Logiki Podstrukturalne

Spisu treści:

Logiki Podstrukturalne
Logiki Podstrukturalne
Anonim

Nawigacja wejścia

  • Treść wpisu
  • Bibliografia
  • Narzędzia akademickie
  • Podgląd PDF znajomych
  • Informacje o autorze i cytacie
  • Powrót do góry

Logiki podstrukturalne

Pierwszy opublikowany wtorek 4 lipca 2000; rewizja merytoryczna środa 21.02.2018

Logiki podstrukturalne są logikami nieklasycznymi słabszymi od logiki klasycznej, wyróżniającymi się brakiem reguł strukturalnych obecnych w logice klasycznej. Logiki te są motywowane rozważaniami z filozofii (logika właściwa), językoznawstwa (rachunek Lambka) i informatyki (logika liniowa). Ponadto techniki z logiki podstrukturalnej są przydatne w badaniu logiki tradycyjnej, takiej jak logika klasyczna i intuicjonistyczna. Ten artykuł zawiera krótkie omówienie dziedziny logiki podstrukturalnej. Aby uzyskać bardziej szczegółowe wprowadzenie, wraz z twierdzeniami, dowodami i przykładami, czytelnik może zapoznać się z książkami i artykułami w bibliografii.

  • 1. Rezydencja
  • 2. Logika w rodzinie
  • 3. Systemy sprawdzające
  • 4. Semantyka
  • Bibliografia
  • Narzędzia akademickie
  • Inne zasoby internetowe
  • Powiązane wpisy

1. Rezydencja

W logice chodzi o logiczną konsekwencję. W rezultacie warunek jest centralnym pojęciem w logice ze względu na jego ścisły związek z logiczną konsekwencją. To powiązanie jest starannie wyrażone w warunku resztkowym (znanym również jako twierdzenie o dedukcji):

[p, q / vdash r / text {wtedy i tylko wtedy, gdy} p / vdash q / rightarrow r)

Mówi, że (r) wynika z (p) razem z (q) właśnie wtedy, gdy (q / rightarrow r) wynika z samego (p). Poprawność przejścia od (q) do (r) (dane (p)) jest rejestrowane przez warunkowy (q / rightarrow r).

To powiązanie między warunkiem a konsekwencją nazywa się reszty przez analogię do przypadku w matematyce. Rozważ związek między dodawaniem a odejmowaniem. (a + b = c) wtedy i tylko wtedy, gdy (a = c - b). Wynikowe (a) (czyli (c - b)) jest resztą, co pozostaje z (c) po zabraniu (b). Inną nazwą tego połączenia jest twierdzenie o dedukcji.

Jednak tam związek między konsekwencją a warunkiem zawiera jeden dodatkowy czynnik. Jest tam nie tylko kołowrót logicznej konsekwencji i warunkowa, kodowana konsekwencja w języku zdań, ale także przecinek wskazujący na kombinację przesłanek. Przeczytaliśmy „(p, q / vdash r)”, ponieważ „(r) wynika z (p) razem z (q)”. Łączenie pomieszczeń to sposób na ich połączenie. Ale jak możemy je połączyć? Okazuje się, że można to zrobić na różne sposoby, a więc różne logiki substrukturalne. Zachowanie kombinacji przesłanek zmienia się wraz ze zmianą zachowania warunku. W tym wprowadzeniu rozważymy kilka przykładów.

1.1 Osłabienie

Prawda (p) to jedno. Inną rzeczą jest, aby warunkowy (q / rightarrow p) był prawdziwy. Jednak jeśli '(rightarrow)' jest materialnym warunkiem warunkowym, (q / rightarrow p) wynika z (p). Z wielu różnych powodów możemy chcieć zrozumieć, jak warunek może działać w przypadku braku tego wnioskowania. Jest to związane z zachowaniem kombinacji przesłanek, jak można wykazać na tej demonstracji.

(cfrac {p / vdash p} { cfrac {p, q / vdash p} {p / vdash q / rightarrow p}})

Z aksjomatycznego (p / vdash p) (wszystko wynika z samego siebie) wnioskujemy, że (p) wynika z (p) razem z (q), a następnie przez resztę (p / vdash q / rightarrow p). Jeśli chcemy odrzucić wnioskowanie z (p) do (q / rightarrow p), to albo odrzucamy resztę, albo odrzucamy aksjomat tożsamości na początku dowodu, albo odrzucamy pierwszy krok dowodu. Warto zastanowić się, co obejmuje ta ostatnia opcja. Tutaj mamy zaprzeczyć, że (p) wynika z (p, q). Generalnie mamy odrzucić regułę wnioskowania, która ma następującą postać:

(frac {X / vdash A} {X, Y / vdash A})

Nazywa się to zasadą osłabienia. Reguła przechodzi od silniejszego stwierdzenia, że (A) wynika z (X) do prawdopodobnie słabszego, że (A) wynika z (X) razem z (Y).

Ludzie podali różne powody odrzucenia reguły osłabienia, w zależności od interpretacji kombinacji konsekwencji i przesłanek. Jeden z wczesnych motywujących przykładów pochodzi z troski o trafność. Jeśli logika jest istotna (jeśli powiedzieć, że (p) pociąga za sobą (q) jest prawdą, to przynajmniej powiedzieć, że (q) naprawdę zależy od (p)), to przecinek nie musi nie zaspokajają osłabienia. Rzeczywiście możemy mieć (A) wynikający z (X), bez (A) wynikającego z (X, Y), ponieważ nie musi tak być, że (A) zależy od (X) i (Y) razem.

W odpowiednich logikach reguła osłabienia zawodzi również po drugiej stronie, ponieważ chcemy, aby ten argument był również nieważny:

(cfrac {q / vdash q} { cfrac {p, q / vdash q} {p / vdash q / rightarrow q}})

Ponownie, (q) może wynikać z (q), ale nie oznacza to, że wynika z (p) razem z (q), pod warunkiem, że „razem z” oznacza odpowiednio silną sens. Zatem w odpowiednich logikach wnioskowanie z arbitralnej przesłanki do prawdy logicznej takiej jak (q / rightarrow q) może się nie powieść.

1.2 Przemienność

Jeśli tryb kombinacji przesłanek jest przemienny (jeśli cokolwiek, co wynika z (X, Y) również wynika z (Y, X)), to możemy rozumować w następujący sposób, używając tylko aksjomatu tożsamości i reszty:

(cfrac {p / rightarrow q / vdash p / rightarrow q} { cfrac {p / rightarrow q, p / vdash q} { cfrac {p, p / rightarrow q / vdash q} {p / vdash (p / rightarrow q) rightarrow q}}})

W przypadku braku przemienności kombinacji przesłanek dowód ten nie jest dostępny. Jest to kolejny prosty przykład związku między zachowaniem kombinacji przesłanek i dedukcji obejmujących warunek.

Istnieje wiele rodzajów warunków, w przypadku których to wnioskowanie zawodzi. Jeśli „(rightarrow)” ma siłę modalną (jeśli wyraża rodzaj implikacji, w której (p / rightarrow q) jest prawdą, gdy we wszystkich powiązanych okolicznościach, w których zachodzi (p), (q) też), a jeśli „(vdash)” wyraża lokalną konsekwencję ((p / vdash q) wtedy i tylko wtedy, gdy jakikolwiek model, w każdych okolicznościach, w których (p) zachowuje, to tak robi (q)) zawodzi. Może być prawdą, że Greg jest logikiem ((p)) i prawdą jest, że bycie logikiem Grega pociąga za sobą bycie filozofem ((p / rightarrow q) - w podobnych okolicznościach, w których Greg jest logikiem, jest filozofem), ale nie oznacza to, że Greg jest filozofem. (Istnieje wiele okoliczności, w których wynikanie ((p / rightarrow q)) jest prawdą, ale (q) nie.) Więc mamy okoliczność, w której (p) jest prawdą, ale ((p / rightarrow q) rightarrow q) nie. Argument jest nieprawidłowy.

Ten kontrprzykład można również zrozumieć w kategoriach zachowania kombinacji przesłanek. Tutaj, kiedy mówimy, że (X, A / vdash B) jest prawdą, nie mówimy tylko, że (B) zachowuje się w każdej sytuacji, w której (X) i (A) są zachowane. Jeśli szukamy prawdziwej implikacji A (rightarrow) B, to chcemy, aby (B) było prawdziwe w każdej (powiązanej) sytuacji, w której (A) jest prawdziwe. Tak więc (X, A / vdash B) mówi, że w każdej możliwości, w której (A) jest prawdą, tak jest (B). Te możliwości mogą nie spełniać wszystkich funkcji (X). (W klasycznych teoriach wynikania, możliwości są takie, w których wszystko, co jest konieczne w (X), jest prawdą).

Jeśli kombinacja przesłanek nie jest przemienna, to reszta może przebiegać na dwa sposoby. Oprócz warunku reszty, który daje zachowanie (rightarrow), możemy chcieć zdefiniować nową strzałkę (leftarrow) w następujący sposób:

[p, q / vdash r / text {wtedy i tylko wtedy, gdy} q / vdash r / leftarrow p)

Dla strzałki od lewej do prawej mamy modus ponens w tym kierunku:

[p / rightarrow q, p / vdash q)

W przypadku strzałki od prawej do lewej modus ponens można udowodnić z przesłankami w odwrotnej kolejności:

[p, q / leftarrow p / vdash q)

Jest to cecha logiki podstrukturalnej. Kiedy zwracamy uwagę na to, co się dzieje, gdy nie mamy pełnego zestawu reguł strukturalnych, otwierają się nowe możliwości. Odkrywamy dwa warunki warunkowe pod tym, co było wcześniej jednym (w logice intuicjonistycznej lub klasycznej).

W następnej sekcji zobaczymy kolejny przykład motywującej nieprzemiennej kombinacji przesłanek i tych dwóch różnych warunków.

1.3 Łączność

Oto inny sposób, w jaki reguły strukturalne wpływają na dowód. Asocjatywność kombinacji przesłanek dostarcza następującego dowodu:

(cfrac {r / rightarrow p, r / vdash p / \ / p / rightarrow q, p / vdash q} { cfrac {p / rightarrow q, (r / rightarrow p, r) vdash q} { cfrac {(p / rightarrow q, r / rightarrow p), r / vdash q} { cfrac {p / rightarrow q, r / rightarrow p / vdash r / rightarrow q} {p / rightarrow q / vdash (r / rightarrow p) rightarrow (r / rightarrow q)}}}})

Ten dowód wykorzystuje regułę cięcia na najwyższym stopniu. Chodzi o to, że wnioski można łączyć. Jeśli (X / vdash A) i (Y (A) vdash B) (gdzie (Y (A)) jest strukturą przesłanek prawdopodobnie zawierającą (A) jeden lub więcej razy), to (Y (X) vdash B) również (gdzie (Y (X)) jest strukturą przesłanek z tymi wystąpieniami (A) zastąpionymi przez (X)). W tym dowodzie zamieniamy (p) w (p / rightarrow q, p / vdash q) na (r / rightarrow p, r) na podstawie ważności (r / rightarrow p, r / vdash p).

1.4 Skurcz

Ostatnim ważnym przykładem jest reguła kontrakcji, która dyktuje sposób ponownego wykorzystania lokali. Skurcz jest kluczowy przy wnioskowaniu (p / rightarrow q) z (p / rightarrow (p / rightarrow q))

(cfrac { matrix { cfrac {p / rightarrow (p / rightarrow q) vdash p / rightarrow (p / rightarrow q)} {p / rightarrow (p / rightarrow q), p / vdash p / rightarrow q } & / cfrac {p / rightarrow q / vdash p / rightarrow q} {p / rightarrow q, p / vdash q}}} { cfrac {(p / rightarrow (p / rightarrow q), p), p / vdash q} { cfrac {p / rightarrow (p / rightarrow q), p / vdash q} {p / rightarrow (p / rightarrow q) vdash p / rightarrow q}}})

Te różne przykłady pokazują, co można zrobić za pomocą reguł strukturalnych. Reguły strukturalne nie tylko wpływają na warunkowanie, ale mają również wpływ na inne łączniki, takie jak koniunkcja i dysjunkcja (jak zobaczymy poniżej) oraz negacja (Dunn 1993; Restall 2000).

1.5 Konstrukcja po prawej stronie kołowrotu

Od czasu wprowadzenia rachunku sekwencyjnego Gentzena (Gentzen 1935) wiedzieliśmy, że różnicę między logiką klasyczną a logiką intuicjonistyczną można również rozumieć jako różnicę reguł strukturalnych. Zamiast rozważać sekwencje postaci (X / vdash A), w których mamy zbiór poprzedników i pojedynczy następnik, dla logiki klasycznej warto rozważyć sekwencje postaci

[X / vdash Y)

gdzie zarówno (X), jak i (Y) są zbiorami instrukcji. Zamierzona interpretacja jest taka, że ze wszystkich (X) wynika, że część (Y). Innymi słowy, nie możemy mieć całego (X) i żadnego z otrzymywania (Y).

Zezwalając na sekwencje z wieloma następnikami i przekładając reguły na ten rozszerzony kontekst, jesteśmy w stanie wyprowadzić klasyczne tautologie. Na przykład wyprowadzenie

(cfrac {p / vdash p} { cfrac {p / vdash q, p} { vdash p / rightarrow q, p}})

pokazuje, że albo (p / rightarrow q) albo (p) musi być utrzymane. Jest to klasycznie poprawne (jeśli (p) zawodzi, (p) jest fałszem, a warunkowe z fałszywymi poprzednikami są prawdziwe), ale nieważne w logice intuicjonistycznej. Różnicę między logiką klasyczną a intuicjonistyczną można zatem formalnie rozumieć jako różnicę między dozwolonymi rodzajami reguł strukturalnych a rodzajami struktur właściwymi do zastosowania w analizie konsekwencji logicznych.

2. Logika w rodzinie

W rodzinie logik podstrukturalnych istnieje wiele różnych systemów formalnych. Te logiki można motywować na różne sposoby.

2.1 Odpowiednia logika

Wiele osób chciało przedstawić relację z logicznej ważności, w której zwraca się uwagę na istotne warunki. Jeśli (X, A / vdash B) jest zachowane, to (X) musi w jakiś sposób odnosić się do (A). Kombinacja lokali jest ograniczona w następujący sposób. Możemy mieć (X / vdash A) bez (X, Y / vdash A). Nowy materiał (Y) może nie mieć znaczenia dla odliczenia. W latach pięćdziesiątych Moh (1950), Church (1951) i Ackermann (1956) wszyscy przedstawili, czym może być „odpowiednia” logika. Pomysły zostały opracowane przez grupę pracowników skupioną wokół Andersona i Belnapa, ich uczniów Dunna i Meyera i wielu innych. Kanoniczne odniesienia dla tego obszaru to dwutomowa książka Andersona, Belnapa i Dunna Entailment (1975 i 1992). Inne wprowadzenia można znaleźć w Read's Relevant Logic, Dunn and Restall's Relevance Logic (2002),oraz Relevant Logic: a filozoficzna interpretacja Mares (2004).

2.2 Świadomość zasobów

To nie jedyny sposób na ograniczenie kombinacji przesłanek. Girard (1987) przedstawił logikę liniową jako model procesów i wykorzystania zasobów. Idea w tym ujęciu dedukcji polega na tym, że zasoby muszą być użyte (tak, aby kombinacja przesłanek spełnia kryterium trafności) i nie rozciągają się w nieskończoność. Lokal nie może być (re) - używany. Więc mógłbym mieć (X, X / vdash A), który mówi, że mogę użyć (X) dwa razy, aby uzyskać (A). Mogę nie mieć (X / vdash A), co oznacza, że mogę użyć (X) raz sam, aby uzyskać (A). Pomocne wprowadzenie do logiki liniowej znajduje się w Wykładach o logice liniowej Troelstry (1992). Istnieją inne formalne logiki, w których reguła skrócenia (od (X, X / vdash A) do (X / vdash A)) jest nieobecna. Najbardziej znana z nich to wielowartościowa logika Łukasiewicza. Istnieje ciągłe zainteresowanie logiką bez tej reguły z powodu paradoksu Curry'ego (Curry 1977, Geach 1995; patrz także Restall 1994 w Inne zasoby internetowe).

3. Zamówienie

Niezależnie od którejkolwiek z tych tradycji, Joachim Lambek rozważał matematyczne modele języka i składni (Lambek 1958, 1961). Chodzi o to, że kombinacja przesłanek odpowiada kompozycji strun lub innych jednostek językowych. Tutaj (X, X) różni się zawartością od (X), ale dodatkowo (X, Y) różni się od Y, X. Liczy się nie tylko liczba wykorzystanych lokali, ale także ich kolejność. Dobre wprowadzenie do rachunku Lambeka (zwanego również gramatyką kategorialną) można znaleźć w książkach Moortgata (1988) i Morrilla (1994).

3. Systemy sprawdzające

Widzieliśmy już fragment jednego ze sposobów przedstawienia logiki podstrukturalnej w kategoriach dowodów. Wykorzystaliśmy warunek rezydencji, który można rozumieć jako obejmujący dwie reguły warunkowe, jedną do wprowadzenia warunkowego

(cfrac {X, A / vdash B} {X / vdash A / rightarrow B})

i inny, aby go wyeliminować.

(cfrac {X / vdash A / rightarrow B / \ / Y / vdash A} {X, Y / vdash B})

Reguły takie jak te stanowią podstawę naturalnego systemu dedukcji, a systemy te są dostępne dla szerokiego zakresu logiki podstrukturalnej. Ale teorię dowodu można zrobić na inne sposoby. Systemy Gentzen działają nie poprzez wprowadzanie i eliminowanie łączników, ale wprowadzanie ich zarówno po lewej, jak i po prawej stronie kołowrotu, co ma logiczną konsekwencję. Zachowujemy zasadę wprowadzenia powyżej, a regułę eliminacji zastępujemy regułą wprowadzającą warunek po lewej stronie:

(cfrac {X / vdash A / \ / Y (B) vdash C} {Y (A / rightarrow B, X) vdash C})

Ta reguła jest bardziej złożona, ale ma taki sam efekt jak reguła eliminacji strzałek: mówi, że jeśli (X) wystarczy dla (A) i jeśli użyjesz (B) (w pewnym kontekście (Y)), aby udowodnić (C), to równie dobrze mógłbyś użyć (A / rightarrow B) razem z (X) (w tym samym kontekście (Y)), aby udowodnić (C), ponieważ (A / rightarrow B) razem z (X) daje (B).

Systemy Gentzen, z ich regułami wprowadzającymi po lewej i prawej stronie, mają bardzo szczególne właściwości, które są przydatne w badaniu logiki. Ponieważ łączniki są zawsze wprowadzane w dowodzie (czytanym od góry do dołu), dowody nigdy nie tracą struktury. Jeśli łącznik nie pojawia się w konkluzji dowodu, w ogóle nie pojawi się w dowodzie, ponieważ łączników nie można wyeliminować.

W niektórych logikach podstrukturalnych, takich jak logika liniowa i rachunek Lambka, oraz we fragmencie odpowiedniej logiki (mathbf {R}) bez dysjunkcji, system Gentzena może być użyty do wykazania, że logika jest rozstrzygalna, w tym można znaleźć algorytm, który określi, czy argument (X / vdash A) jest prawidłowy. Odbywa się to poprzez wyszukiwanie dowodów (X / vdash A) w systemie Gentzen. Ponieważ przesłanki tej konkluzji nie mogą zawierać języka, którego nie ma w tej konkluzji i nie mają większej złożoności (w tych systemach), istnieje tylko skończona liczba możliwych przesłanek. Algorytm może sprawdzić, czy spełniają one reguły systemu i przystąpić do poszukiwania przesłanek dla nich lub zakończyć, jeśli trafimy w aksjomat. W ten sposób zapewniona jest rozstrzygalność niektórych logik podstrukturalnych.

Jednak nie wszystkie logiki podstrukturalne są rozstrzygalne w tym sensie. Najbardziej znane jest to, że odpowiednia logika (mathbf {R}) nie jest rozstrzygalna. Dzieje się tak częściowo dlatego, że jego teoria dowodu jest bardziej złożona niż teoria innych logik podstrukturalnych. (mathbf {R}) różni się od logiki liniowej i rachunku Lambeka prostym traktowaniem koniunkcji i dysjunkcji. W szczególności koniunkcja i dysjunkcja spełniają zasadę dystrybucji:

[p / amp (q / vee r) vdash (p / amp q) vee (p / amp r))

Naturalny dowód dystrybucji w każdym systemie dowodzenia wykorzystuje zarówno osłabienie, jak i skurcz, więc nie jest dostępny w odpowiedniej logice (mathbf {R}), która nie zawiera osłabienia. W rezultacie teorie dowodzące dla (mathbf {R}) albo zawierają rozkład jako regułę pierwotną, albo zawierają drugą formę kombinacji przesłanek (tak zwaną kombinację ekstensjonalną, w przeciwieństwie do intensywnej kombinacji przesłanek, którą widzieliśmy), która zaspokaja osłabienie i skurcze.

W ostatnich latach wykonano wiele pracy nad dowodową teorią logiki klasycznej, zainspirowaną i opartą na badaniach nad logiką podstrukturalną. Logika klasyczna ma pełny zestaw reguł strukturalnych i jest historycznie wcześniejsza niż nowsze systemy logiki podstrukturalnej. Jednak jeśli chodzi o próbę zrozumienia głębokiej struktury klasycznych systemów dowodowych (aw szczególności, gdy dwie derywacje, które różnią się w pewien powierzchowny sposób składni, są naprawdę różnymi sposobami przedstawienia tego, który leży u podstaw 'dowodu'), myślenie o tym logika klasyczna utworzona przez podstawową logikę substrukturalną, w której dodatkowe reguły strukturalne są narzucane jako dodatki. W szczególności,stało się jasne, że tym, co odróżnia klasyczny dowód od jego rodzeństwa, jest obecność strukturalnych reguł kurczenia się i osłabiania w ich całkowitej ogólności (por. np. Bellin i in. 2006 i cytowana tam literatura).

4. Teoria modeli

Podczas gdy odpowiednia logika (mathbf {R}) ma system dowodowy bardziej złożony niż logiki podstrukturalne, takie jak logika liniowa, w których brakuje dystrybucji (ekstensjonalnej) koniunkcji nad dysjunkcją, jej modelowa teoria jest znacznie prostsza. Model Routleya-Meyera dla odpowiedniej logiki (mathbf {R}) składa się ze zbioru punktów (P) z trzystopniową relacją (R) na (P). Warunkowe (A / rightarrow B) jest oceniane w świecie w następujący sposób:

(A / rightarrow B) jest prawdą w (x) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego (y) i (z), gdzie (Rxyz), jeśli (A) jest prawdziwe w (y, B) jest prawdą przy (z).

Argument jest ważny w modelu tylko wtedy, gdy w dowolnym punkcie, w którym przesłanki są prawdziwe, taki jest wniosek. Argument (A / vdash B / rightarrow B) jest nieprawidłowy, ponieważ możemy mieć punkt (x), w którym (A) jest prawdziwe, ale w którym (B / rightarrow B) nie. Możemy mieć (B / rightarrow B) nie będzie prawdziwe w (x) po prostu mając (Rxyz), gdzie (B) jest prawdą w (y), ale nie w (z)).

Relacja trzech miejsc (R) ściśle odzwierciedla zachowanie trybu kombinacji przesłanek w teorii dowodu dla logiki podstrukturalnej. Dla różnych logik różne warunki można umieścić na (R). Na przykład, jeśli kombinacja przesłanek jest przemienna, umieszczamy warunek symetrii na (R) w następujący sposób: (Rxyz) wtedy i tylko wtedy, gdy (Ryxz). Trójskładnikowa semantyka relacyjna daje nam wielką łatwość modelowania zachowania logiki podstrukturalnej. (Zakres zgodności między teorią dowodu i algebrą logiki substrukturalnej a semantyką jest przedstawiony w pracy Dunna na temat teorii Gaggle (1991) i podsumowany we wstępie do logiki podstrukturalnej Restalla (2000)).

Ponadto, jeśli koniunkcja i dysjunkcja spełniają aksjomat dystrybucji wspomniany w poprzedniej sekcji, można je również modelować w prosty sposób: koniunkcja jest prawdziwa w punkcie, w którym oba koniunkcje są prawdziwe w tym punkcie, a dysjunkcja jest prawdziwa w momencie, gdy przynajmniej jeden rozdźwięk jest tam prawdziwy. W przypadku logiki, takiej jak logika liniowa, bez aksjomatu rozkładu, semantyka musi być bardziej złożona, z inną klauzulą rozłączności wymaganą do unieważnienia wnioskowania o dystrybucji.

Jedną rzeczą jest używanie semantyki jako formalnego narzędzia do modelowania logiki. Innym jest użycie semantyki jako narzędzia interpretacyjnego do zastosowania logiki. Literatura dotycząca logiki podstrukturalnej dostarcza nam wielu różnych sposobów zastosowania trójskładnikowej semantyki relacyjnej do opisu logicznej struktury pewnych zjawisk, w których nie mają zastosowania tradycyjne reguły strukturalne.

W przypadku logiki, takiej jak rachunek Lambeka, interpretacja semantyki jest prosta. Możemy przyjąć punkty za pozycje lingwistyczne, a relację trójskładnikową za relację konkatenacji ((Rxyz) wtedy i tylko wtedy, gdy (x) połączone z (y) skutkuje (z)). W tych modelach strukturalne reguły kurczenia się, osłabiania i permutacji zawodzą, ale kombinacja założeń jest asocjacyjna.

Współczesna literatura dotycząca klasyfikacji lingwistycznej rozszerza podstawowy rachunek Lambka o bogatsze formy kombinacji, w których można modelować więcej cech składniowych (por. Moortgat 1995).

Innym zastosowaniem tych modeli jest traktowanie semantyki stosowania funkcji. Możemy myśleć o punktach w strukturze modelu jako o funkcjach i danych i utrzymywać, że (Rxyz) wtedy i tylko wtedy, gdy (x) (uważane za funkcję) zastosowane do (y) (uważane za dane) to (z). Tradycyjne ujęcia funkcji nie zachęcają do tego podwójnego zastosowania, ponieważ przyjmuje się, że funkcje są `` wyższe '' niż ich wejścia lub wyjścia (w tradycyjnym modelu funkcji z teorii zbiorów funkcja (jest) zbiorem jej danych wejściowych -output, więc nigdy nie może przyjąć siebie jako danych wejściowych, ponieważ zbiory nie mogą zawierać siebie jako członków). Jednak systemy funkcji modelowane np. Przez rachunek różniczkowy (lambda) - bez typu, pozwalają na samodzielną aplikację. Biorąc pod uwagę ten odczyt punktów w modelu,punkt jest typu (A / rightarrow B) tylko wtedy, gdy przyjmuje dane wejściowe typu (A), przyjmuje dane wyjściowe typu (B). Reguły wnioskowania tego systemu są zatem zasadami rządzącymi typami funkcji: sekwencją

[(A / rightarrow B) amp (A / rightarrow C) vdash A / rightarrow (B / amp C))

mówi nam, że ilekroć funkcja zabiera (A) s do (B) s, a (A) s do (C) s, wtedy (A) s do rzeczy, które są jednocześnie (B) i (C).

Ten przykład daje nam model, w którym odpowiednia logika podstrukturalna jest wyjątkowo słaba. Żadne ze zwykłych reguł strukturalnych (nawet asocjatywność) nie są spełnione w tym modelu. Ten przykład trójskładnikowego modelu relacyjnego omówiono w (Restall 2000, Rozdział 11).

Dla odpowiedniej logiki (mathbf {R}) i jej interpretacji warunków warunkowych języka naturalnego, należy włożyć więcej pracy w identyfikację, jakie cechy rzeczywistości są modelami semantyki formalnej. Jest to kwestia pewnych kontrowersji, ponieważ relacja trójskładnikowa jest nie tylko nieznana tym, których ekspozycja dotyczy przede wszystkim logiki modalnej z prostszą binarną relacją dostępności między możliwymi światami, ale także ze względu na nowość traktowania negacji w modelach dla odpowiednie logiki. Nie powinniśmy tutaj szczegółowo omawiać tej debaty. Część tej pracy jest opisana w artykule na temat odpowiedniej logiki w tej encyklopedii, a omówienie odpowiedniej logiki w tym świetle w całej książce to Relevant Logic: a filozoficzna interpretacja (2004).

5. Kwantyfikatory

Traktowanie kwantyfikatorów w modelach logiki podstrukturalnej okazało się dość trudne, ale na początku XXI wieku poczyniono postępy. Trudność pojawiła się w czymś, co wydawało się być niedopasowaniem między teorią dowodu a teorią modeli dla kwantyfikatorów. Odpowiednie aksjomaty lub reguły kwantyfikatorów są stosunkowo proste. Aksjomat eliminacji uniwersalnego kwantyfikatora (forall xA / rightarrow A [t / x]) stwierdza, że instancja wynika (w odpowiednim sensie) z jej uniwersalnego uogólnienia. Reguła wprowadzenia (cfrac { vdash A / rightarrow B} { vdash A / rightarrow / forall xB}) (gdzie zastrzeżenie, że (x) nie jest wolne w (A) trzyma) mówi nam że jeśli możemy udowodnić przypadek uogólnienia (forall xB), z logiki, z jakiegoś założenia, które nie daje żadnego szczególnego twierdzenia o tym wystąpieniu,możemy również dowieść uogólnienia na podstawie tego założenia. Ten aksjomat i reguła wydaje się dobrze pasować do każdej interpretacji kwantyfikatorów pierwszego rzędu w szeregu logik podstrukturalnych, od najsłabszych systemów do silnych systemów, takich jak (mathbf {R}).

Chociaż teoria dowodu dla kwantyfikatorów wydaje się dobrze funkcjonować, uogólnienie na teorię modeli dla logiki podstrukturalnej okazało się trudne. Richard Routley (1980) wykazał, że dodanie reguł dla kwantyfikatorów do bardzo słabego systemu logiki podstrukturalnej (mathbf {B}) pasuje do trójskładnikowej semantyki relacyjnej, w której kwantyfikatory są interpretowane jako obejmujące dziedzinę obiektów, stała we wszystkich punktach modelu. Fakt ten nie dotyczy silniejszych logik, w szczególności odpowiedniej logiki (mathbf {R}). Kit Fine (1989) wykazał, że istnieje złożony wzór, który zachowuje się we wszystkich modelach ramek w domenie stałej dla (mathbf {R}), ale którego nie można wyprowadzić z aksjomatów. Szczegóły argumentu Fine nie są ważne dla naszych celów,ale podstawowa przyczyna rozbieżności jest stosunkowo prosta do wyjaśnienia. W semantyce domeny stałej uniwersalne uogólnienie (forall x Fx) ma dokładnie takie same warunki prawdziwości - w każdym punkcie modelu - jak rodzina instancji (Fx_1), (Fx_2), (Fx_3, / ldots), (Fx_ / lambda, / ldots), gdzie obiekty domen są wyliczane według wartości terminów (x_i). Zatem wyrażone ilościowo wyrażenie (forall x Fx) jest semantycznie nie do odróżnienia od (prawdopodobnie nieskończonej) koniunkcji (Fx_1 / land Fx_2 / land Fx_3 / land / cdots). Jednak żadna koniunkcja instancji (nawet nieskończona) nie może być istotnie równoważna z twierdzeniem ujętym w ilościach (forall x Fx),ponieważ przypadki mogłyby być prawdziwe w okolicznościach (lub mogłyby być urzeczywistnione przez okoliczność) bez potwierdzania również uogólnienia - gdyby było więcej rzeczy niż te. Tak więc modele domeny stałej wydają się źle dostosowane do projektu odpowiedniej teorii kwantyfikacji.

Niedawna praca Goldblatta i Maresa (2006) pokazała, że istnieje alternatywa, która okazuje się elegancka i stosunkowo prosta. Kluczową ideą jest niewielkie zmodyfikowanie trójskładnikowej semantyki relacyjnej, tak aby nie każdy zbiór punktów liczył się jako „zdanie”. Oznacza to, że nie każdy zestaw punktów jest możliwą wartością semantyczną zdania. Tak więc, chociaż istnieje zbiór światów określony przez nieskończoną koniunkcję instancji (forall xFx): (Fx_1 / land Fx_2 / land Fx_3 / land / cdots), ten precyzyjny zbiór światów może nie być liczony jako propozycja. (Być może nie ma sposobu, aby wyodrębnić te konkretne obiekty w taki sposób, aby zebrać je razem w jednym sądzie.) To, co możemy powiedzieć, to uogólnienie (forall xFx) i jest to zdanie, które pociąga za sobą każdą z instancji (to jest aksjomat eliminacji uniwersalnego kwantyfikatora), a jeśli zdanie pociąga za sobą każdą instancję, pociąga za sobą uogólnienie (że jest regułą wprowadzenia), więc zdanie wyrażone przez (forall xFx) jest semantycznie najsłabszym zdaniem, które pociąga za sobą każdą instancję Fa. To jest dokładnie warunek modelowania dla uniwersalnego kwantyfikatora w modelach Goldblatt & Mares i dokładnie pasuje do aksjomatów. To jest dokładnie warunek modelowania dla uniwersalnego kwantyfikatora w modelach Goldblatt & Mares i dokładnie pasuje do aksjomatów. To jest dokładnie warunek modelowania dla uniwersalnego kwantyfikatora w modelach Goldblatt & Mares i dokładnie pasuje do aksjomatów.

Bibliografia

Obszerna bibliografia dotycząca odpowiedniej logiki została zebrana przez Roberta Wolffa i można ją znaleźć w Anderson, Belnap i Dunn 1992. Bibliografia w Restall 2000 (patrz Inne zasoby internetowe) nie jest tak obszerna jak publikacja Wolffa, ale zawiera materiały aż do dzień dzisiejszy.

Książki o logice substrukturalnej i wprowadzenie do pola

  • Anderson, AR i Belnap, ND, 1975, Entailment: The Logic of Relevance and Necessity, Princeton, Princeton University Press, tom I.
  • Anderson, AR, Belnap, ND Jr. i Dunn, JM, 1992, Entailment, Tom II, Princeton, Princeton University Press

    [Ta książka i poprzednia podsumowują prace w odpowiedniej logice w tradycji Andersona-Belnapa. Niektóre rozdziały w tych książkach mają innych autorów, takich jak Robert K. Meyer i Alasdair Urquhart.]

  • Dunn, JM and Restall, G., 2000, „Relevance Logic” w: F. Guenthner i D. Gabbay (red.), Handbook of Philosophical Logic, drugie wydanie; Tom 6, Kluwer, str. 1–136.

    [Podsumowanie pracy w odpowiedniej logice w tradycji Andersona-Belnapa.]

  • Galatos, N., P. Jipsen, T. Kowalski i H. Ono, 2007, Residuated Lattices: An Algebraic Glimpse at Substructural Logics (Studies in Logic: Volume 151), Amsterdam: Elsevier, 2007.
  • Mares, Edwin D., 2004, Relevant Logic: a filozoficzna interpretacja Cambridge University Press.

    [Wprowadzenie do odpowiedniej logiki, proponujące teoretyczne rozumienie trójskładnikowej semantyki relacyjnej.]

  • Moortgat, Michael, 1988, Badania kategorialne: logiczne aspekty Lambek Calculus Foris, Dordrecht.

    [Kolejne wprowadzenie do rachunku Lambka.]

  • Morrill, Glyn, 1994, Gramatyka logiczna typu: kategorialna logika znaków Kluwer, Dordrecht

    [Wprowadzenie do rachunku Lambeka.]

  • Paoli, Francesco, 2002, Substructural Logics: A Primer Kluwer, Dordrecht

    [Ogólne wprowadzenie do logiki substrukturalnej.]

  • Przeczytaj, S., 1988, Relevant Logic, Oxford: Blackwell.

    [Wprowadzenie do odpowiedniej logiki motywowanej rozważaniami w teorii znaczenia. Opracowuje teorię dowodu w stylu Lemmona dla odpowiedniej logiki (mathbf {R}).]

  • Restall, Greg, 2000, Wprowadzenie do logiki substrukturalnej, Routledge. (online précis)

    [Ogólne wprowadzenie do dziedziny logiki podstrukturalnej.]

  • Routley, R., Meyer, RK, Plumwood, V. i Brady, R., 1983, Relevant Logics and their Rivals, Volume I, Atascardero, CA: Ridgeview.

    [Kolejne charakterystyczne ujęcie odpowiedniej logiki, tym razem z australijskiej filozoficznej perspektywy.]

  • Schroeder-Heister, Peter i Došen, Kosta, (red.), 1993, Substructural Logics, Oxford University Press.

    [Zredagowany zbiór esejów na różne tematy w logikach substrukturalnych, z różnych tradycji w tej dziedzinie.]

  • Troestra, Anne, 1992, Wykłady o logice liniowej, publikacje CSLI

    [Szybkie, łatwe do odczytania wprowadzenie do logiki liniowej Girarda.]

Inne cytowane prace

  • Ackermann, Wilhelm, 1956, „Begründung Einer Strengen Implikation”, Journal of Symbolic Logic, 21: 113–128.
  • Avron, Arnon, 1988, „The Semantics and Proof Theory of Linear Logic”, Theoretical Computer Science, 57 (2–3): 161–184.
  • Gianluigi Bellin, Martin Hyland, Edmund Robinson i Christian Urban, 2006, „Categorical Proof Theory of Classical Propositional Calculus”, Theoretical Computer Science, 364: 146–165.
  • Church, Alonzo, 1951, „The Weak Theory of Implication”, w: Kontrolliertes Denken: Untersuchungen zum Logikkalkül und zur Logik der Einzelwissenschaften, A. Menne, A. Wilhelmy i H. Angsil (red.), Kommissions-Verlag Karl Alber, 22 –37.
  • Curry, Haskell B., 1977, Foundations of Mathematical Logic, New York: Dover (pierwotnie opublikowane w 1963).
  • Dunn, JM, 1991, „Gaggle Theory: An Abstraction of Galois Connections and Residuation with Applications to Negation and Various Logical Operations”, w: Logics in AI, Proceedings European Workshop JELIA 1990 (Lecture notes in Computer Science, tom 476), Berlin: Springer-Verlag.
  • Dunn, JM, 1993, „Star and Perp”, Philosophical Perspectives, 7: 331–357.
  • Fine, K., 1989, „Incompleteness for Quantified Relevance Logics”, w: J. Norman i R. Sylvan (red.), Directions in Relevant Logic, Dordrecht: Kluwer, s. 205–225.
  • Geach, PT, 1955, „On Insolubilia”, Analysis, 15: 71–72.
  • Gentzen, Gerhard, 1935, „Untersuchungen über das logische Schließen”, Mathematische Zeitschrift, 39: 176–210 i 405–431. [Tłumaczenie na język angielski znajduje się w Gentzen 1969.]
  • Gentzen, Gerhard, 1969, The Collected Papers of Gerhard Gentzen, ME Szabo (red.), Amsterdam: North Holland, 1969.
  • Goldblatt, R. i E. Mares, 2006, „An Alternative Semantics for Quantified Relevant Logic”, Journal of Symbolic Logic, 71 (1): 163–187.
  • Girard, Jean-Yves, 1987, „Linear Logic”, Theoretical Computer Science, 50: 1–101.
  • Lambek, Joachim, 1958, „The Mathematics of Sentence Structure”, American Mathematical Monthly, 65: 154–170.
  • Lambek, Joachim, 1961, „On the Calculus of Syntactic Types”, w: Structure of Language and its Mathematical Aspects (Proceedings of Symposia in Applied Mathematics, XII), R. Jakobson (red.), Providence, RI: American Mathematical Society.
  • Moh Shaw-Kwei, 1950, „The Deduction Theorems and Two New Logical Systems”, Methodos, 2: 56–75.
  • Moortgat, Michael, 1995, „Multimodal Linguistic Inference”, Logic Journal of the IGPL, 3: 371–401.
  • Ono, Hiroakira, 2003, „Substructural Logics and Residuated Lattices - an Introduction”, w: V. Hendricks i J. Malinowski (red.), Trends in Logic: 50 Years of Studia Logica, Dordrecht: Kluwer, 2003, s. 193– 228.
  • Routley, R., 1980. „Problems and Solutions in Semantics in Quantified Relevant Logics”, w: A. Arruda, R. Chuaqui i NCA Da Costa (red.), Mathematical Logic in Latin America, Amsterdam: North Holland, 1980, s. 305–340.

Narzędzia akademickie

człowiek ikona
człowiek ikona
Jak cytować ten wpis.
człowiek ikona
człowiek ikona
Zobacz wersję PDF tego wpisu w Friends of the SEP Society.
ikona Inpho
ikona Inpho
Poszukaj tego tematu wpisu w Internet Philosophy Ontology Project (InPhO).
ikona dokumentów phil
ikona dokumentów phil
Ulepszona bibliografia tego wpisu na PhilPapers, z linkami do jego bazy danych.

Inne zasoby internetowe

  • Restall, Greg, 1994, Praca doktorska On Logics Without Contraction, The University of Queensland.
  • Slaney, John, 1995, MaGIC: Matrix Generator for Implication Connectives, pakiet oprogramowania do generowania skończonych modeli logiki podstrukturalnej.

Zalecane: