pierwszą”, są prawdziwe. Ale moglibyśmy równie łatwo oprzeć naszą argumentację na twierdzeniu, że takie zdania są prawdziwe 1. Czyniąc to, w żaden sposób nie osłabilibyśmy naszej argumentacji. Argumenty, których używamy do uzasadnienia prawdy matematyki - w szczególności argument o niezbędności Quine'a-Putnama omówiony poniżej - są już argumentami za prawdą 1matematyki. I nie powinno to być zaskakujące; bo kiedy mówimy, że zwykłe zdania matematyczne, takie jak „3 jest liczbą pierwszą”, są prawdziwe, mamy na myśli to, że są prawdziwe 1; tak więc, oczywiście, argumenty, które podajemy za prawdą matematyki, mają już być argumentami za prawdą 1 matematyki.

Biorąc pod uwagę, że platoniści mogą postępować w ten sposób, wydaje się, że pytanie o to, czy teza semantyczna deflacyjna-prawda jest słuszna, tj. Pytanie, czy angielskie słowo `` prawda '' wyraża koncepcję prawdy 1, czy prawdy 2 - jest po prostu czerwony śledź. Prawdziwe pytanie brzmi, czy platoniści mają jakieś dobre argumenty na rzecz prawdy 1 matematyki (i oczywiście, czy antyplatoniści mają jakieś dobre argumenty przeciwko prawdzie 1 matematyki). Innymi słowy, jeśli założymy, że przesłanki (1) i (4) są prawdziwe, więc musimy odczytywać nasze twierdzenia matematyczne jako dotyczące (lub przynajmniej rzekomo odnoszące się do) obiektów abstrakcyjnych, to prawdziwe pytanie brzmi: istnieją dobre powody, by wybierać między platonizmem a fikcjonalizmem.

1.4 Przesłanka (4) oraz fizykalizm i psychologizm

Fizycyzm to pogląd, że nasze zdania i teorie matematyczne dotyczą zwykłych obiektów fizycznych. John Stuart Mill (1843) rozwinął taki pogląd. Jego zdaniem matematyka jest tylko bardzo ogólną nauką przyrodniczą. Na przykład, zdaniem Milla, zdanie „2 + 3 = 5” nie jest twierdzeniem o obiektach abstrakcyjnych (liczbach 2, 3 i 5); jest to raczej twierdzenie dotyczące stosów obiektów fizycznych (w szczególności mówi nam, że jeśli wepchniemy stos dwóch obiektów razem ze stosem trzech obiektów, otrzymamy stos pięciu obiektów. (Phillip Kitcher (1984) a wczesna Penelope Maddy (1990) również poparła poglądy z „fizycznymi skłonnościami”, ale ostatecznie żadne z nich nie jest wiarygodnie interpretowane jako wpadające w ten obóz. Wczesny pogląd Maddy lepiej traktować jako nietradycyjny rodzaj platonizmu, ponieważ zgodnie z tym poglądemmatematyka dotyczy obiektów niefizycznych, które istnieją w przestrzeni i czasie; a pogląd Kitchera najlepiej jest traktować jako rodzaj parafrazy nominalizmu, ponieważ jego zdaniem wypowiedzi matematyczne okazują się nie dotyczyć żadnych faktycznie istniejących obiektów).

Z fizykalistycznymi poglądami na matematykę wiąże się wiele problemów. Aby wspomnieć tylko o jednym z tych problemów, fizykalizm wydaje się całkowicie niezdolny do wyjaśnienia różnego rodzaju twierdzeń o nieskończoności, które znajdujemy w matematyce. Na przykład, jest to twierdzenie teorii mnogości, że istnieje nieskończenie wiele nieskończonych liczb kardynalnych, które stają się coraz większe bez końca. Tak więc teoria mnogości jest zobowiązana do istnienia nieskończonych zbiorów, które są tak ogromne, że są po prostu nieskończonymi zbiorami ogrodowymi, jak zbiór wszystkich liczb naturalnych. Nie ma po prostu wiarygodnego sposobu, aby zinterpretować tę rozmowę o gigantycznych nieskończonych zbiorach jako o obiektach fizycznych.

Psychologizm to pogląd, że zdania i teorie matematyczne dotyczą obiektów mentalnych. Prawdopodobnie najbardziej rozpowszechniona wersja tego poglądu głosi, że liczby są czymś w rodzaju idei w naszych głowach, a zwykłe zdania matematyczne, takie jak „3 jest liczbą pierwszą”, zawierają opisy tych idei. Ten pogląd był popularny pod koniec XIX wiekuStulecie; poparli go np. wczesny Husserl (1891), a także intuicjoniści Brouwer (1912, 1948) i Heyting (1956). Ale Frege (1884, 1893–1903) przedstawił szereg argumentów przeciwko temu poglądowi i zasadniczo go pogrzebał. Podając tylko jeden argument, wydaje się, że psychologizm jest tak samo niezdolny do radzenia sobie z ogromnymi nieskończonościami w matematyce, jak fizykalizm. Jak właśnie widzieliśmy, teorie zbiorów standardowych zakładają, że w rzeczywistości istnieją ogromne nieskończoności obiektów matematycznych. Ale to po prostu niewiarygodne, że w naszych głowach jest tyle pomysłów. Rzeczywiście, wydaje się jasne, że w naszych głowach jest tylko skończenie wiele pomysłów. Dlatego nie jest wiarygodne twierdzenie, że twierdzenia teorii mnogości są prawdziwe przez obiekty mentalne.

W odpowiedzi można by powiedzieć, że nawet jeśli w naszych głowach nie ma nieskończenie wielu idei, wydaje się prawdopodobne, że mamy w głowach idee nieskończoności. To bez wątpienia prawda - takie myśli są w naszych głowach - ale to nie uchroni psychologizmu od powyższego zarzutu. Z naszych teorii matematycznych wynika, że w rzeczywistości istnieje nieskończenie wiele różnych obiektów matematycznych. Np. Standardowe teorie arytmetyki zakładają, że istnieje coś takiego jak 1 i że istnieje coś takiego jak 2 (i że różni się od 1) oraz że istnieje coś takiego jak 3 (i że jest różne od obu 1 i 2) i tak dalej. Zatem nasze teorie matematyczne są prawdziwymi opisami idei w naszych głowach tylko wtedy, gdy faktycznie istnieje nieskończenie wiele różnych idei w naszych głowach. Tak więc, ponieważ nie ma tak wielu pomysłów w naszych głowach,nie możemy utrzymywać, że nasze teorie matematyczne są prawdziwymi opisami takich rzeczy.

Alternatywnie, można by odpowiedzieć na powyższy argument przeciwko psychologizmowi, przechodząc do poglądu, zgodnie z którym twierdzenia matematyczne dotyczą idei, które moglibyśmy skonstruować, możliwych obiektów mentalnych lub czegoś takiego. Nie byłby to jednak pogląd psychologistyczny, ponieważ zgodnie z tym poglądem przedmioty matematyki nie byłyby rzeczywistymi obiektami mentalnymi; byłyby to możliwe obiekty, które przypuszczalnie są albo obiektami abstrakcyjnymi, albo przedmiotami innego rodzaju wątpliwego metafizycznie.

Wreszcie, można by sprzeciwić się obu argumentom w tej podsekcji - tj. Argumentom przeciwko fizykalizmowi i psychologizmowi - mówiąc coś takiego:

Podane tutaj argumenty mają motywować ideę, że zwykłe zdania matematyczne, takie jak `` 4 jest równe '', nie są wiarygodnie interpretowane jako odnoszące się do obiektów fizycznych lub mentalnych - a dokładniej, że są lepiej interpretowane jako dotyczące (lub przynajmniej rzekomo być o) obiektach abstrakcyjnych. Ale można by się tutaj sprzeciwić, że jako interpretacja zwykłego dyskursu matematycznego pogląd platonistyczny / fikcjonalistyczny nie jest bardziej wiarygodny niż fizykalizm czy psychologizm. Można by bowiem uznać za niewiarygodne przypuszczenie, że gdy zwykli ludzie wysuwają twierdzenia matematyczne, zamierzają mówić o abstrakcyjnych przedmiotach.

Ale platonicy i fikcjonaliści nie są zaangażowani w tezę, że ludzie mają pozytywne intencje, aby mówić o abstrakcyjnych przedmiotach. Mogą raczej powiedzieć, co następuje: (i) zwykłe twierdzenia matematyczne najlepiej interpretuje się według wartości nominalnej - a zatem jako twierdzenia o przedmiotach - ponieważ typowi matematycy (i, w istocie, typowe przykłady zwykłych ludzi) nie mają pozytywnych intencji mówić niedosłownie, wypowiadając zdania matematyczne; oraz (ii) istnieją cechy intencji typowych matematyków i typowych ludzi w odniesieniu do ich wypowiedzi matematycznych, które są niezgodne z ideą, że wypowiedzi te dotyczą obiektów fizycznych lub umysłowych;oraz (iii) w intencjach typowych matematyków lub typowych ludzi nie ma nic, co byłoby niezgodne z ideą, że nasze zdania matematyczne dotyczą abstrakcyjnych przedmiotów. Tak więc, zgodnie z tym poglądem, platonistyczna / fikcjonalistyczna teoria semantyczna jest lepsza niż inne semantyczne teorie dyskursu matematycznego, ponieważ jest to jedyna teoria, która jest zgodna z danymi - nie dlatego, że matematycy i zwykli ludzie mają pozytywne intencje, aby mówić o abstrakcyjnych przedmiotach, kiedy wypowiadają zdania matematyczne.platonistyczna / fikcjonalistyczna teoria semantyczna jest lepsza niż inne semantyczne teorie dyskursu matematycznego, ponieważ jest to jedyna teoria, która jest zgodna z danymi - nie dlatego, że matematycy i zwykli ludzie mają pozytywne intencje, by mówić o abstrakcyjnych przedmiotach, kiedy wypowiadają matematyczne zdania.platonistyczna / fikcjonalistyczna teoria semantyczna jest lepsza niż inne semantyczne teorie dyskursu matematycznego, ponieważ jest to jedyna teoria, która jest zgodna z danymi - nie dlatego, że matematycy i zwykli ludzie mają pozytywne intencje, by mówić o abstrakcyjnych przedmiotach, kiedy wypowiadają matematyczne zdania.

(Warto zauważyć, zanim przejdziemy dalej, można twierdzić, że istnienie obiektów matematycznych, takich jak liczby, zależy od nas, bez popierania psychologicznego spojrzenia na te obiekty. Można bowiem twierdzić, że liczby są zależnymi od umysłu obiektami abstrakcyjnymi, tj. - przedmioty przestrzenno-czasowe, które powstały w wyniku działalności człowieka. Poglądy tego rodzaju są popierane przez Listona (2003–04), Cole (2009) i Bueno (2009).)

1.5 Przesłanka (5) i platonizm

Jeśli dotychczas podane argumenty są poprawne, to jedynymi pozostałymi poglądami - jedynymi filozofiami matematyki, które nie zostały wykluczone - są platonizm i fikcjonalizm. Tak więc, aby zakończyć swój argument, fikcjonaliści muszą po prostu przedstawić argument za przesłanką (5); innymi słowy, po prostu muszą argumentować przeciwko platonizmowi. Okazuje się to jednak o wiele trudniejsze niż spór z różnymi nie-fikcyjnymi wersjami antyplatonizmu omówionymi powyżej. Jak widzieliśmy, fikcjonaliści mogą argumentować przeciwko tym poglądom, po prostu motywując serię empirycznych hipotez dotyczących zwykłego dyskursu matematycznego i potocznego znaczenia słowa „prawda”. Mówiąc dokładniej, fikcjonaliści mogą argumentować przeciwko tym poglądom, argumentując, że (a) zwykłe wypowiedzi matematyczne najlepiej interpretować według wartości nominalnej,oraz (b) te wypowiedzi nie mogą być wiarygodnie zinterpretowane jako odnoszące się do obiektów fizycznych lub mentalnych, oraz (c) zdania w postaci `` Przedmiot a jest F '' nie mogą być prawdziwe, w zwykłym znaczeniu tego terminu, chyba że tak naprawdę istnieje coś takiego jak. Ale fikcjonaliści nie mogą w żaden sposób argumentować przeciwko platonizmowi, ponieważ fikcjonaliści i platonicy są zgodni co do znaczenia zwykłych wypowiedzi matematycznych (i słowa „prawda”). Rzeczywiście, platoniści i fikcjoniści nie sprzeciwiają się żadnym tezom semantycznym. Ich niezgoda dotyczy tezy ontologicznej: platonicy wierzą w abstrakcyjne przedmioty, podczas gdy fikcjonaliści nie. Tak więc, jeśli fikcjonaliści będą argumentować przeciwko platonizmowi, będą musieli użyć innego rodzaju argumentu.oraz (c) zdania w postaci „Przedmiot a jest F” nie mogą być prawdziwe w potocznym znaczeniu tego terminu, chyba że rzeczywiście istnieje coś takiego jak a. Ale fikcjonaliści nie mogą w żaden sposób argumentować przeciwko platonizmowi, ponieważ fikcjonaliści i platonicy są zgodni co do znaczenia zwykłych wypowiedzi matematycznych (i słowa „prawda”). Rzeczywiście, platoniści i fikcjoniści nie sprzeciwiają się żadnym tezom semantycznym. Ich niezgoda dotyczy tezy ontologicznej: platonicy wierzą w abstrakcyjne przedmioty, podczas gdy fikcjonaliści nie. Tak więc, jeśli fikcjonaliści będą argumentować przeciwko platonizmowi, będą musieli użyć innego rodzaju argumentu.oraz (c) zdania w postaci „Przedmiot a jest F” nie mogą być prawdziwe w potocznym znaczeniu tego terminu, chyba że rzeczywiście istnieje coś takiego jak a. Ale fikcjonaliści nie mogą w żaden sposób argumentować przeciwko platonizmowi, ponieważ fikcjonaliści i platonicy są zgodni co do znaczenia zwykłych wypowiedzi matematycznych (i słowa „prawda”). Rzeczywiście, platoniści i fikcjoniści nie sprzeciwiają się żadnym tezom semantycznym. Ich niezgoda dotyczy tezy ontologicznej: platonicy wierzą w abstrakcyjne przedmioty, podczas gdy fikcjonaliści nie. Tak więc, jeśli fikcjonaliści będą argumentować przeciwko platonizmowi, będą musieli użyć innego rodzaju argumentu. Ale fikcjonaliści nie mogą w żaden sposób argumentować przeciwko platonizmowi, ponieważ fikcjonaliści i platonicy są zgodni co do znaczenia zwykłych wypowiedzi matematycznych (i słowa „prawda”). Rzeczywiście, platoniści i fikcjoniści nie sprzeciwiają się żadnym tezom semantycznym. Ich niezgoda dotyczy tezy ontologicznej: platonicy wierzą w abstrakcyjne przedmioty, podczas gdy fikcjonaliści nie. Tak więc, jeśli fikcjonaliści będą argumentować przeciwko platonizmowi, będą musieli użyć innego rodzaju argumentu. Ale fikcjonaliści nie mogą w żaden sposób argumentować przeciwko platonizmowi, ponieważ fikcjonaliści i platonicy są zgodni co do znaczenia zwykłych wypowiedzi matematycznych (i słowa „prawda”). Rzeczywiście, platoniści i fikcjoniści nie sprzeciwiają się żadnym tezom semantycznym. Ich niezgoda dotyczy tezy ontologicznej: platonicy wierzą w abstrakcyjne przedmioty, podczas gdy fikcjonaliści nie. Tak więc, jeśli fikcjonaliści będą argumentować przeciwko platonizmowi, będą musieli użyć innego rodzaju argumentu.podczas gdy fikcjonaliści tego nie robią. Tak więc, jeśli fikcjonaliści będą argumentować przeciwko platonizmowi, będą musieli użyć innego rodzaju argumentu.podczas gdy fikcjonaliści tego nie robią. Tak więc, jeśli fikcjonaliści będą argumentować przeciwko platonizmowi, będą musieli użyć innego rodzaju argumentu.

Istnieje kilka różnych argumentów, które zostały podniesione przeciwko matematycznemu platonizmowi, ale najważniejszym - i najbardziej znanym - jest tak zwany epistemologiczny argument przeciwko platonizmowi. Ten argument sięga przynajmniej do Platona. W dzisiejszych czasach najbardziej klasyczne stwierdzenie otrzymało w artykule Paula Benacerrafa (1973), chociaż większość filozofów matematyki zgadza się, że sformułowanie argumentu przez Benacerraf jest problematyczne ze względu na jego zależność od niewiarygodnej przyczynowej teorii wiedzy. Lepszym sposobem sformułowania argumentu jest:

  1. Istoty ludzkie istnieją całkowicie w czasoprzestrzeni.
  2. Jeśli istnieją jakieś abstrakcyjne obiekty matematyczne, to istnieją one poza czasoprzestrzenią. Dlatego wydaje się prawdopodobne, że
  3. Gdyby istniały jakieś abstrakcyjne obiekty matematyczne, ludzie nie mogliby ich poznać. Ale
  4. Jest to wbudowane w platonistyczny pogląd, że istnieją abstrakcyjne przedmioty i ludzie mogą zdobyć o nich wiedzę (w końcu, zgodnie z platonizmem, wiedza matematyczna jest po prostu wiedzą o abstrakcyjnych przedmiotach). W związku z tym,
  5. Platonizm jest fałszywy.

Platoniści próbowali odpowiedzieć na ten argument na kilka różnych sposobów, ale najbardziej popularną (i, można argumentować, najbardziej prawdopodobną) odpowiedzią jest próba podważenia wniosków z (i) i (ii) do (iii) wyjaśniając, jak (iii) może być fałszywe, nawet jeśli (i) i (ii) są prawdziwe - tj. w jaki sposób istoty ludzkie mogą zdobyć wiedzę o obiektach abstrakcyjnych pomimo faktu, że są one przyczynowo izolowane od takich obiektów, a zatem nie mają wszelki kontakt przekazujący informacje z takimi przedmiotami. Tę strategię odpowiedzi realizowali Quine (1948, 1951), Steiner (1975), Katz (1981, 1998), Resnik (1982, 1997), Shapiro (1989, 1997), Lewis (1986), Linsky i Zalta (1995), Balaguer (1995, 1998a) i Linnebo (2006). Pytanie, czy którakolwiek z tych odpowiedzi się powiedzie, jest niezwykle kontrowersyjne wśród filozofów matematyki. Ponadto,Antyplatoniści nie mają żadnego przekonującego argumentu na rzecz tezy, że platoniści nie byliby w stanie przedstawić tutaj wymaganego wyjaśnienia - tj. że nie mogliby wyjaśnić, w jaki sposób istoty ludzkie mogą zdobywać wiedzę o obiektach abstrakcyjnych bez pomocy przekazującego informacje takie obiekty. Tak więc, skracając bardzo długą historię, wydaje się słuszne stwierdzenie, że epistemologiczny argument przeciwko platonizmowi jest w najlepszym przypadku kontrowersyjny i niejednoznaczny.wydaje się słuszne, aby powiedzieć, że epistemologiczny argument przeciwko platonizmowi jest w najlepszym przypadku kontrowersyjny i niejednoznaczny.wydaje się słuszne, aby powiedzieć, że epistemologiczny argument przeciwko platonizmowi jest w najlepszym przypadku kontrowersyjny i niejednoznaczny.

(Bardziej szczegółowe omówienie epistemologicznego argumentu przeciwko platonizmowi, w tym omówienie różnych odpowiedzi, jakich próbowali platonicy, można znaleźć w artykule Stanford Encyclopedia of Philosophy zatytułowanym „Platonism in Metaphysics”).

Biorąc pod uwagę, że argument epistemologiczny nie jest skuteczny w obaleniu platonizmu, fikcjonaliści mogą spróbować przedstawić inny argument przeciwko platonizmowi. Jednym z takich argumentów, któremu poświęcono wiele uwagi, jest argument wielokrotnych redukcji. Klasyczne stwierdzenie tego argumentu ponownie podaje Benacerraf (1965). Argument można przeprowadzić w połączeniu z dowolną z naszych teorii matematycznych, ale zwykle dotyczy to arytmetyki. Co więcej, nawet jeśli skupimy się na arytmetyce, nadal istnieje wiele różnych sposobów sformułowania argumentu. Można to zrobić w następujący sposób: (A) jeśli istnieją sekwencje abstrakcyjnych obiektów, które spełniają nasze teorie arytmetyczne, to jest ich nieskończenie wiele,i nie ma nic „metafizycznie specjalnego” w żadnej z tych sekwencji, co wyróżnia ją jako ciąg liczb naturalnych; ale (B) platonizm jest zaangażowany w tezę, że istnieje niepowtarzalny ciąg abstrakcyjnych obiektów, jakim są liczby naturalne. Dlatego (C) platonizm jest fałszywy.

Platoniści udzielili wielu odpowiedzi na ten argument. Prawdopodobnie najbardziej powszechną strategią było odrzucenie (A), tj. Argumentowanie, że platoniści mogą faktycznie bronić twierdzenia, że istnieje niepowtarzalny ciąg, który wyróżnia się jako ciąg liczb naturalnych. Strategia ta była realizowana na różne sposoby, np. Resnik (1997), Shapiro (1997), Parsons (1990) oraz Linsky i Zalta (1995). Co więcej, Balaguer (1998a) twierdzi, że nawet jeśli (A) jest prawdą, nie ma to znaczenia, ponieważ (B) jest fałszywe: platoniści mogą po prostu przyznać, że istnieje wiele ciągów, które spełniają nasze teorie arytmetyczne i może być tak, że żaden z nich wyróżnia się jako jedyny ciąg liczb naturalnych. Nie ma powszechnej zgody co do statusu tych odpowiedzi platonistycznych, a więc, jak ma to miejsce w przypadku argumentu epistemologicznego,byłoby niezwykle kontrowersyjne, jeśli nie wręcz nieprawdopodobne, gdyby twierdził, że argument wielokrotnych redukcji obala platonizm.

Poza tym jedynym argumentem przeciwko platonizmowi, któremu poświęcono wiele uwagi w filozofii matematyki, jest argument oparty na brzytwach Ockhama. Wrócimy do tego argumentu (bardzo krótko) w sekcji 3; na razie możemy po prostu zauważyć, że podobnie jak argument epistemologiczny i argument o wielokrotnych redukcjach, argument oparty na brzytwach Ockhama jest bardzo kontrowersyjny, a twierdzenie, że argument ten obala platonizm, jest (co najmniej) tendencyjne. Zatem ogólny wniosek, do którego wydaje się, że tutaj doprowadziliśmy, jest następujący: nawet jeśli fikcjonaliści mogą motywować platonistyczną / fikcjonalistyczną semantykę dyskursu matematycznego, a tym samym eliminować wszystkie antyplatonistyczne alternatywy dla fikcjonalizmu, nie mają żadnego naprawdę przekonującego argumentu przeciwko platonizmowi lub za konkluzję, że fikcjonalizm jest wyższy od platonizmu. Innymi słowy,fikcjonaliści nie mają żadnego przekonującego argumentu na rzecz przesłanki (5), więc pozytywny argument na ich rzecz jest w najlepszym przypadku niepełny.

2. Zarzuty wobec fikcjonalizmu i odpowiedzi

Biorąc pod uwagę, że nie ma przekonujących argumentów przeciwko platonizmowi, następne pytanie, które można by naturalnie zadać, dotyczy tego, czy istnieją dobre argumenty przeciwko fikcjonalizmowi (a zatem, jeśli platonizm jest naprawdę jedyną wiarygodną alternatywą dla fikcjonalizmu, na korzyść platonizmu). W niniejszej sekcji rozważono kilka takich argumentów. Przeglądając reakcje fikcjonalizmu na te argumenty, zobaczymy również, jak różni filozofowie opracowali różne wersje fikcjonalizmu.

2.1 Argument nieodzowności

Zdecydowanie najważniejszym i szeroko dyskutowanym argumentem przeciwko fikcjonalizmowi jest tak zwany argument o niezbędności Quine-Putnama (patrz np. Quine (1948, 1951), Putnam (1971), Resnik (1997) i Colyvan (2001)). Argument ten został sformułowany na wiele różnych sposobów. Jedna bardzo prosta wersja argumentu może być sformułowana w ten sposób: (i) zdania matematyczne stanowią nieodzowną część naszych teorii empirycznych świata fizycznego - tj. Naszych teorii fizyki, chemii i tak dalej; (ii) mamy dobre powody, by sądzić, że te teorie empiryczne są prawdziwe, tj. że dostarczają nam dokładnych obrazów świata; dlatego (iii) mamy dobre powody, by sądzić, że nasze zdania matematyczne są prawdziwe, a zatem, że fikcjonalizm jest fałszywy.

Fikcjonaliści opracowali dwa różne rodzaje odpowiedzi na ten argument. Pierwszy z nich, za sprawą Fielda (1980, 2016), można nazwać odpowiedzią nominalizacyjną, a wersję fikcjonalizmu, którą nam daje, można nazwać fikcjonalizmem trudnej drogi. Drugą odpowiedź, opracowaną przez Balaguera (1996a, 1998a), Melię (2000), Rosena (2001), Yablo (2005), Bueno (2009) i Lenga (2010), można nazwać odpowiedzią bez nominalizacji, a Wersja fikcjonalizmu, którą nam daje, można nazwać fikcjonalizmem łatwej drogi lub fikcjonalizmem łasicy. Co więcej, (nazwy tutaj pochodzą od Colyvana i Melii; pierwsza mówi o `` nominalizmie trudnej drogi '' i `` nominalizmie łatwej drogi '', a druga mówi o `` nominalizmie łasicy '').

Reakcja Fielda na twardą drogę polega na odrzuceniu przesłanki (i). Twierdzi, że matematyka nie jest w rzeczywistości niezbędna w naukach empirycznych. Field próbuje ustalić tę tezę, argumentując, że nasze teorie empiryczne można nominalizować, tj. Przeformułować w sposób, który unika odniesienia do abstrakcyjnych obiektów i ich kwantyfikacji egzystencjalnej. Jest to niezwykle kontrowersyjne twierdzenie i bardzo trudno jest ustalić, gdyż przypuszczalnie należałoby faktycznie dokonać nominalizacji dla każdej z naszych teorii empirycznych - stąd nazwa fikcjonalizm trudny do pokonania. Field nie próbował tego robić dla wszystkich naszych teorii empirycznych. Raczej starał się umotywować swoje stanowisko, wyjaśniając, w jaki sposób nominacja przebiegałaby dla jednej teorii empirycznej, a mianowicie teorii grawitacji Newtona. Teraz,niektórzy narzekali, że nawet jeśli strategia Fielda mogłaby działać w przypadku tej jednej teorii, to może nie działać w przypadku innych teorii, aw szczególności Malament (1982) argumentował, że jego strategia nie zadziała w połączeniu z mechaniką kwantową (ale zobacz Balaguer (1996b i 1998a), aby uzyskać argument, że strategię Fielda można rozszerzyć na przypadek mechaniki kwantowej, a odpowiedź można znaleźć w Bueno (2003)). Ponadto istnieje kilka innych zarzutów, które zostały podniesione przeciwko programowi Fielda - patrz np. Malament (1982), Shapiro (1983), Resnik (1985) i Chihara (1990, rozdział 8, sekcja 5). Z drugiej strony, istnieją inne prace, które rozwijają lub dostarczają motywacji dla twardogłowych poglądów nominalistycznych; np. Arntzenius i Dorr (2012) opracowują sposób nominalizacji teorii rozmaitości różniczkowalnych. Obecnie,Stan twardej odpowiedzi Fieldów na argument Quine-Putnama pozostaje kontrowersyjny.

Odpowiedź Balaguera na łatwą drogę zaczyna się od spełnienia przesłanki (i) argumentu Quine-Putnama - tj. Od uznania (dla dobra argumentacji), że istnieją niezbędne zastosowania matematyki do nauk empirycznych. Strategia Balaguera polega po prostu na uwzględnieniu tych aplikacji z fikcyjnego punktu widzenia. Jego argumentację można podsumować następująco: Jeśli istnieją rzeczy takie jak abstrakcyjne przedmioty, to są one przyczynowo obojętne. Biorąc to jednak pod uwagę, wynika z tego, że prawda nauk empirycznych zależy od dwóch zestawów faktów, które istnieją lub nie istnieją niezależnie od siebie. Jeden z tych zestawów faktów jest czysto platonistyczny i matematyczny, a drugi czysto fizyczny (a dokładniej czysto antyplatonistyczny). Ponieważ te dwa zbiory faktów istnieją lub nie istnieją niezależnie od siebie,fikcjonaliści mogą utrzymywać, że (a) nie uzyskuje się zestawu czysto fizycznych faktów, jakiego rodzaju jest to wymagane, tj. takiego rodzaju, jaki jest potrzebny do uczynienia nauki empirycznej prawdziwą, ale (b) nie uzyskuje się zestawu czysto platonistycznych faktów rodzaj wymagany dla prawdziwości nauk empirycznych (ponieważ nie ma czegoś takiego jak abstrakcyjne przedmioty). Dlatego fikcjonalizm jest zgodny z zasadniczo realistycznym poglądem na naukę empiryczną, ponieważ fikcjonaliści mogą utrzymywać, że nawet jeśli nie ma takich rzeczy jak przedmioty matematyczne, a zatem nasze teorie empiryczne nie są do końca prawdziwe, teorie te nadal przedstawiają zasadniczo dokładny obraz świata fizycznego, ponieważ świat fizyczny jest dokładnie taki, jaki powinien być, aby nauka empiryczna była prawdziwa. Innymi słowy,fikcjoniści mogą utrzymywać, że świat fizyczny „dotrzymuje celu umowy z nauką empiryczną”. Wreszcie, aby przedstawić pogląd na to, co robi matematyka w naukach empirycznych, twierdzi się, że działa ona jako pomoc opisowa lub reprezentacyjna. Innymi słowy, daje nam to łatwy sposób formułowania twierdzeń dotyczących świata fizycznego. Na przykład, odwołując się do liczb rzeczywistych - lub, lepiej, używając terminów, które rzekomo odnoszą się do liczb rzeczywistych - dajemy sobie łatwy sposób opisu stanów temperaturowych układów fizycznych. Balaguer argumentuje, że matematyka może odnieść sukces w roli pomocy opisowej, nawet jeśli nie jest to prawda; w istocie argumentuje, że prawda po prostu nie pomaga w tym kontekście.twierdzi się, że funkcjonuje on jako pomoc opisowa lub reprezentacyjna. Innymi słowy, daje nam to łatwy sposób formułowania twierdzeń dotyczących świata fizycznego. Na przykład, odwołując się do liczb rzeczywistych - lub, lepiej, używając terminów, które rzekomo odnoszą się do liczb rzeczywistych - dajemy sobie łatwy sposób opisu stanów temperaturowych układów fizycznych. Balaguer argumentuje, że matematyka może odnieść sukces w roli pomocy opisowej, nawet jeśli nie jest to prawda; w istocie argumentuje, że prawda po prostu nie pomaga w tym kontekście.twierdzi się, że funkcjonuje on jako pomoc opisowa lub reprezentacyjna. Innymi słowy, daje nam to łatwy sposób formułowania twierdzeń dotyczących świata fizycznego. Na przykład, odwołując się do liczb rzeczywistych - lub, lepiej, używając terminów, które rzekomo odnoszą się do liczb rzeczywistych - dajemy sobie łatwy sposób opisu stanów temperaturowych układów fizycznych. Balaguer argumentuje, że matematyka może odnieść sukces w roli pomocy opisowej, nawet jeśli nie jest to prawda; w istocie argumentuje, że prawda po prostu nie pomaga w tym kontekście. Balaguer argumentuje, że matematyka może odnieść sukces w roli pomocy opisowej, nawet jeśli nie jest to prawda; w istocie argumentuje, że prawda po prostu nie pomaga w tym kontekście. Balaguer argumentuje, że matematyka może odnieść sukces w roli pomocy opisowej, nawet jeśli nie jest to prawda; w istocie argumentuje, że prawda po prostu nie pomaga w tym kontekście.

Inni mają podobne poglądy. Na przykład Melia (2000) twierdzi, że możemy potwierdzić nasze teorie empiryczne, a następnie po prostu cofnąć platonistyczne / matematyczne konsekwencje tych twierdzeń. Rosen (2001) argumentuje, że fikcjonalizm jest epistemicznie dopuszczalny, ponieważ inna społeczność naukowców mogłaby zaakceptować te same teorie, które my popieramy, popierając - lub, mówiąc bardziej do rzeczy, racjonalnie - fikcjonalistyczne podejście do matematycznych składników ich teorii. Bueno (2009) argumentuje, że matematyka odgrywa rolę opisową w naukach empirycznych iz tego powodu nie musi być prawdziwa, aby miała zastosowanie. A Leng (2010) argumentuje, że argument o nieodzowności nie obala fikcjonalizmu, ponieważ fikcjonaliści mogą dostarczyć adekwatnego opisu sukcesu nauki.

Yablo (2005, 2002a, 2002b) również rozwija taki pogląd (i warto zauważyć, że jego punkt widzenia w dużym stopniu czerpie z prac Waltona (1990)). Yablo twierdzi, że matematyka pojawia się w nauce jako pomoc reprezentacyjna i nie musi być prawdziwa, aby robić to dobrze. Ale jego wersja poglądu jest nieco inna, ponieważ uważa, że zdania naszych platonistycznie sformułowanych teorii empirycznych - lub przynajmniej typowe wypowiedzi tych zdań - są w rzeczywistości prawdziwe, ponieważ ich rzeczywista treść jest nominalistyczna. Aby użyć trywialnego przykładu, rozważ zdanie

(M) Liczba księżyców Marsa wynosi 2.

Według Yablo, typowe wypowiedzi zdań typu (M) są analogiczne do zwykłych przypadków mowy przenośnej, np.

(A) Przeciętna mama ma 2,4 dziecka.

Forma składniowa (A) wydaje się sugerować, że chodzi o rzeczywisty obiekt znany jako przeciętna mama; ale oczywiście tak nie jest - odczytanie go w ten sposób oznaczałoby niezrozumienie, co ludzie mają na myśli, gdy wypowiadają zdania typu (A). Podobnie, według Yablo, chociaż mogłoby się wydawać, że (M) twierdzi częściowo o rzeczywistym obiekcie znanym jako 2, tak naprawdę nie jest. Raczej prawdziwą treścią (M) - tj. Typowe wypowiedzi tego zdania tak naprawdę mówią - jest to, że istnieją dwa księżyce Marsa. I, oczywiście, twierdzenie to - tj. Twierdzenie, że istnieją dwa księżyce Marsa - nie jest twierdzeniem dotyczącym liczby 2 ani żadnego innego abstrakcyjnego obiektu; jest nominalistycznie koszerny. Podsumowując, idea jest taka, że fikcjoniści zajmujący się czystą matematyką mogą poprzeć parafrazę nominalistycznego poglądu na mieszane zdania matematyczne.

(Warto zauważyć, że Yablo wydaje się również sądzić, że przynajmniej czasami zdania czysto matematyczne mają rzeczywistą treść - tj. Naprawdę mówią rzeczy - które są nominalistyczne i prawdziwe. Na przykład myśli, że przynajmniej czasami zdania typu „ 3 + 2 = 5 'powiedz rzeczy takie jak jeśli są trzy F i dwa G, to (z wyjątkiem nakładania się) jest pięć F lub G. Co więcej, czasami Yablo wydaje się przynajmniej sugerować pogląd, że przynajmniej czasami, gdy wypowiadamy zdania typu „3 jest liczbą pierwszą”, tak naprawdę mówimy, że „3 jest liczbą pierwszą” jest prawdziwe lub dopuszczalne zgodnie z teorią (lub historią lub grą) arytmetyki. Nie jest jasne, w jaki sposób Jednak Yablo poważnie traktuje ten pomysł; w każdym razie wydaje się całkiem jasne, że jeśli w ogóle go popiera, uważa, że jest to prawdą tylko w niektórych kontekstach, tj. tylko w niektórych czysto matematycznych wypowiedziach. Niezależnie jednak od poglądu Yablo, ważne jest, aby zauważyć, że poglądy tego ogólnego rodzaju - tj. Poglądy, które przyjmują zdania czysto matematyczne, aby mieć rzeczywistą treść lub naprawdę mówią rzeczy, które są nominalistyczne i prawdziwe - nie są w ogóle wersjami fikcjonalizmu, ponieważ ten pogląd został tutaj zdefiniowany. Są to raczej wersje parafraz nominalizmu, a więc podlegają argumentowi przeciwko temu poglądowi przedstawionemu w sekcji 1.2. Wrócimy (bardzo krótko) do kwestii, czy pogląd Yablo jest rzeczywiście wersją fikcjonalizmu w sekcji 2.3.)Są to raczej wersje parafraz nominalizmu, a więc podlegają argumentowi przeciwko temu poglądowi przedstawionemu w sekcji 1.2. Wrócimy (bardzo krótko) do kwestii, czy pogląd Yablo jest rzeczywiście wersją fikcjonalizmu w sekcji 2.3.)Są to raczej wersje parafraz nominalizmu, a więc podlegają argumentowi przeciwko temu poglądowi przedstawionemu w sekcji 1.2. Wrócimy (bardzo krótko) do kwestii, czy pogląd Yablo jest rzeczywiście wersją fikcjonalizmu w sekcji 2.3.)

Więcej informacji na temat poglądów takich jak Yablo można znaleźć w Plebani (2018) oraz Berto i Plebani (2015).

Warto zauważyć, że zwolennicy łatwego nominalizmu nie preferują ich poglądu od Fielda po prostu dlatego, że jest „łatwiejszy” lub dlatego, że nie wiąże się to z zaangażowaniem w kontrowersyjne twierdzenie, że nasze teorie empiryczne można nominalizować. Melia, Yablo i Balaguer argumentują, że pogląd ten jest niezależnie lepszy od poglądu Fielda, ponieważ lepiej pasuje do rzeczywistej praktyki naukowej.

Warto również zauważyć, że łatwe odpowiedzi na argument Quine-Putnama zostały opracowane przez ludzi, którzy nie popierają fikcjonalizmu, np. Sober (1993), Maddy (1995, 1997), Mortensen (1998) i Azzouni (2004)).

Odpowiedź na łatwą drogę dali Colyvan (2002, 2010) i Baker (2005, 2009). Twierdzą, że matematyka odgrywa w nauce nie tylko rolę opisową. Odgrywa również rolę wyjaśniającą. Na przykład Baker rozważa przypadek obejmujący różne gatunki cyklad okresowych, w których stadium nimfalne trwa 13 lub 17 lat. Dlaczego stadia nimfalne mają 13 lub 17 lat? Według biologów ewolucyjnych odpowiedź brzmi, że 13 i 17 to liczby pierwsze, co minimalizuje przecięcia z innymi gatunkami okresowymi. Colyvan i Baker argumentują, że przypadki takie jak ten - przypadki, w których przedmioty matematyczne odgrywają nieodzowną rolę w wyjaśnianiu zjawisk fizycznych - dostarczają nam lepszej i mocniejszej wersji argumentu o nieodzowności. W rzeczy samej,argumentują, że jeśli naprawdę istnieją przypadki, w których prawdziwie matematyczne wyjaśnienia zjawisk fizycznych są proste, to fikcyjne wersje fikcjonalizmu nie mogą odnieść sukcesu. Ale to twierdzenie jest otwarte na dyskusję, a odpowiedzi na te wyjaśniające wersje argumentu niezbędności zostały podane przez Melię (2002), Leng (2005b), Bangu (2008), Daly i Langford (2009) oraz Yablo (2012).

2.2 Obiektywizm

Drugi zarzut wobec fikcjonalizmu opiera się na założeniu, że fikcjonaliści nie mogą wyjaśnić obiektywizmu matematyki. Jest oczywistym faktem dotyczącym praktyki matematycznej, że w praktyce działa w niej pewien rodzaj obiektywizmu. W matematyce istnieje istotna różnica między zdaniami typu „2 + 2 = 4” i „3 jest liczbą pierwszą” z jednej strony a „2 + 2 = 5” i „3 jest złożona” z drugiej. Oczywiście istnieje pewien sens, w którym pierwsze dwa zdania, ale nie dwa drugie, są „poprawne”, „prawidłowe”, „dobre” lub coś w tym rodzaju. Najbardziej oczywistą rzeczą do powiedzenia jest to, że pierwsze dwa zdania są prawdziwe, podczas gdy dwa ostatnie są fałszywe. Ale fikcjonaliści nie mogą tego powiedzieć; są zobowiązani do twierdzenia, że wszystkie cztery z tych zdań są nieprawdziwe. A zatem,nasuwa się pytanie, czy fikcjonaliści mają jakikolwiek adekwatny opis obiektywności matematyki - tj. różnic między tymi dwoma rodzajami zdań.

Znowu istnieją dwie różne odpowiedzi, których fikcjonaliści udzielili na ten problem. Te dwie odpowiedzi dają nam wersje fikcjonalizmu, które z braku lepszej pary terminów można nazwać fikcjonalizmem formalistycznym i fikcjonalizmem nieformalistycznym.

Pogląd formalistyczny rozwinął Field (1980, 1989, 1998). Jego zdaniem różnica między „3 jest liczbą pierwszą” a „3 jest złożona” jest analogiczna do różnicy między, powiedzmy, „Święty Mikołaj nosi czerwony garnitur” a „Święty Mikołaj nosi zielony garnitur”. Dokładniej rzecz ujmując, idea Fielda polega na tym, że różnica między zdaniami typu „3 jest pierwsze” i „3 jest złożona” polega na tym, że to pierwsze (ale nie drugie) jest częścią pewnej dobrze znanej „historii”, a mianowicie historii matematyka. Field podkreśla to, mówiąc, że chociaż „3 jest liczbą pierwszą” i „3 jest złożona” są całkowicie nieprawdziwe, to pierwsze jest prawdziwe w historii matematyki, podczas gdy drugie nie. Większość poglądów Fielda tutaj jest zgodna zarówno z formalistycznym fikcjonalizmem, jak i nieformalistycznym fikcjonalizmem. Różnica między tymi dwoma poglądami ma związek z tym, na czym fikcjonaliści uważają, że ma składać się historia matematyki. Dla Fielda historia matematyki składa się zasadniczo z szeregu systemów formalnych, a mianowicie tych, które obecnie akceptujemy. Mówiąc dokładniej, mówi (1998, s. 391), że zdanie matematyczne jest fikcyjnie poprawne wtedy i tylko wtedy, gdy jest „konsekwencją przyjętych aksjomatów [w]… sensie konsekwencji, który wykracza nieco poza konsekwencje pierwszego rzędu, włączając logika kwantyfikatora „tylko skończenie wiele””. Zatem w tym ujęciu różnica między zdaniami typu „3 jest liczbą pierwszą” i „3 jest złożona” - powodem, dla którego to pierwsze jest „poprawne”, a drugim nie - jest to, że to pierwsze wynika z przyjętych aksjomatów matematycznych. (Ten pogląd został również poparty przez Leng (2010);mówi, że matematyczna akceptowalność sprowadza się do podążania za przyjętymi aksjomatami).

Balaguer (2001, 2009) argumentuje, że formalistyczny pogląd Fielda nie może być słuszny, i opracowuje dla niego nieformalistyczną alternatywę. Jego argumentem przeciwko formalistycznemu poglądowi jest to, że nie może on wyjaśnić całej obiektywności, jaką znajdujemy w matematyce. Co najważniejsze, pogląd formalistyczny pociąga za sobą (błędnie), że nie ma obiektywnie poprawnych odpowiedzi na pytania dotyczące wartości prawdziwości zdań matematycznych, które są nierozstrzygalne w obecnie akceptowanych teoriach matematycznych. Najbardziej znanym przykładem jest tu prawdopodobnie hipoteza kontinuum (CH), która jest nierozstrzygalna w obecnie przyjętych teoriach mnogości, np. Teorii mnogości Zermelo-Fraenkla (ZF). (Innymi słowy, ZF jest zgodne zarówno z CH, jak i ~ CH; tj. ZF + CH i ZF + ~ CH są spójnymi teoriami zbiorów). Biorąc to pod uwagę,z punktu widzenia Fielda wynika, że ani CH, ani ~ CH nie są częścią historii matematyki, a zatem nie ma obiektywnie poprawnej odpowiedzi na pytanie CH. Wydaje się to jednak niedopuszczalne, ponieważ może się okazać, że matematycy znajdą obiektywnie poprawną odpowiedź na pytanie KW. Na przykład, przypuśćmy, że jakiś matematyk wymyślił nowego kandydata na aksjomat AX, tak że (i) wszyscy matematycy zgodzili się, że AX było intuicyjnie oczywistym twierdzeniem dotyczącym zbiorów, a (ii) ZF + AX pociągało za sobą CH. Gdyby tak się stało, matematycy powiedzieliby, że udowodnili CH, i że odkryli, że CH jest poprawne i tak dalej. Pogląd Fielda zmusiłby nas do stwierdzenia, że gdybyśmy poparli AX, to CH stałby się prawdziwy w historii matematyki. Ale wydaje się, że wszystko idzie źle. Biorąc pod uwagę intuicyjną oczywistość AX,wydaje się bardzo naturalne, aby powiedzieć, że w tym scenariuszu matematycy odkryli, że CH było prawdziwe (lub „poprawne”, lub prawdziwe w historii matematyki, czy jakkolwiek chcemy to nazwać) przez cały czas - tj., że nie Po prostu wymyśl to, popierając nową teorię. I znowu wydaje się, że tak powiedzieliby matematycy. A zatem, argumentuje Balaguer, formalistyczny pogląd Fielda na obiektywność matematyki jest nie do przyjęcia.

Nieformalistyczna wersja fikcjonalizmu Balaguera podtrzymuje tezę Fielda, że „poprawność” matematyczna ma związek z byciem prawdziwym w historii matematyki, ale porzuca pogląd Fieldiana, że historia matematyki składa się z obecnie akceptowanych aksjomatów. Według Balaguera tak zwana „historia matematyki” polega na tezie, że faktycznie istnieją abstrakcyjne obiekty matematyczne, takie jakie mają na myśli platonicy, tj. Takie, o jakich mają rzekomo dotyczyć nasze teorie matematyczne. Tak więc, zgodnie z tym poglądem, zdanie matematyczne jest fikcyjnie poprawne wtedy i tylko wtedy, gdyby było prawdziwe, gdyby rzeczywiście istniały abstrakcyjne obiekty matematyczne, takie jakie mają na myśli platonicy. Balaguer twierdzi, że jeśli fikcjonaliści przyjmą ten pogląd, mogą uniknąć powyższego problemu z poglądem Fielda i, bardziej ogólnie,mogą całkowicie rozwiązać problem obiektywności, ponieważ mogą naśladować wszystko, co platonicy mówią o obiektywności.

2.3 Rewolucjonizm i hermeneutyka

Kolejny zarzut wobec fikcjonalizmu wysuwa Burgess (2004) - i należy zauważyć, że wywodzi się on z Burgessa (1983) oraz Burgessa i Rosena (1997). Argument można przedstawić w ten sposób:

Fikcjonaliści stają przed dylematem: muszą poprzeć albo hermeneutyczny fikcjonalizm, albo rewolucyjny fikcjonalizm, ale żadne z nich nie jest wiarygodne. Możemy zdefiniować hermeneutyczny fikcjonalizm jako pogląd, że matematycy (i być może zwykli ludzie) chcą, aby ich matematyczna mowa była traktowana jako fikcja; a dokładniej, pogląd jest taki, że zgodnie ze zwykłymi matematycznymi intencjami terminy w liczbie pojedynczej, takie jak „3”, nie powinny się odnosić, a zdania typu „3 jest liczbą pierwszą” nie powinny być prawdziwe. Ale hermeneutyczny fikcjonalizm jest niewiarygodny i pozbawiony motywacji; jako hipoteza empiryczna o tym, co zamierzają matematycy, po prostu nie ma na to dobrych dowodów i wydaje się oczywiście fałszywa. Z drugiej strony rewolucyjny fikcjonalizm to pogląd, że (a) matematycy nie zamierzają traktować swoich wypowiedzi jako fikcji,lub jako niedosłowne w jakikolwiek inny sposób; a zatem (b) powinniśmy interpretować matematyków jako rzeczywiście potwierdzających to, co mówią ich zdania, tj. jako dokonujących twierdzeń dotyczących (lub rzekomo dotyczących) obiektów matematycznych; ale (c) ponieważ nie ma czegoś takiego jak przedmioty matematyczne, twierdzenia matematyków są po prostu twierdzeniami nieprawdziwymi. Ale rewolucyjny fikcjonalizm również jest niewiarygodny; biorąc pod uwagę osiągnięcia filozofów i matematyków, byłoby „komicznie nieskromne”, gdyby filozofowie przypuszczali, że odkryli problem z matematyką (Burgess, 2004, s. 30).twierdzenia matematyków są po prostu twierdzeniami nieprawdziwymi. Ale rewolucyjny fikcjonalizm również jest niewiarygodny; biorąc pod uwagę osiągnięcia filozofów i matematyków, byłoby „komicznie nieskromne”, gdyby filozofowie przypuszczali, że odkryli problem z matematyką (Burgess, 2004, s. 30).twierdzenia matematyków są po prostu twierdzeniami nieprawdziwymi. Ale rewolucyjny fikcjonalizm również jest niewiarygodny; biorąc pod uwagę osiągnięcia filozofów i matematyków, byłoby „komicznie nieskromne”, gdyby filozofowie przypuszczali, że odkryli problem z matematyką (Burgess, 2004, s. 30).

Nikt nigdy nie bronił hermeneutycznego fikcjonalizmu, tak jak został on zdefiniowany powyżej. Yablo (2002a) twierdzi, że jego pogląd jest wersją hermeneutycznego fikcjonalizmu - i Plebani (2018) podąża za nim w ten sposób - ale pogląd, jaki myślą ci filozofowie, różni się nieco od poglądu hermeneutycznego fikcjonalizmu opisanego powyżej. Yablo nie twierdzi, że matematycy zamierzają traktować wypowiedziane przez siebie zdania w rodzaju „3 jest liczbą pierwszą” jako twierdzenia fikcyjne. Uważa raczej, że te wypowiedzi są (przynajmniej czasami, a może typowo) analogiczne do zwykłych przykładów mowy figuratywnej, np. Zdań typu „Tylny palnik to miejsce, w którym umieszcza się rzeczy, które pozwalają im się gotować”. To zdanie zawiera pojedynczy termin - „tylny palnik” - który wydaje się (syntaktycznie) być wyrażeniem denotującym;ale tak naprawdę nie jest to wyrażenie denotujące (przynajmniej w typowych przypadkach) i zinterpretowanie go jako autentycznego wyrażenia denotującego w zdaniach takich jak powyższe byłoby źle zrozumiałym, co typowi mówcy takich zdań zamierzają powiedzieć. Yablo uważa, że coś takiego jest prawdą w odniesieniu do typowych wypowiedzi (czystych i mieszanych) zdań matematycznych, np. Zdania typu „3 jest liczbą pierwszą” i „Liczba księżyców Marsa wynosi 2”. Tak więc Yablo z pewnością proponuje hermeneutyczny pogląd nominalistyczny, ale nie jest jasne, czy jego pogląd najlepiej postrzegać jako rodzaj hermeneutycznego fikcjonalizmu. Jak zauważono powyżej (sekcja 2.1), pogląd ten można lepiej sklasyfikować jako rodzaj parafrazy nominalizmu. Yablo nazywa swój pogląd figuralizmem i mówi, jakby to była wersja fikcjonalizmu. Ale wydaje się, że używa terminu „fikcjonalizm” w inny sposób niż został on tutaj zdefiniowany. Prawdopodobnie ma na myśli to, że w dosłownym czytaniu zdania matematyczne są nieprawdziwe, jak mówi fikcjonalizm, ale istnieje alternatywna interpretacja, w której okazują się prawdziwe (i nominalistycznie koszerne). Ale to, co sprawia, że niewygodne jest przyjmowanie poglądu Yablo jako wersji fikcjonalizmu, to fakt, że wydaje się on sądzić, że to, co (czyste i mieszane) zdania matematyczne naprawdę mówią - a dokładniej, co naprawdę mówią typowe wypowiedzi tych zdań - jest prawdziwe i nominalistyczne. w zawartości. Brzmi to bardziej jak parafraza nominalizmu niż fikcjonalizmu.ale istnieje alternatywna lektura, w której się sprawdzają (i nominalistycznie koszerna). Ale to, co sprawia, że niewygodne jest przyjmowanie poglądu Yablo jako wersji fikcjonalizmu, to fakt, że wydaje się on sądzić, że to, co (czyste i mieszane) zdania matematyczne naprawdę mówią - a dokładniej, co naprawdę mówią typowe wypowiedzi tych zdań - jest prawdziwe i nominalistyczne. w zawartości. Brzmi to bardziej jak parafraza nominalizmu niż fikcjonalizmu.ale istnieje alternatywna lektura, w której się sprawdzają (i nominalistycznie koszerna). Ale to, co sprawia, że niewygodne jest przyjmowanie poglądu Yablo jako wersji fikcjonalizmu, to fakt, że wydaje się on sądzić, że to, co (czyste i mieszane) zdania matematyczne naprawdę mówią - a dokładniej, co naprawdę mówią typowe wypowiedzi tych zdań - jest prawdziwe i nominalistyczne. w zawartości. Brzmi to bardziej jak parafraza nominalizmu niż fikcjonalizmu.

Stanley (2001) przedstawił kilka argumentów przeciwko hermeneutycznemu fikcjonalizmowi. Odpowiedzi na jego argumenty udzielają Yablo (2002a) i Liggins (2010).

W przeciwieństwie do Yablo, Leng (2005a, 2010), Daly (2006) i Balaguer (2009) odpowiadają na argument Burgessa, broniąc rewolucyjnego fikcjonalizmu. Wersja odpowiedzi Lenga opiera się na twierdzeniu, że filozofowie mogą oceniać i krytykować pracę matematyków. Oczywiście Leng przyznaje, że matematyka jest bardzo skuteczną praktyką i że filozofowie muszą to szanować, ale twierdzi, że możemy wyjaśnić sukces matematyki, nie zakładając, że to prawda. Biorąc to pod uwagę, argumentuje, możemy racjonalnie oceniać i krytykować praktykę matematyczną z zewnątrz, z filozoficznego punktu widzenia.

Ale jest inny rodzaj rewolucyjnej fikcjonalizmu, który nie obejmuje żadnej krytyki matematyki. Jak zostało to sformułowane powyżej, rewolucyjny fikcjonalizm jest po prostu poglądem, że (i) powinniśmy interpretować matematyków jako twierdzących, co mówią ich zdania, tak aby (ii) ich wypowiedzi były nieprawdziwymi twierdzeniami o abstrakcyjnych przedmiotach. Ale nie wynika z tego, że jest coś nie tak z matematyką - coś, co zasługuje na krytykę. To sugeruje, że „rewolucyjny fikcjonalizm” nie jest dobrą nazwą dla tego poglądu. Lepszym nazwiskiem byłby „fikcjonalizm asertywny”. Gdybyśmy mówili w ten sposób, moglibyśmy powiedzieć, że istnieją zarówno rewolucyjne, jak i nierewolucyjne rodzaje fikcjonalizmu asercyjnego. Rewolucyjni fikcjoniści asercyjni powiedzieliby, że powinniśmy zmienić to, co robimy w matematyce, abyśmy nie składali już nieprawdziwych twierdzeń; np. powinniśmy chcieć, aby nasze twierdzenia matematyczne były traktowane jako fikcje, lub powinniśmy zacząć używać naszych zdań matematycznych do określenia tego, co jeśli-toiści myślą, że mają na myśli, lub coś takiego. Z drugiej strony nierewolucyjni fikcjonaliści asercyjni powiedzieliby, że nie ma nic złego w matematyce, tak jak jest obecnie praktykowana; przyznaliby, że zdania matematyczne, takie jak „4 jest parzyste”, nie są prawdziwe; ale utrzymywaliby, że nie ma w tym nic złego, ponieważ oznaką dobroci w matematyce nie jest prawda - to prawda w historii matematyki, czy coś w tym rodzaju.albo powinniśmy zacząć używać naszych zdań matematycznych do określenia tego, co myślą, jeśli-toiści myślą, lub coś w tym rodzaju. Z drugiej strony nierewolucyjni fikcjonaliści asercyjni powiedzieliby, że nie ma nic złego w matematyce, tak jak jest obecnie praktykowana; przyznaliby, że zdania matematyczne, takie jak „4 jest parzyste”, nie są prawdziwe; ale utrzymywaliby, że nie ma w tym nic złego, ponieważ oznaką dobroci w matematyce nie jest prawda - to prawda w historii matematyki, czy coś w tym rodzaju.albo powinniśmy zacząć używać naszych zdań matematycznych do określenia tego, co myślą, jeśli-toiści myślą, lub coś w tym rodzaju. Z drugiej strony nierewolucyjni fikcjonaliści asercyjni powiedzieliby, że nie ma nic złego w matematyce, tak jak jest obecnie praktykowana; przyznaliby, że zdania matematyczne, takie jak „4 jest parzyste”, nie są prawdziwe; ale utrzymywaliby, że nie ma w tym nic złego, ponieważ oznaką dobroci w matematyce nie jest prawda - to prawda w historii matematyki, czy coś w tym rodzaju.ale utrzymywaliby, że nie ma w tym nic złego, ponieważ oznaką dobroci w matematyce nie jest prawda - to prawda w historii matematyki, czy coś w tym rodzaju.ale utrzymywaliby, że nie ma w tym nic złego, ponieważ oznaką dobroci w matematyce nie jest prawda - to prawda w historii matematyki, czy coś w tym rodzaju.

Wydaje się, że Field popiera jakiś pogląd w sąsiedztwie tego rodzaju nierewolucjonizmu. Omawiając argumentację Burgessa w przedmowie do drugiego wydania Science Without Numbers, mówi: „Moim zdaniem jest to fałszywa dychotomia. Z pewnością nie sądziłem, że konto, które przedstawiłem, było „hermeneutyczne”, ale też nie było „rewolucyjne”: wziąłem raczej to, co robiłem, za relację wyjaśniającą, dlaczego zwykłe ćwiczenia matematyczne są w porządku.” (Field, 2016, s.4)

Wreszcie Balaguer (2009) argumentuje, że fikcjonaliści istnieją sposoby, aby uniknąć zarówno hermeneutyki, jak i asercjalizmu, a co za tym idzie, mogą całkowicie uniknąć dylematu Burgessa. Co więcej, Field (2016) wydaje się również wspierać taki pogląd. Ale Armor-Garb (2011) argumentuje, że wersja (niehermeneutycystycznego, nieasercjonalnego) fikcjonalizmu, którą proponuje tutaj Balaguer, jest nie do utrzymania.

2.4 Podobieństwo do fikcji

Kilka osób - np. Katz (1998), Thomas (2000 i 2002), Hoffman (2004), Burgess (2004) i Thomasson (2013)) - sprzeciwiło się fikcjonalizmowi ze względu na oczywiste dysanalogie między matematyką a fikcją. (Czym dokładnie są te dezanalogie, różni się w różnych wersjach zarzutu. Na przykład Katz twierdzi, że spójność jest ważnym kryterium dobra w matematyce, ale nie w fikcji. Burgess twierdzi, że kwestia istnienia obiektów matematycznych nie jest empirycznie znacząca, podczas gdy pytanie, czy (nieabstrakcyjne) przedmioty w naszych fikcyjnych historiach istnieją, ma znaczenie empiryczne).

Jednym ze sposobów, w jaki fikcjonaliści mogą odpowiedzieć na ten zarzut, jest twierdzenie, że jest on po prostu nieistotny, ponieważ fikcjonalizm nie obejmuje twierdzenia, że nie ma ważnych dezanalogii między matematyką a fikcją. Jak zdefiniowano powyżej, fikcjonalizm to pogląd, że (a) nasze zdania i teorie matematyczne mają rzekomo dotyczyć abstrakcyjnych obiektów matematycznych, jak sugeruje platonizm, ale (b) nie istnieją przedmioty abstrakcyjne, a więc (c) nasze teorie matematyczne nie są prawdziwe. W ogóle nie ma tu żadnego twierdzenia o dyskursie fikcyjnym, więc fikcjonaliści mogą po prostu zaprzeczyć, że ich pogląd pociąga za sobą brak ważnych rozbieżności między matematyką a fikcją.

Otóż, nie oznacza to, że fikcjonaliści nie mogą twierdzić, że istnieją pewne analogie między matematyką a fikcją. Mogą oczywiście twierdzić, że są; np. mogliby chcieć powiedzieć, że podobnie jak w matematyce, nie ma takich rzeczy jak przedmioty fikcyjne iz tego powodu typowe zdania fikcyjne nie są dosłownie prawdziwe. Ale wysuwając takie twierdzenia, fikcjonaliści nie angażują się w żadne silniejsze twierdzenia o analogii między matematyką a fikcją - np. Że dyskurs matematyczny jest rodzajem dyskursu fikcyjnego - iz pewnością nie angażują się w twierdzenie, że nie ma ważne dysanalogie między dwoma przedsiębiorstwami. Krótko mówiąc, fikcjonalizm jest całkowicie zgodny z twierdzeniem, że istnieje wiele ważnych dezanalogii między matematyką a fikcją.

Na koniec należy zauważyć, że są tacy fikcjonaliści, którzy wydają się chcieć wysunąć mocniejsze twierdzenia na temat analogii między matematyką a fikcją. Takie osoby mogą być zmuszone do poważniejszego traktowania powyższych zastrzeżeń. Ale żaden z fikcjonalistów omawianych w tym eseju nie popiera żadnych bardzo mocnych twierdzeń tego rodzaju; w szczególności żaden z nich nie mówi nic, co pociągałoby za sobą, że nie ma ważnych dezanalogii między matematyką a fikcją. Z drugiej strony należy zauważyć, że Yablo i Bueno wysunęli w związku z tym pewne twierdzenia, które wykraczają poza to, co mają do powiedzenia fikcjonaliści. Na przykład Bueno (2009) mówi, że obiekty matematyczne są podobne do postaci fikcyjnych, ponieważ są abstrakcyjnymi artefaktami (mówiąc to, podąża za poglądem Thomassona (1999) na postacie fikcyjne). A Yablo sformułował dość mocne twierdzenia na temat analogii, którą według niego zachowuje między wypowiedziami matematycznymi i metaforycznymi lub wyrażeniami figuratywnymi. Tak więc szczególna wersja fikcjonalizmu Yablo jest otwarta na zastrzeżenia co do tego, że wypowiedzi matematyczne w rzeczywistości nie są podobne lub analogiczne do wypowiedzi metaforycznych. Pewne zastrzeżenia tego rodzaju zostały podniesione przez Stanleya (2001), na które Yablo odpowiada w swojej (2002a). Ale ponieważ Yablo nie twierdzi, że wypowiedzi matematyczne są analogiczne do wypowiedzi fikcyjnych, nie musi odpowiadać na zastrzeżenia tego rodzaju, o których mowa na początku niniejszego podrozdziału. Szczególna wersja fikcjonalizmu Yablo jest otwarta na zarzuty, że wypowiedzi matematyczne w rzeczywistości nie są podobne lub analogiczne do wypowiedzi metaforycznych. Pewne zastrzeżenia tego rodzaju zostały podniesione przez Stanleya (2001), na które Yablo odpowiada w swojej (2002a). Ale ponieważ Yablo nie twierdzi, że wypowiedzi matematyczne są analogiczne do wypowiedzi fikcyjnych, nie musi odpowiadać na zastrzeżenia tego rodzaju, o których mowa na początku niniejszego podrozdziału. Szczególna wersja fikcjonalizmu Yablo jest otwarta na zarzuty, że wypowiedzi matematyczne w rzeczywistości nie są podobne lub analogiczne do wypowiedzi metaforycznych. Pewne zastrzeżenia tego rodzaju zostały podniesione przez Stanleya (2001), na które Yablo odpowiada w swojej (2002a). Ale ponieważ Yablo nie twierdzi, że wypowiedzi matematyczne są analogiczne do wypowiedzi fikcyjnych, nie musi odpowiadać na zastrzeżenia tego rodzaju, o których mowa na początku niniejszego podrozdziału.nie musi on odpowiadać na zastrzeżenia, o których mowa na początku niniejszego podrozdziału.nie musi on odpowiadać na zastrzeżenia, o których mowa na początku niniejszego podrozdziału.

2.5 Akceptacja i wiara

Jak stało się jasne w sekcji 2.2, chociaż fikcjonaliści uważają, że zdania typu „2 + 2 = 4” są ściśle mówiąc fałszywe, niemniej jednak uważają, że są „poprawne” w pewnym sensie tego terminu. Jaki jest zatem stosunek fikcjonisty do tych zdań? Idąc za Basem van Fraassenem (1980), który popiera podobny pogląd w odniesieniu do nauk empirycznych, standardowa linia fikcjonistów jest taka, że akceptują zdania typu „2 + 2 = 4”, nie wierząc im. To, jak dokładnie zdefiniować akceptację, jest przedmiotem pewnych kontrowersji, ale jednym oczywistym sposobem postępowania w tym miejscu jest twierdzenie, że fikcjonaliści akceptują czyste matematyczne zdanie S wtedy i tylko wtedy, gdy uważają, że S jest prawdziwe w historii matematyki.

Niektórzy ludzie sprzeciwiają się rozróżnieniu między wiarą a akceptacją. Horwich (1991), O'Leary-Hawthorne (1997) oraz Burgess i Rosen (1997) przedstawiają argumenty za twierdzeniem, że nie ma rzeczywistej różnicy między akceptacją a przekonaniem, ponieważ z grubsza (a) wierzyć, że coś jest po prostu skłonni zachowywać się w określony sposób, oraz (b) ci, którzy uważają, że 2 + 2 = 4 i ci, którzy rzekomo akceptują tylko 2 + 2 = 4, są prawdopodobnie skłonni zachowywać się dokładnie w ten sam sposób.

Daly (2008) i Leng (2010) podają szereg odpowiedzi na ten argument. Daly mówi tylko o tym, że fikcjonaliści w rzeczywistości nie są skłonni zachowywać się w taki sam sposób, jak platonicy. Zwykle zachowują się zupełnie inaczej w odpowiedzi na pytania typu: „Czy rzeczywiście istnieją takie rzeczy jak liczby?”

2.6 Tajemnicza zawartość dodatkowa

Thomasson (2013) sprzeciwia się specyficznej wersji fikcjonalizmu Yablo. Jak widzieliśmy powyżej, Yablo (2005, 2002a, 2002b) rozróżnia między treścią dosłowną a rzeczywistą treścią zdań, takich jak

(M) Liczba księżyców Marsa wynosi 2.

Thomasson argumentuje, że Yablo jest zwolennikiem twierdzenia, że dla prawdziwości dosłownej treści zdań, takich jak (M), potrzeba czegoś więcej, niż dla prawdziwości treści tych zdań. Ale czym mogłoby być to dodatkowe coś? Według Thomassona jest to niejasne i jeśli Yablo nie może powiedzieć czegoś więcej na ten temat, nie powinniśmy akceptować jego poglądu.

Jedną z odpowiedzi na to - podaną przez Contessę (2016, s. 771) - jest to, że jest oczywiste, czego więcej potrzeba; musi być tak, że istnieją „niezależne od umysłu, nieprzestrzenne czasowo, obojętne przyczynowo obiekty abstrakcyjne”.

Innej odpowiedzi udziela Plebani (2018). Twierdzi, że niezależnie od tego, czy belowowscy fikcjonaliści potrafią wyartykułować dwa różne warunki prawdziwości dla zdań takich jak (M), można rozróżnić rzeczywistą i dosłowną treść tych zdań, ponieważ mają one różne tematy.

2.7 Inne zastrzeżenia

Istnieją oczywiście inne zastrzeżenia wobec fikcjonalizmu. Prawdopodobnie najszerzej dyskutowana kwestia opiera się na twierdzeniu, że fikcjonalizm nie jest prawdziwie nominalistycznym poglądem, ponieważ samo sformułowanie fikcjonalizmu zawiera stwierdzenia, które obejmują ontologiczne zobowiązania wobec abstrakcyjnych obiektów. Trudno byłoby tu jednak odnieść się do tego zastrzeżenia, ponieważ przybiera on inną formę w związku z każdą inną wersją fikcjonalizmu, a jak wynika z powyższej dyskusji, istnieje wiele różnych wersji fikcjonalizmu (np. - fikcjonalizm drogi lub fikcjonalizm łatwej drogi; i oba te poglądy można połączyć albo z fikcjonalizmem formalistycznym, albo z fikcjonalizmem nieformalistycznym;a każdy z tych poglądów można połączyć z hermeneutycznym fikcjonalizmem lub rewolucyjnym asercjalizmem lub nierewolucyjnym asercyjnym fikcjonalizmem; i tak dalej). Należy jednak zauważyć, że kilku różnych obrońców fikcjonalizmu zareagowało na obawy o nominalistyczny status ich własnych, szczególnych wersji fikcjonalizmu. W szczególności Field (1989) broni swojej wersji fikcjonalizmu przed zarzutem, że jest ona zobowiązana do istnienia punktów czasoprzestrzeni, o których można by pomyśleć, że nie są nominalistycznie koszerne; a Balaguer (1998a) broni swojej wersji przed zarzutem, że jest ona (a także wersja Fielda) zobowiązana do istnienia opowieści, które przypuszczalnie byłyby obiektami abstrakcyjnymi, gdyby istniały; i w końcu,Rosen (2001) broni swojego poglądu przed zarzutem, że angażuje się on w teorie i możliwe światy. Balaguer i Rosen obawiają się, że ficjonaliści są zobowiązani do istnienia typów zdań, które przypuszczalnie byłyby obiektami abstrakcyjnymi. Daly przedstawia wersję tego zmartwienia w swoim (2008) i stanowi przeciwwagę dla odpowiedzi Balaguera na to zmartwienie. Przedstawia również odpowiedź, którą Rosen udzielił wcześniej w swoim (1990).

Kolejny zarzut wobec fikcjonalizmu (a ściślej mówiąc - fikcjonalizmu łatwego drogi) podnosi Szabo (2001). Niech S będzie jakimś zdaniem matematycznym, np. „4 jest parzyste”. Szabo argumentuje przeciwko fikcjonalistom łatwej drogi, twierdząc, że jeśli zaprzeczają, że S jest prawdą, ale nadal używają go w sposób, który wydaje się nie do odróżnienia od sposobów, w jakie używają go platoniści, to zasadniczo są zobowiązani do mówienia rzeczy w rodzaju `` 4 jest równe ''., ale ja w to nie wierzę, co według Szabo sprawia, że mają kłopoty z powodu paradoksu Moore'a.

Wreszcie Chihara (2010) budzi zastrzeżenia do fikcyjnych poglądów zarówno Fielda, jak i Balaguera.

3. Wniosek

Istnieje więc kilka różnych zarzutów wobec fikcjonalizmu, ale fikcjonaliści mają odpowiedzi na wszystkie z nich i nie jest wcale oczywiste, że którykolwiek z nich odniósł sukces w obaleniu fikcjonalizmu. Tak więc w chwili obecnej wydaje się przynajmniej prima facie prawdopodobne przypuszczenie, że fikcjonalizmu można bronić. Z drugiej strony, jeśli twierdzenia zawarte w sekcji 1 są słuszne, to fikcjonaliści nie mają przekonującego pozytywnego argumentu na rzecz swojego poglądu. Argumenty zawarte w sekcjach 1.2–1.4 sugerują, że istnieją dobre powody do odrzucenia różnych antyplatonistycznych alternatyw dla fikcjonalizmu, a tym samym do myślenia, że platonizm i fikcjonalizm to dwa najlepsze poglądy na matematykę, ale nie wydaje się, aby były one dobre. argument na rzecz fikcjonalizmu nad platonizmem lub odwrotnie. Teraz,większość fikcjonalistów prawdopodobnie powiedziałaby - a niektórzy powiedzieliby (patrz np. Leng, 2010) - że ta sytuacja już sama w sobie daje nam dobry powód, aby fikcjonalizm był przedkładany nad platonizm. Bo jeśli przyjmiemy twierdzenie, że nie ma dobrego pozytywnego argumentu na rzecz platonizmu i połączymy je z brzytwą Ockhama (tj. Zasadą, która mówi nam, że jeśli dwie teorie wyjaśniają wszystkie te same fakty, to ceteris parabis, powinniśmy poprzeć bardziej ontologicznie oszczędny z tych dwóch), wydaje się, że doprowadza nas to do wniosku, że fikcjonalizm jest wyższy od platonizmu. Należy jednak zaznaczyć, że argument ten jest jednoznacznie odrzucany przez co najmniej dwóch z omówionych powyżej obrońców fikcjonalizmu. Rosen (patrz np. Burgess i Rosen, 1997) wątpi, czy jest jakikolwiek dobry powód, by zaakceptować brzytwę Ockhama, a Balaguer (1998a) twierdzi, że nawet jeśli ją akceptujemy,istnieją powody, by sądzić, że nie ma ona zastosowania w niniejszej sprawie. Tak więc Rosen i Balaguer uważają, że obecnie nie mamy żadnego dobrego powodu, by popierać platonizm czy fikcjonalizm. Ponadto, jak zauważono w sekcji 1.3, Bueno (2009) uważa, że fikcjonaliści powinni być agnostykami co do istnienia abstrakcyjnych obiektów; wydaje się to być mniej więcej równoważne z poglądem Rosena; Pogląd Balaguera jest nieco inny, ponieważ w rzeczywistości uważa, że nie ma faktu, czy istnieją abstrakcyjne przedmioty.wydaje się to być mniej więcej równoważne z poglądem Rosena; Pogląd Balaguera jest nieco inny, ponieważ w rzeczywistości uważa, że nie ma faktu, czy istnieją abstrakcyjne przedmioty.wydaje się to być mniej więcej równoważne z poglądem Rosena; Pogląd Balaguera jest nieco inny, ponieważ w rzeczywistości uważa, że nie ma faktu, czy istnieją abstrakcyjne przedmioty.

Bibliografia

  • Armor-Garb, B., 2011, „Understanding Mathematical Fictionalism”, Philosophia Mathematica, 19: 335–44.
  • Arnzenius, F. i C. Dorr, 2012, „Calculus as Geometry”, in Space, Time, and Stuff, F. Arntzenius, Oxford: Oxford University Press, s. 213–78.
  • Azzouni, J., 1994, Metaphysical Myths, Mathematical Practice, Cambridge: Cambridge University Press.
  • –––, 2004, Deflating Existential Consequence: A Case for Nominalism, Oxford: Oxford University Press.
  • –––, 2010, Rozmowa o niczym: liczby, halucynacje i fikcje, Oxford: Oxford University Press.
  • Baker, A., 2005, „Czy istnieją autentyczne matematyczne wyjaśnienia zjawisk fizycznych?”, Mind, 114: 223–38.
  • –––, 2009, „Mathematical Explanation in Science”, British Journal for the Philosophy of Science, 60: 611–633.
  • Balaguer, M., 1995, „A Platonist Epistemology”, Synthese, 103: 303–25.
  • –––, 1996a, „A Fictionalist Account of the Unispensable Applications of Mathematics”, Philosophical Studies, 83: 291–314.
  • –––, 1996b, „Towards a Nominalization of Quantum Mechanics”, Mind, 105: 209–26.
  • –––, 1998a, Platonism and Anti-Platonism in Mathematics, Oxford: Oxford University Press.
  • –––, 1998b, „Postawy bez propozycji”, Filozofia i badania fenomenologiczne, 58: 805–26.
  • –––, 2001, „A Theory of Mathematical Correctness and Mathematical Truth”, Pacific Philosophical Quarterly, 82: 87–114.
  • –––, 2009, „Fictionalism, Theft, and the Story of Mathematics”, Philosophia Mathematica, 17: 131–62.
  • Bangu, S., 2008, „Inference to the Best Explanation and Mathematical Realism”, Synthese, 160: 13–20.
  • Benacerraf, P., 1965, „What Numbers Could Not Be”, przedrukowane w Benacerraf i Putnam (1983), str. 272–94.
  • –––, 1973, „Mathematical Truth”, Journal of Philosophy, 70: 661–79.
  • Benacerraf, P. and Putnam, H. (red.), 1983, Philosophy of Mathematics, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Berto, F. i M. Plebani, 2015, Ontology and Metaontology: A Contemporary Guide, Londyn: Bloomsbury Academic.
  • Brouwer, LEJ, 1912, „Intuitionism and Formalism”, przedrukowane w Benacerraf i Putnam (1983), 77–89.
  • –––, 1948, „Consciousness, Philosophy, and Mathematics”, przedrukowane w Benacerraf i Putnam (1983), 90–96.
  • Bueno, O., 2003, „Czy można nazwać mechanikę kwantową?”, Philosophy of Science, 70: 1424–36.
  • –––, 2005, „Dirac and the Dispensability of Mathematics”, Studies in History and Philosophy of Modern Physics, 36: 465–90.
  • –––, 2009, „Mathematical Fictionalism”, w: New Waves in Philosophy of Mathematics, O. Bueno i Ø. Linnebo (red.), Hampshire: Palgrave Macmillan, s. 59–79.
  • Burgess J., 1983, „Why I Not a Nominalist”, Notre Dame Journal of Formal Logic, 24: 93–105.
  • –––, 2004, „Mathematics and Bleak House”, Philosophia Mathematica, 12: 18–36.
  • Burgess, J. and G. Rosen, 1997, A Subject With No Object, Nowy Jork: Oxford University Press.
  • Chihara, C., 1990, Constructibility and Mathematical Existence, Oxford: Oxford University Press.
  • –––, 2004, A Structuralist Account of Mathematics, Oxford: Oxford University Press.
  • –––, 2010, „New Directions for Nominalist Philosophers of Mathematics”, Synthese, 176: 153–75.
  • Cole, J., 2009, „Creativity, Freedom, and Authority: A New Perspective on the Metaphysics of Mathematics”, Australasian Journal of Philosophy, 87: 589–608.
  • Colyvan, M., 2001, The Indispensability of Mathematics, Nowy Jork: Oxford University Press.
  • –––, 2002, „Mathematics and Aesthetic Considerations in Science”, Mind, 111: 69–74.
  • –––, 2010, „Nie ma łatwej drogi do nominalizmu”, Mind, 119: 285–306.
  • Contessa, G., 2016, „It Ain't Easy: Fictionalism, Deflationism, and Easy Arguments in Ontology”, Mind, 125: 1057–73.
  • Corkum, P., 2012, „Aristotle on Mathematical Truth”, British Journal for the History of Philosophy, 20: 763–76.
  • Curry, HB, 1951, Outlines of a Formalist Philosophy of Mathematics, Amsterdam: North-Holland.
  • Daly, C., 2006, „Mathematical Fictionalism - No Comedy of Errors”, Analysis, 66: 208–16.
  • –––, 2008, „Fictionalism and the Attitudes”, Filozofia, 139: 423–40.
  • Daly, C. and S. Langford, 2009, „Mathematical Explanation and Indispensability Arguments”, Philosophical Quarterly, 59: 641–58.
  • Dorr, C., 2008, „Nie ma obiektów abstrakcyjnych”, w: Contemporary Debates in Metaphysics, T. Sider, J. Hawthorne i D. Zimmerman (red.), Oxford: Blackwell Publishing, str. 12–64.
  • Field, H., 1980, Science Without Numbers, Princeton, NJ: Princeton University Press.
  • –––, 1989, Realizm, matematyka i modalność, Nowy Jork: Basil Blackwell.
  • –––, 1998, „Mathematical Objectivity and Mathematical Objects”, w: Contemporary Readings in the Foundations of Metaphysics, C. MacDonald i S. Laurence (red.), Oxford: Basil Blackwell, s. 387–403.
  • –––, 2016, Science Without Numbers, wydanie drugie, Oxford: Oxford University Press.
  • Frege, G., 1884, Der Grundlagen die Arithmetik. Przetłumaczone przez JL Austina jako The Foundations of Arithmetic, Oxford: Basil Blackwell, 1953.
  • –––, 1893–1903, Grundgesetze der Arithmetik. Przetłumaczone (częściowo) przez M. Furtha jako The Basic Laws of Arithmetic, Berkeley, CA: University of California Press, 1964.
  • –––, 1919, „The Thought: A Logical Inquiry”, przedrukowane w Essays on Frege, ED Klemke (red.), Urbana, IL: University of Illinois Press, 1968, 507–35.
  • Gödel, K., 1964, „What is Cantor's Continuum Problem?”, Przedrukowane w Benacerraf i Putnam (1983), 470–85.
  • Hale, R., 1987, Abstract Objects, Oxford: Basil Blackwell.
  • Hellman, G., 1989, Mathematics Without Numbers, Oxford: Clarendon Press.
  • –––, 1998, „Maoist Mathematics?” Philosophia Mathematica, 6: 334–45.
  • Heyting, A., 1956, Intuitionism, Amsterdam: North-Holland.
  • Hilbert, D., 1899, Grundlagen der Geometrie. Przetłumaczone przez E. Townsenda jako Foundations of Geometry, La Salle, IL: Open Court, 1959.
  • Hoffman, S., 2004, „Kitcher, Ideal Agents, and Fictionalism”, Philosophia Mathematica, 12: 3–17.
  • Hofweber, T., 2005, „Number Determiners, Numbers, and Arithmetic”, The Philosophical Review, 114: 179–225.
  • Horgan T., 1984, „Science Nominalized”, Philosophy of Science, 51: 529–49.
  • Horwich, P., 1991, „On the Nature and Norms of Theoretical Commitment”, Philosophy of Science, 58: 1–14.
  • Husserl, E., 1891, Philosophie der Arithmetik, Lipsk: CEM Pfeffer.
  • Katz, J., 1981, Język i inne obiekty abstrakcyjne. Totowa, NJ: Rowman & Littlefield oraz Oxford: Blackwell.
  • –––, 1998, Realistic Rationalism, Cambridge, MA: MIT Press.
  • Kitcher, P., 1984, The Nature of Mathematical Knowledge, Oxford: Oxford University Press.
  • Lear, J., 1982, „Aristotle's Philosophy of Mathematics”, The Philosophical Review, 91: 161–92.
  • Leng, M., 2005a, „Revolutionary Fictionalism: A Call to Arms”, Philosophia Mathematica, 13: 277–93.
  • –––, 2005b, „Mathematical Explanation”, w: Mathematical Reasoning and Heuristics, C. Cellucci i D. Gillies (red.), London: King's College Publications, str. 167–89.
  • –––, 2010, Matematyka i rzeczywistość, Oxford: Oxford University Press.
  • Liggins, D., 2010, „The Autism Objection to Pretense Theory”, Philosophical Quarterly, 60: 764–82.
  • Linnebo, Ø., 2006, „Epistemological Challenges to Mathematical Platonism”, Philosophical Studies, 129: 545–74.
  • Linsky, B. i E. Zalta, „Naturalized Platonism and Platonized Naturalism”, Journal of Philosophy, 92: 525–55.
  • Liston, M., 2003–04, „Thin- and Full-Blooded Platonism”, The Review of Modern Logic, 9: 129–61.
  • Maddy, P., 1990, Realism in Mathematics, Oxford: Oxford University Press.
  • –––, 1995, „Naturalizm i ontologia”, Philosophia Mathematica, 3: 248–70.
  • –––, 1997, Naturalizm w matematyce, Oxford: Clarendon Press.
  • Malament, D., 1982, Review of Field, Science Without Numbers, Journal of Philosophy, 79: 523–34.
  • Marcus, R., 2015, Autonomy Platonism and the Unispensability Argument, Lanham, MD: Rowman and Littlefield.
  • McEvoy, M., 2012, „Platonism and the 'Epistemic Role Puzzle'”, Philosophia Mathematica, 20: 289–304.
  • Melia, J., 2000, „Weaseling Away the Indispensability Argument”, Mind, 109: 455–79.
  • –––, 2002, „Response to Colyvan”, Mind, 111: 75–79.
  • Moltmann, F., 2013, „Odniesienie do liczb w języku naturalnym”, Studia filozoficzne, 162: 499–536.
  • Mortensen, C., 1998, „On the Possibility of Science Without Numbers”, Australasian Journal of Philosophy, 76: 182–97.
  • O'Leary-Hawthorne, J., 1994, „What Does van Fraassen's Critique of Scientific Realism Show?”, The Monist, 77: 128–45.
  • Parsons, C., 1971, „Ontology and Mathematics”, Philosophical Review, 80: 151–76.
  • –––, 1990, „Strukturalistyczny pogląd na obiekty matematyczne”, Synthese, 84: 303–46.
  • Plebani, M., 2018, „Fictionalism versus Deflationism: A New Look”, Philosophical Studies, 175: 301–16.
  • H. Putnam, 1967a, „Mathematics Without Foundations”, przedrukowane w Benacerraf i Putnam (1983), s. 295–311.
  • –––, 1967b, „Thesis that Mathematics is Logic”, w: Bertrand Russell, Philosopher of the Century, R. Schoenman (red.), Londyn: Allen and Unwin.
  • –––, 1971, Philosophy of Logic, Nowy Jork: Harper and Row.
  • Quine, WVO, 1948, „On What There Is”, przedrukowany w Quine (1961), 1–19.
  • –––, 1951, „Two Dogmas of Empiricism”, przedrukowane w Quine (1961), 20–46.
  • ---, 1961, z logicznego punktu widzenia, 2 nd. Red, New York: Harper and Row.
  • Rayo, A., 2008, „On Specifying Truth Conditions”, Philosophical Studies, 47: 163–181.
  • –––, 2013, Budowa przestrzeni logicznej, Oxford: Oxford University Press.
  • Resnik, M., 1985, „How Nominalist is Hartry Field's Nominalism?” The Philosophical Review, 117: 385–443.
  • –––, 1997, Mathematics as a Science of Patterns, Oxford: Oxford University Press.
  • Rosen, G., 1990, „Modal Fictionalism”, Mind, 99: 327–54.
  • –––, 2001, „Nominalizm, naturalizm, relatywizm epistemiczny”, w: Tematy filozoficzne, 15: 60–91.
  • Russell, B., 1912, The Problems of Philosophy. Przedruk 1959, Oxford: Oxford University Press.
  • Shapiro, S., 1983, „Conservativeness and Incompleteness”, Journal of Philosophy, 80: 521–31.
  • –––, 1997, Philosophy of Mathematics: Structure and Ontology, Nowy Jork: Oxford University Press.
  • Sober, E., 1993, „Mathematics and Indispensability”, The Philosophical Review, 102: 35–57.
  • Stanley, J., 2001, „Hermeneutic Fictionalism”, Midwest Studies in Philosophy, 25 (1): 36–71.
  • Steiner, M., 1975, Mathematical Knowledge, Ithaca, NY: Cornell University Press.
  • Szabo, Z., 2001, „Fictionalism and Moore's Paradox”, Canadian Journal of Philosophy, 31: 293–307.
  • Thomas, R., 2000, „Mathematics and Fiction I: Identification”, Logique et Analyze, 43: 301–40.
  • –––, 2002, „Mathematics and Fiction II: Analogy”, Logique et Analyze, 45: 185–228.
  • Thomasson, A., 1999, Fiction and Metaphysics, Cambridge: Cambridge University Press.
  • –––, 2013, „Fictionalism Versus Deflationism”, Mind, 122: 1023–51.
  • van Fraassen, B., 1980, The Scientific Image, Oxford: Clarendon Press.
  • Walton, K., 1990, Mimesis as Make-Believe, Cambridge, MA: Harvard University Press.
  • Wittgenstein, L., 1956, Remarks on the Foundations of Mathematics, Oxford: Basil Blackwell.
  • Wright, C., 1983, Frege's Conception of Numbers as Objects, Aberdeen, Szkocja: Aberdeen University Press.
  • Yablo, S., 2002a, „Go Figure: A Path Through Fictionalism”, Midwest Studies in Philosophy, 25: 72–102.
  • –––, 2002b, „Obiekty abstrakcyjne: studium przypadku”, nr 36 (tom uzupełniający 1): 220–240.
  • –––, 2005, „The Myth of the Seven”, w: Fictionalism in Metaphysics, M. Kalderon (red.), Nowy Jork: Oxford University Press, str. 88–115.
  • –––, 2012, „Explanation, Extrapolation, and Existence”, Mind, 121: 1007–29.
  • –––, 2017, „If-Thenism”, Australasian Philosophical Review, 1: 115–33.
  • Yi, B., 2002, Understanding the Many, Nowy Jork i Londyn: Routledge.
  • Zalta, E., 1988, Intensional Logic and the Metaphysics of Intentionality, Cambridge, MA: Bradford / MIT Press.

Narzędzia akademickie

człowiek ikona
człowiek ikona
Jak cytować ten wpis.
człowiek ikona
człowiek ikona
Zobacz wersję PDF tego wpisu w Friends of the SEP Society.
ikona Inpho
ikona Inpho
Poszukaj tego tematu wpisu w Internet Philosophy Ontology Project (InPhO).
ikona dokumentów phil
ikona dokumentów phil
Ulepszona bibliografia tego wpisu na PhilPapers, z linkami do jego bazy danych.

Inne zasoby internetowe

[Prosimy o kontakt z autorem z sugestiami.]

Zalecane: