Paradoks Russella

Spisu treści:

Paradoks Russella
Paradoks Russella

Wideo: Paradoks Russella

Wideo: Paradoks Russella
Wideo: O prawdziwych paradoksach / Dr Piotr Chrząstowski-Wachtel 2024, Marzec
Anonim

Nawigacja wejścia

  • Treść wpisu
  • Bibliografia
  • Narzędzia akademickie
  • Podgląd PDF znajomych
  • Informacje o autorze i cytacie
  • Powrót do góry

Paradoks Russella

Po raz pierwszy opublikowano pt. 8 grudnia 1995; rewizja merytoryczna nie 9 października 2016 r

Paradoks Russella jest najsłynniejszym z paradoksów logicznych lub paradoksów teorii mnogości. Znany również jako paradoks Russella-Zermelo, paradoks ten pojawia się w ramach naiwnej teorii mnogości poprzez rozważanie zbioru wszystkich zbiorów, które nie są członkami siebie. Taki zbiór wydaje się być członkiem samego siebie wtedy i tylko wtedy, gdy nie jest członkiem samego siebie. Stąd paradoks.

Niektóre zestawy, takie jak zestaw wszystkich filiżanek, nie są członkami siebie. Inne zestawy, takie jak zestaw wszystkich filiżanek, które nie są filiżankami, są członkami siebie. Zbiór wszystkich zbiorów, które nie są członkami siebie, nazwij „R”. Jeśli R jest członkiem samego siebie, to z definicji nie może być członkiem samego siebie. Podobnie, jeśli R nie jest członkiem samego siebie, to z definicji musi być członkiem samego siebie.

Chociaż zauważona również przez Ernsta Zermelo, sprzeczność ta nie była uważana za istotną, dopóki nie została odkryta niezależnie przez Bertranda Russella wiosną 1901 roku. Od tego czasu paradoks skłonił do wielu prac nad logiką, teorią mnogości i filozofią oraz podstawy matematyki.

  • 1. Paradoks
  • 2. Historia paradoksu
  • 3. Wczesne odpowiedzi na paradoks
  • 4. Paradoks Russella we współczesnej logice
  • Bibliografia
  • Narzędzia akademickie
  • Inne zasoby internetowe
  • Powiązane wpisy

1. Paradoks

Centralnym elementem każdej teorii zbiorów jest stwierdzenie warunków, w jakich tworzone są zbiory. Oprócz prostego wyszczególnienia elementów zbioru, początkowo zakładano, że do określenia zbioru można użyć dowolnego dobrze zdefiniowanego warunku (lub dokładnie określonej właściwości). Na przykład, jeśli T jest własnością bycia filiżanką, to zbiór S wszystkich filiżanek można zdefiniować jako S = {x: T (x)}, zbiór wszystkich indywiduów, x, takich, że x ma właściwość bycia T. Do określenia zbioru można użyć nawet sprzecznej właściwości. Na przykład, właściwość bycia jednocześnie T i not-T określiłaby pusty zbiór, który nie ma elementów członkowskich.

Dokładniej, naiwna teoria mnogości zakłada tak zwany naiwny lub nieograniczony Aksjomat Zrozumienia, aksjomat, że dla każdej formuły φ (x) zawierającej x jako zmienną wolną, będzie istniał zbiór {x: φ (x)}, którego członkami są dokładnie te obiekty, które spełniają φ (x). Zatem, jeśli formuła φ (x) oznacza „x jest liczbą pierwszą”, to {x: φ (x)} będzie zbiorem liczb pierwszych. Jeśli φ (x) oznacza „~ (x = x)”, to {x: φ (x)} będzie zbiorem pustym.

Ale z założenia tego aksjomatu wynika sprzeczność Russella. Na przykład, jeśli φ (x) oznacza x ∈ x i niech R = {x: ~ φ (x)}, to R jest zbiorem, którego członkami są dokładnie te obiekty, które same nie są członkami.

Czy R jest członkiem samego siebie? Jeśli tak, to musi spełniać warunek, że nie jest członkiem samego siebie, a więc tak nie jest. Jeśli tak nie jest, to nie może spełniać warunku, że nie jest członkiem samego siebie, a więc musi być swoim członkiem. Ponieważ zgodnie z logiką klasyczną musi istnieć jeden lub drugi przypadek - albo R jest członkiem samego siebie, albo nie - wynika z tego, że teoria zakłada sprzeczność.

Jak mówi nam Russell, po zastosowaniu tego samego rodzaju rozumowania, które znajdujemy w przekątnej argumentacji Cantora do „domniemanej klasy wszystkich możliwych do wyobrażenia obiektów”, doprowadzono go do sprzeczności:

Klasa wszechstronna, którą rozważamy, która ma objąć wszystko, musi przyjąć siebie jako jednego ze swoich członków. Innymi słowy, jeśli istnieje coś takiego jak „wszystko”, to „wszystko” jest czymś i należy do klasy „wszystko”. Ale zwykle klasa nie jest członkiem samej siebie. Na przykład ludzkość nie jest mężczyzną. Utwórz teraz zbiór wszystkich klas, które nie są członkami siebie. To jest klasa: czy jest członkiem samej siebie, czy nie? Jeśli tak, jest to jedna z tych klas, które nie są członkami siebie, tj. Nie jest członkiem samej siebie. Jeśli nie, to nie jest jedną z tych klas, które nie są członkami siebie, tj. Jest członkiem samej siebie. Tak więc z dwóch hipotez - że jest i nie jest członkiem samej siebie - każda z nich zakłada swoją sprzeczność. To jest sprzeczność. (1919, 136)

Standardowe odpowiedzi na paradoks próbują w jakiś sposób ograniczyć warunki, w jakich tworzą się zbiory. Celem jest zazwyczaj zarówno wyeliminowanie R (i podobnych sprzecznych zbiorów), jak i jednocześnie zachowanie wszystkich innych zbiorów potrzebnych w matematyce. Często dokonuje się tego poprzez zastąpienie nieograniczonego Aksjomatu Rozumienia bardziej restrykcyjnym Aksjomatem Separacji, mianowicie aksjomatem, który przy danym (spójnym) zbiorze S i dowolnej formule φ (x) z x jest wolny, będzie zbiór {x ∈ S: φ (x)}, których członkami są dokładnie ci członkowie S, którzy spełniają φ (x). Jeśli teraz (x) oznacza wzór x ∉ x, okaże się, że odpowiadający mu zbiór {x ∈ S: x ∉ x} nie będzie sprzeczny, ponieważ składa się tylko z tych elementów znalezionych w S, które nie są członków siebie. Dlatego zestaw nie obejmuje samego siebie.

Szereg powiązanych paradoksów omówiono w drugim rozdziale Wstępu do Whiteheada i Russella (1910, wyd. 2, 60-65), a także we wpisie dotyczącym paradoksów i współczesnej logiki w tej encyklopedii.

2. Historia paradoksu

Wydaje się, że Russell odkrył swój paradoks późną wiosną 1901 roku, pracując nad Principles of Mathematics (1903). Nie wiadomo dokładnie, kiedy doszło do odkrycia. Russell początkowo stwierdza, że z paradoksem zetknął się „w czerwcu 1901 roku” (1944, 13). Później podaje, że do odkrycia doszło „wiosną 1901 r.” (1959, 75). Jeszcze później donosi, że z paradoksem zetknął się nie w czerwcu, ale w maju tego roku (1969, 221). Cesare Burali-Forti, asystent Giuseppe Peano, odkrył podobną antynomię w 1897 roku, kiedy zauważył, że skoro zbiór liczb porządkowych jest dobrze uporządkowany, to także musi mieć liczbę porządkową. Jednak ta liczba porządkowa musi być zarówno elementem zbioru wszystkich liczb porządkowych, jak i jeszcze większa niż każdy taki element.

W przeciwieństwie do paradoksu Burali-Forti, paradoks Russella nie dotyczy ani liczby porządkowej, ani kardynałów, opierając się zamiast tego tylko na prymitywnych pojęciach zbioru i włączenia do zbioru. Zermelo zauważył podobną sprzeczność gdzieś między 1897 a 1902 rokiem, prawdopodobnie wyprzedzając Russella o kilka lat (Ebbinghaus i Peckhaus 2007, 43–48; Tappenden 2013, 336), chociaż Kanamori dochodzi do wniosku, że odkrycie mogło nastąpić dopiero w 1902 roku (Kanamori 2009 411). W każdym razie uważano, że paradoks ma niewielkie znaczenie, dopóki nie zdano sobie sprawy, jak szkodliwy był on dla podstaw matematyki Gottloba Frege'a.

Russell napisał do Frege'a z wiadomością o swoim paradoksie 16 czerwca 1902 r. (Odpowiednią korespondencję można znaleźć w: Russell (1902) i Frege (1902) w van Heijenoort (1967)). Paradoks miał znaczenie dla logicznej pracy Frege'a, ponieważ: w efekcie pokazało, że aksjomaty, których użył Frege do sformalizowania swojej logiki, były niespójne. W szczególności, Aksjomat V Frege'a wymaga, aby wyrażenie takie jak φ (x) było uważane zarówno za funkcję argumentu x, jak i funkcję argumentu φ. (Dokładniej, prawo Fregego stwierdza, że przebieg wartości pojęcia f jest identyczny z przebiegiem wartości pojęcia g wtedy i tylko wtedy, gdy f i g zgadzają się co do wartości każdego argumentu, tj. tylko wtedy, gdy dla każdego obiektu x, f (x) = g (x). Więcej dyskusji można znaleźć w sekcji 2.4.1 wpisu o Gottlob Frege w tej encyklopedii).to właśnie ta dwuznaczność pozwoliła Russellowi skonstruować R w taki sposób, że może on być i nie być członkiem samego siebie.

List Russella dotarł w chwili, gdy ukazał się drugi tom Grundgesetze der Arithmetik Frege'a (Podstawowe prawa arytmetyki, 1893, 1903). Natychmiast doceniając trudności, jakie stwarzał paradoks, Frege dodał do Grundgesetze pospiesznie skomponowany dodatek omawiający odkrycie Russella. W dodatku Frege zauważa, że konsekwencje paradoksu Russella nie są od razu jasne. Na przykład: „Czy zawsze można mówić o rozszerzeniu pojęcia, klasy? A jeśli nie, jak rozpoznajemy wyjątkowe przypadki? Czy zawsze możemy wywnioskować z rozszerzenia zbieżności jednego pojęcia z rozszerzeniem drugiego, że każdy przedmiot objęty pierwszym pojęciem również podlega drugiemu? Oto pytania”, zauważa Frege,„ postawione w komunikacie pana Russella”(1903, 127). Z powodu tych zmartwieńFrege ostatecznie poczuł się zmuszony do porzucenia wielu swoich poglądów na temat logiki i matematyki.

Mimo to, jak podkreśla Russell, Frege przyjął wiadomość o paradoksie z niezwykłym hartem ducha:

Kiedy myślę o aktach prawości i łaski, zdaję sobie sprawę, że w mojej wiedzy nie ma nic, co można by porównać z oddaniem prawdzie Frege. Całe jego dzieło życia było bliskie ukończenia, wiele jego prac zostało zignorowanych na korzyść ludzi nieskończenie mniej zdolnych, jego drugi tom miał zostać opublikowany, a gdy odkrył, że jego fundamentalne założenie jest błędne, odpowiedział: intelektualna przyjemność wyraźnie ukrywająca wszelkie uczucia osobistego rozczarowania. Było to niemal nadludzkie i wymowne wskazanie tego, do czego zdolni są ludzie, jeśli ich poświęceniem jest twórcza praca i wiedza, a nie okrutniejsze wysiłki, by dominować i być znanym. (Cyt. Za van Heijenoorta (1967), 127)

Oczywiście Russell także martwił się konsekwencjami sprzeczności. Dowiedziawszy się, że Frege zgadza się z nim co do znaczenia wyniku, natychmiast zaczął pisać dodatek do swoich własnych Zasad matematyki, które wkrótce zostaną wydane. Dodatek zatytułowany „Dodatek B: Doktryna typów” przedstawia pierwszą próbę Russella polegającą na dostarczeniu opartej na zasadach metody uniknięcia tego, co wkrótce stało się znane jako „paradoks Russella”.

3. Wczesne odpowiedzi na paradoks

Znaczenie paradoksu Russella można dostrzec, gdy uświadomimy sobie, że używając logiki klasycznej, wszystkie zdania wynikają ze sprzeczności. Na przykład, zakładając zarówno P, jak i ~ P, dowolne twierdzenie Q można udowodnić w następujący sposób: z P otrzymujemy P ∨ Q na podstawie reguły dodawania; następnie z P ∨ Q i ~ P otrzymujemy Q zgodnie z zasadą Dysjunctive Syllogism. Ponieważ teoria mnogości leży u podstaw wszystkich gałęzi matematyki, wielu ludzi zaczęło się martwić, że niespójność teorii mnogości oznaczałaby, że żaden dowód matematyczny nie byłby całkowicie godny zaufania. Tylko eliminując paradoks Russella, matematyka jako całość mogła odzyskać spójność.

Paradoks Russella ostatecznie wypływa z pomysłu, że do określenia zbioru można użyć dowolnego warunku lub właściwości. Na przykład właściwość polegająca na tym, że jest podzielna równo tylko przez siebie i przez liczbę jeden, odróżnia zbiór liczb pierwszych od zbioru liczb całkowitych. Własność posiadania gruczołów mlecznych odróżnia zbiór ssaków od gadów, ptaków i innych organizmów żywych. Właściwość bycia jednocześnie kwadratowym, a nie kwadratowym (lub jakakolwiek inna kombinacja sprzecznych właściwości) określa pusty zbiór i tak dalej.

Jednym z wczesnych sceptyków odnoszących się do aksjomatu nieograniczonego pojmowania (lub abstrakcji) był twórca nowoczesnej teorii mnogości, Georg Cantor. Jeszcze przed odkryciem Russella Cantor odrzucił nieograniczone Zrozumienie na rzecz tego, co w istocie było rozróżnieniem między zbiorami i klasami, uznając, że niektóre właściwości (takie jak właściwość bycia porządkową) tworzą zbiory, które były po prostu zbyt duże, aby mogły być zestawy i że jakiekolwiek przeciwne założenie prowadziłoby do niespójności. (Szczegóły można znaleźć w Moore (1982), Hallett (1984) i Menzel (1984).)

Własna odpowiedź Russella na ten paradoks nadeszła wraz z jego trafnie nazwaną teorią typów. Wierząc, że samo zastosowanie leży u podstaw paradoksu, podstawową ideą Russella było to, że możemy uniknąć przywiązania do R (zbioru wszystkich zbiorów, które nie są członkami siebie samych), porządkując wszystkie zdania (a dokładniej wszystkie funkcje zdaniowe), funkcje, które nadają zdaniom jako wartości) w hierarchię. Możliwe jest wtedy odniesienie do wszystkich obiektów, dla których dany warunek (lub predykat) jest spełniony, tylko wtedy, gdy wszystkie są na tym samym poziomie lub są tego samego „typu”.

To rozwiązanie paradoksu Russella jest w dużej mierze motywowane przyjęciem zasady tak zwanego błędnego koła. W efekcie zasada stanowi, że żadna funkcja zdaniowa nie może być zdefiniowana przed określeniem zakresu jej zastosowania. Innymi słowy, zanim funkcja będzie mogła zostać zdefiniowana, należy najpierw określić dokładnie te obiekty, do których funkcja będzie się odnosić (dziedzinę funkcji). Na przykład przed zdefiniowaniem predykatu „jest liczbą pierwszą” należy najpierw zdefiniować zbiór obiektów, które mogą spełnić ten predykat, a mianowicie zbiór N liczb naturalnych.

Jak wyjaśniają Whitehead i Russell,

Analiza paradoksów, których należy unikać, pokazuje, że wszystkie one wynikają z pewnego rodzaju błędnego koła. Omawiane błędne koła wynikają z przypuszczenia, że zbiór obiektów może zawierać elementy, które można zdefiniować jedynie za pomocą zbioru jako całości. Na przykład zbiór zdań będzie zawierał zdanie stwierdzające, że „wszystkie zdania są albo prawdziwe, albo fałszywe”. Wydawałoby się jednak, że takie stwierdzenie nie mogłoby być uprawnione, gdyby „wszystkie zdania” nie odnosiły się do jakiegoś już określonego zbioru, czego nie może uczynić, jeśli nowe zdania są tworzone przez stwierdzenia o „wszystkich zdaniach”. Musimy zatem powiedzieć, że stwierdzenia o „wszystkich zdaniach” są bez znaczenia. … Zasadę, która pozwala nam uniknąć nieuzasadnionych całości, można sformułować następująco:„Cokolwiek dotyczy całej kolekcji, nie może należeć do kolekcji”; lub odwrotnie: „Jeśli pewna kolekcja miałaby sumę, miałaby członków, których można zdefiniować tylko w kategoriach tej sumy, wówczas wspomniana kolekcja nie ma sumy”. Nazywamy to „zasadą błędnego koła”, ponieważ pozwala nam ona uniknąć błędnych kręgów, jakie towarzyszą zakładaniu nielegalnych całości. (1910, 2 wyd. 37)

Jeśli Whitehead i Russell mają rację, wynika z tego, że zakres zastosowania funkcji nigdy nie będzie w stanie objąć żadnego obiektu z góry założonego przez samą funkcję. W rezultacie funkcje zdaniowe (wraz z odpowiadającymi im zdaniami) zostaną ułożone w hierarchii, jaką proponuje Russell.

Chociaż Russell po raz pierwszy przedstawił swoją teorię typów w swoich Zasadach matematyki z 1903 r., Natychmiast zauważył, że trzeba wykonać więcej pracy, ponieważ jego początkowa relacja wydawała się rozwiązywać niektóre, ale nie wszystkie, paradoksy. Wśród rozważanych przez niego alternatyw znalazła się tak zwana teoria substytucyjna (Galaugher 2013). To z kolei doprowadziło do bardziej dojrzałego wyrażenia teorii typów pięć lat później w artykule Russella z 1908 roku „Mathematical Logic as Based on theory of Types” oraz w monumentalnej pracy, której współautorem był Alfred North Whitehead, Principia Mathematica (1910, 1912, 1913). Zatem teoria typów Russella pojawia się w dwóch wersjach: „prostej teorii” z 1903 roku i „rozgałęzionej teorii” z 1908 roku. Obie wersje zostały skrytykowane za to, że są zbyt ad hoc, aby skutecznie wyeliminować paradoks.

W odpowiedzi na paradoks Russella, David Hilbert rozszerzył także swój program budowy spójnych, aksjomatycznych podstaw matematyki, tak aby obejmował aksjomatyczne podstawy logiki i teorii mnogości (Peckhaus 2004). U podstaw tego formalistycznego podejścia leżała idea dopuszczenia stosowania tylko skończonych, dobrze zdefiniowanych i konstruowalnych obiektów, wraz z regułami wnioskowania uznanymi za absolutnie pewne.

Wreszcie Luitzen Brouwer rozwinął intuicjonizm, którego podstawową ideą było twierdzenie o istnieniu przedmiotu matematycznego, jeśli nie można zdefiniować procedury jego konstruowania.

Wszystkie te odpowiedzi pomogły skupić uwagę na związkach między logiką, językiem i matematyką. Pomogli także logikom rozwinąć wyraźną świadomość natury systemów formalnych oraz rodzajów wyników metalogicznych i metamatematycznych, które okazały się być kluczowe dla badań podstaw logiki i matematyki w ciągu ostatnich stu lat.

4. Paradoks Russella we współczesnej logice

Paradoks Russella jest czasami postrzegany jako negatywny rozwój wydarzeń - jako obalanie Grundgesetze Frege'a i jako jeden z pierwotnych grzechów konceptualnych prowadzących do naszego wygnania z raju Cantora. WV Quine opisuje ten paradoks jako „antynomię”, która „kryje w sobie niespodziankę, której nie może pomieścić nic innego jak odrzucenie naszego konceptualnego dziedzictwa” (1966, 11). Quine odnosi się do wspomnianej wcześniej zasady Naiwnego Zrozumienia. W symbolach zasada mówi, że

(NC) ∃ A ∀ x (x ∈ A ≡ φ),

gdzie A nie jest wolny w formule φ. To mówi: „Istnieje zbiór A taki, że dla dowolnego obiektu x, x jest elementem A wtedy i tylko wtedy, gdy warunek wyrażony przez φ zachodzi”. Paradoks Russella powstaje, przyjmując jako wzór: x ∉ x.

Pomimo komentarza Quine'a, można spojrzeć na paradoks Russella w bardziej pozytywnym świetle. Po pierwsze, chociaż sprawa pozostaje kontrowersyjna, późniejsze badania ujawniły, że paradoks niekoniecznie powoduje zwarcie wyprowadzenia arytmetyki z samej logiki przez Frege'a. Wersję NC Frege'a (jego Axiom V) można po prostu porzucić. (Szczegółowe informacje można znaleźć we wpisie dotyczącym twierdzenia Fregego). Po drugie, Church podaje eleganckie sformułowanie prostej teorii typów, która okazała się owocna nawet w dziedzinach oderwanych od podstaw matematyki. (Aby uzyskać szczegółowe informacje, zobacz wpis dotyczący teorii typów). Rozwój aksjomatycznych (w przeciwieństwie do naiwnych) teorii zbiorów, które wykazują różne pomysłowe i istotne matematycznie i filozoficznie sposoby radzenia sobie z paradoksem Russella, utorował drogę do oszałamiających wyników w metamatematyce teorii mnogości. Wyniki te obejmowały twierdzenia Gödla i Cohena o niezależności aksjomatu wyboru oraz hipotezę kontinuum Cantora. Zobaczmy więc z grubsza, jak niektóre z tych metod - a konkretnie tak zwane metody „bez typu” - radzą sobie z paradoksem Russella.

Zermelo zastępuje NC następującym schematem aksjomatów Separacji (lub Aussonderungsaxiom):

(ZA) ∀ A ∃ B ∀ x (x ∈ B ≡ (x ∈ A ∧ φ)).

Ponownie, aby uniknąć kołowości, B nie może być swobodne w φ. Wymaga to, że aby uzyskać wejście do B, x musi być członkiem istniejącego zbioru A. Jak można sobie wyobrazić, wymaga to wielu dodatkowych aksjomatów istnienia zbioru, z których żaden nie byłby wymagany, gdyby NC się utrzymało.

Jak ZA unika paradoksu Russella? Na początku można by pomyśleć, że tak nie jest. W końcu, jeśli A będzie V - całym wszechświatem zbiorów - a φ będzie x ∉ x, znowu pojawi się sprzeczność. Ale w tym przypadku cała sprzeczność pokazuje, że V nie jest zbiorem. Jedyną sprzecznością jest to, że „V” jest nazwą pustą (tj. Że nie ma odniesienia, że V nie istnieje), ponieważ ontologia systemu Zermelo składa się wyłącznie ze zbiorów.

Ten sam punkt można przedstawić w jeszcze inny sposób, wykorzystując relatywizowaną formę argumentacji Russella. Niech B będzie dowolnym zbiorem. Według ZA zbiór R B = {x ∈ B: x ∉ x} istnieje, ale nie może być elementem B. Bo jeśli jest to element B, to możemy zapytać, czy jest elementem R B; i jest wtedy i tylko wtedy, gdy tak nie jest. Zatem czegoś, a mianowicie R B, „brakuje” w każdym zbiorze B. Zatem znowu, V nie jest zbiorem, ponieważ niczego nie może brakować w V. Należy jednak zwrócić uwagę na następującą subtelność: w przeciwieństwie do poprzedniego argumentu dotyczącego bezpośredniego zastosowania Aussonderungs do V, niniejszy argument wskazuje na ideę, że podczas gdy V nie jest set, „V” nie jest pustą nazwą. Następna strategia radzenia sobie z paradoksem Russella wykorzystuje tę wskazówkę.

Metoda Johna von Neumanna (1925) radzenia sobie z paradoksami, aw szczególności z paradoksem Russella, jest prosta i genialna. Von Neumann wprowadza rozróżnienie między członkostwem a brakiem członkostwa i na tej podstawie dokonuje rozróżnienia między zbiorami i klasami. Obiekt jest składnikiem (simpliciter), jeśli należy do jakiejś klasy; i nie jest członkiem, jeśli nie jest członkiem żadnej klasy. (W rzeczywistości von Neumann rozwija teorię funkcji, traktowaną raczej jako prymitywne niż klasowe, w której odpowiadając rozróżnieniu na element składowy / nie-składowy, istnieje rozróżnienie między obiektem, który może być argumentem jakiejś funkcji, a takim, który nie może. W jego nowoczesna forma, dzięki Bernaysowi i Gödelowi, jest pojedynczą posortowaną teorią klas).

Zestawy są następnie definiowane jako składowe, a elementy niebędące członkami są oznaczane jako „właściwe klasy”. Na przykład klasa Russell, R, nie może być członkiem żadnej klasy, a zatem musi być klasą właściwą. Jeśli zakłada się, że R jest elementem klasy A, to z jednego z aksjomatów von Neumanna wynika, że R nie jest równoważne z V. Ale R jest równoważne V, a zatem nie jest elementem A. Zatem metoda von Neumanna jest ściśle związana z podanym powyżej wynikiem dotyczącym zbioru R B dla dowolnego B. Metoda von Neumanna, chociaż podziwiana przez takich jak Gödel i Bernays, była w ostatnich latach niedoceniana.

Quine (1937) i (1967) podobnie podają inną nietypową metodę (w literaturze, jeśli nie w duchu) blokowania paradoksu Russella, która jest pełna interesujących anomalii. Podstawową ideą Quine'a jest wprowadzenie aksjomatu rozumienia warstwowego. W efekcie aksjomat blokuje cykliczność, wprowadzając hierarchię (lub stratyfikację), która jest pod pewnymi względami podobna do teorii typów, a odmienna w innych. (Szczegóły można znaleźć we wpisie na temat nowych fundacji Quine'a).

W przeciwieństwie do strategii Zermelo, von Neumanna i Quine'a, które są w pewnym sensie czysto teoretycznymi, podejmowano również próby uniknięcia paradoksu Russella poprzez zmianę leżącej u podstaw logiki. Było wiele takich prób i nie będziemy ich wszystkich przeglądać, ale jeden z nich wyróżnia się jako radykalny i dość popularny (choć nie wśród teoretyków mnogości per se): jest to podejście parakonsystentne, które ogranicza wpływ pojedynczej sprzeczności na całą teorię. Logika klasyczna nakazuje, by każda sprzeczność trywializowała teorię, sprawiając, że każde jej zdanie można udowodnić. Dzieje się tak, ponieważ w logice klasycznej następujące twierdzenie jest twierdzeniem:

(Ex Falso Quadlibet) A ⊃ (~ A ⊃ B).

Otóż, praktycznie jedynym sposobem uniknięcia EFQ jest rezygnacja z rozłącznego sylogizmu, to znaczy, biorąc pod uwagę zwykłe definicje połączeń, modus ponens! Tak więc zmiana podstawowej logiki zdaniowej w ten sposób jest rzeczywiście radykalna - ale możliwa. Niestety, nawet rezygnacja z EFQ nie wystarczy, aby zachować pozory NC. Należy również zrezygnować z następującego dodatkowego twierdzenia podstawowej logiki zdań:

(Skurcz) (A ⊃ (A ⊃ B)) ⊃ (A ⊃ B).

Można zatem argumentować, że NC prowadzi bezpośrednio, nie tylko do izolowanej sprzeczności, ale do trywialności. (Argument, że tak jest, można znaleźć we wpisie dotyczącym paradoksu Curry'ego, sekcja 2.2. Zauważ również, że nie wystarczy zachować tylko nazwę „modus ponens”, ale sama reguła zostaje zmodyfikowana w ramach nietradycyjnej logiki. Wydaje się więc, że nieszczęścia NC nie ograniczają się do paradoksu Russella, ale obejmują także paradoks wolny od negacji spowodowany przez Curry'ego.

Inną sugestią może być stwierdzenie, że paradoks zależy od przykładu zasady Wykluczonego Środka, że albo R jest członkiem R, albo nie jest. Jest to zasada odrzucana przez niektóre nieklasyczne podejścia do logiki, w tym intuicjonizm. Jednak możliwe jest sformułowanie paradoksu bez odwoływania się do Wykluczonego Środka, polegając zamiast tego na prawie niesprzeczności. Robimy to w następujący sposób: Z definicji R wynika, że R ∈ R ≡ ~ (R ∈ R). Więc R ∈ R ⊃ ~ (R ∈ R). Ale wiemy również, że R ∈ R ⊃ R ∈ R. Więc R ∈ R ⊃ (R ∈ R ∧ ~ (R ∈ R)). Ale zgodnie z prawem niesprzeczności wiemy, że ~ (R ∈ R ∧ ~ (R ∈ R)). Tak więc przez modus tollens wnioskujemy, że ~ (R ∈ R). Jednocześnie wiemy też, że skoro R ∈ R ≡ ~ (R ∈ R), wynika z tego, że ~ (R ∈ R) ⊃ R ∈ R, a więc że R ∈ R. Możemy więc wydedukować zarówno R ∈ R, jak i jego negację, używając tylko intucjonistycznie akceptowalnych metod.

Wydaje się zatem, że zwolennicy logiki nieklasycznej nie mogą twierdzić, że zachowali NC w jakimkolwiek istotnym sensie, poza zachowaniem czysto syntaktycznej formy zasady, a ani intuicjonizm, ani parakonsekwencja oraz porzucenie kontrakcji nie będą dawać przewagi nad nietypowe rozwiązania Zermelo, von Neumanna czy Quine'a. (Dalsza dyskusja znajduje się w Meyer, Routley i Dunn (1979), Irvine (1992), Priest (2006, rozdz. 18), Weber (2010), Weber (2012) oraz we wpisach dotyczących paradoksu Curry'ego (rozdz. 2.2) i logika parakonsystentna (rozdział 2.3).)

Warto również zauważyć, że paradoks Russella nie był jedynym paradoksem, który martwił Russella, a zatem nie jedyną motywacją do ograniczeń typu, które można znaleźć w Principia Mathematica. W swojej wcześniejszej pracy The Principles of Mathematics Russell poświęcił rozdział „Sprzeczności” (paradoksowi Russella), prezentując ją w kilku formach i odrzucając kilka nie-starterowych odpowiedzi. Następnie sygnalizuje, że „wkrótce” omówi doktrynę typów. Nie dzieje się tak przez kilkaset stron, dopóki nie dotrzemy do samego końca książki, w dodatku B! Russell przedstawia tam początkową, prostą teorię typów, a nie teorię typów, którą znajdujemy w Principia Mathematica. Dlaczego potrzebna była późniejsza teoria? Powodem jest to, że w Dodatku B Russell przedstawia również inny paradoks, którego jego zdaniem nie da się rozwiązać za pomocą prostej teorii typów. Ten nowy paradoks dotyczy zdań, a nie klas, i wraz z paradoksami semantycznymi skłonił Russella do sformułowania rozgałęzionej wersji teorii typów.

Nowa, propozycjonalna wersja paradoksu nie odegrała istotnej roli w późniejszym rozwoju logiki i teorii mnogości, ale głęboko zdziwiła Russella. Po pierwsze, wydaje się to zaprzeczać twierdzeniu Cantora. Russell pisze: „Nie możemy przyznać, że jest więcej zakresów [klas zdań] niż zdań” (1903, 527). Powodem jest to, że wydaje się, że między klasami zdań a zdaniami są proste, jeden do jednego korelacji. Na przykład klasa m zdań może być skorelowana ze zdaniem, że każde zdanie w m jest prawdziwe. To, wraz z drobnoziarnistą zasadą indywiduacji dla zdań (twierdząc po pierwsze, że jeśli klasy mi n zdań różnią się, to każde zdanie o m będzie się różnić od każdego zdania o n) prowadzi do sprzeczności.

O tym paradoksie dyskutowano stosunkowo niewiele, chociaż odegrał on kluczową rolę w rozwoju logiki sensu i denotacji Kościoła. Chociaż mamy do wyboru kilka teorii zbiorów, nie mamy nic podobnego do dobrze rozwiniętej teorii twierdzeń Russella, chociaż są one kluczowe dla poglądów Millianów i teoretyków odniesień bezpośrednich. Można by pomyśleć, że taka teoria byłaby wymagana do podstaw semantyki, gdyby nie podstawy matematyki. Tak więc, podczas gdy jeden z paradoksów Russella doprowadził do owocnego rozwoju podstaw matematyki, jego „inny” paradoks nie doprowadził jeszcze do niczego choćby podobnego w podstawach semantyki. Być pewnym,Church (1974a) i Anderson (1989) próbowali rozwinąć rosyjską logikę intencjonalną opartą na rozgałęzionej teorii typów, ale można wysunąć argument, że rozgałęziona teoria jest zbyt restrykcyjna, aby służyć jako podstawa dla semantyki języka naturalnego. Ostatnio podjęto również próby uzyskania początków rosyjskiej logiki intencjonalnej opartej na nietypowych teoriach zbiorów (Cantini 2004; Deutsch 2014). Dość ironiczne jest to, że chociaż drobnoziarniste twierdzenia Russella są faworyzowane w filozofii języka, formalny rozwój logiki intencjonalnej jest zdominowany przez gramatykę Montague, z jej przebiegową teorią zdań. Ostatnio podjęto również próby uzyskania początków rosyjskiej logiki intencjonalnej opartej na nietypowych teoriach zbiorów (Cantini 2004; Deutsch 2014). Dość ironiczne jest to, że chociaż drobnoziarniste twierdzenia Russella są faworyzowane w filozofii języka, formalny rozwój logiki intencjonalnej jest zdominowany przez gramatykę Montague, z jej przebiegową teorią zdań. Ostatnio podjęto również próby uzyskania początków rosyjskiej logiki intencjonalnej opartej na nietypowych teoriach zbiorów (Cantini 2004; Deutsch 2014). Dość ironiczne jest to, że chociaż drobnoziarniste twierdzenia Russella są faworyzowane w filozofii języka, formalny rozwój logiki intencjonalnej jest zdominowany przez gramatykę Montague, z jej przebiegową teorią zdań.

Warto również zauważyć, że szereg pozornie czysto teoretycznych zasad jest w rzeczywistości (stosowanymi) przykładami twierdzeń czystej logiki (tj. Teorii kwantyfikacji pierwszego rzędu z tożsamością)! Istnieje (częściowa) ich lista w Kalish, Montague i Mar (2000). Paradoks Russella to przykład T269 na tej liście:

(T269) ~ ∃ y ∀ x (Fxy ≡ ~ Fxx).

Czytając predykat diadycznej litery „F” jako „jest członkiem”, oznacza to, że nie jest tak, że istnieje ay takie, że dla dowolnego x, x jest członkiem y wtedy i tylko wtedy, gdy x nie jest członkiem x. Czy to oznacza, że paradoks Russella sprowadza się do T269?

Z pewnością dowód T269 oddaje istotę argumentu Russella, jego wzorzec rozumowania. Ale ten wzór gwarantuje również niekończącą się listę pozornie błahych „paradoksów”, takich jak słynny paradoks fryzjera, który goli wszystkich i tylko tych, którzy się nie golą, lub podobnie, paradoks życzliwego, ale skutecznego Boga, który pomaga wszystkim i tylko ci, którzy sobie nie pomagają.

W jaki sposób te „pseudo paradoksy”, jak się je czasem nazywa, różnią się, jeśli w ogóle, od paradoksu Russella? Schemat rozumowania jest taki sam, a wniosek - nie ma takiego Cyrulika, takiego wydajnego Boga, takiego zbioru zbiorów nie-samoczłonowych - jest taki sam: takie rzeczy po prostu nie istnieją. (Jednak, jak pokazał von Neumann, nie trzeba iść aż tak daleko. Metoda von Neumanna nie uczy nas, że takie rzeczy jak R nie istnieją, ale tylko, że nie możemy o nich wiele powiedzieć, ponieważ R i tym podobne nie mogą wchodzić w zakres rozszerzenia dowolnego predykatu, który kwalifikuje się jako klasa).

Standardowa odpowiedź na to pytanie jest taka, że różnica polega na temacie. Quine pyta: „dlaczego [paradoks Russella] liczy się jako antynomia, a paradoks fryzjera nie?”; a on odpowiada: „Powodem jest to, że w naszych przyzwyczajeniach myślowych było przytłaczające przypuszczenie, że istnieje taka klasa, ale nie istnieje przypuszczenie, że istnieje taki fryzjer” (1966, 14). Mimo to psychologiczne omówienie „nawyków myślenia” nie jest szczególnie pouczające. Co więcej, paradoks Russella w rozsądny sposób rodzi pytanie, jakie są zbiory; ale nie ma sensu zastanawiać się na takich podstawach jak T269, jacy są fryzjerzy lub bogowie!

Ten werdykt nie jest jednak do końca sprawiedliwy dla fanów fryzjera lub ogólnie T269. Będą upierać się, że pytanie postawione przez T269 nie dotyczy tego, czym są fryzjerzy lub bogowie, ale raczej jakie są nie-paradoksalne przedmioty. To pytanie jest praktycznie takie samo, jak to, które pojawia się w samym paradoksie Russella. Zatem z tej perspektywy związek między paradoksem fryzjera i Russella jest znacznie bliższy, niż wielu (za Quine'em) było skłonnych na to pozwolić (Salmon 2013).

Zauważmy, że istnieje logiczna formuła pierwszego rzędu, która ma ten sam związek z zasadą dotyczącą R B, którą T269 niesie z paradoksem Russella. Jest to następujące:

(T273) ∀ z ∀ y (∀ x [Fxy ≡ (Fxz ∧ ~ Fxx)] ⊃ ~ Fyz).

(Pozwoliliśmy sobie rozszerzyć numerację używaną w Kalish, Montague i Mar (2000) do T273.) Ale nie wszystkie paradoksy teorii mnogości są podobnie związane z twierdzeniami logicznymi pierwszego rzędu. Paradoks Burali-Forti jest przykładem, ponieważ pojęcie dobrego uporządkowania nie jest elementarne; to znaczy, nie można go zdefiniować w pierwszej kolejności.

Paradoks Russella nigdy nie był passé, ale ostatnio nastąpiła eksplozja zainteresowania nim naukowców zajmujących się badaniami nad logiką matematyczną oraz filozoficznymi i historycznymi studiami nad logiką współczesną. Rzut oka na zawartość tomu Sto lat paradoksu Russella z 2004 roku pokazuje wybitnych logików matematycznych i filozoficznych oraz historyków logiki, którzy wylewają paradoks, proponując nowe sposoby powrotu do raju Cantora lub inne sposoby rozwiązania problemu. Ich badania obejmują radykalnie nowe sposoby wyjścia z dylematu stawianego przez paradoks, nowe badania teorii typów (prostych i rozgałęzionych oraz ich rozszerzeń), nowe interpretacje paradoksu Russella i teorii konstruktywnych, paradoksu zdań Russella i jego własnych. próba stworzenia teorii bez typu (teoria substytucji) i tak dalej.

Wszystko to przypomina nam, że owocna praca może wynikać z najbardziej nieprawdopodobnych obserwacji. Jak to ujęła Dana Scott: „Od samego początku należy rozumieć, że paradoksu Russella nie należy traktować jako katastrofy. To i związane z nim paradoksy pokazują, że naiwne pojęcie kolekcji obejmujących wszystko jest nie do utrzymania. To ciekawy wynik, nie ma co do tego wątpliwości”(1974, 207).

Bibliografia

  • Anderson, C. Anthony, 1989. „Russellian Intensional Logic”, w: Joseph Almog, John Perry i Howard Wettstein (red.), Themes from Kaplan, Oxford: Oxford University Press, 67–103.
  • Barwise, Jon, 1975. Dopuszczalne zbiory i struktury, Berlin: Springer-Verlag.
  • ––– i John Etchemendy, 1987. The Liar: An Essay on Truth and Circularity, Oxford: Oxford University Press.
  • ––– i Lawrence Moss, 1996. Vicious Circles, Stanford: CSLI Publications.
  • Bealer, George, 1982. Jakość i koncepcja, Nowy Jork: Oxford University Press.
  • Beaney, Michael, 2003. „Russell and Frege”, w: Nicholas Griffin (red.), The Cambridge Companion to Bertrand Russell, Cambridge: Cambridge University Press, 128–170.
  • Cantini, Andrea, 2004. „On a Russellian Paradox about Propositions and Truth”, w: Godehard Link (red.) (2004) Sto lat Russella Paradox, Berlin i Nowy Jork: Walter de Gruyter, 259–284.
  • –––, 2009. „Paradoxes, Self-Reference and Truth in the 20th Century”, w: Dov M. Gabbay i John Woods (red.) (2009) Handbook of the History of Logic: Volume 5 - Logic From Russell to Church, Amsterdam: Elsevier / North Holland, 875–1013.
  • Church, Alonzo, 1974a. „Russellian Simple Type Theory”, Proceedings and Addresses of the American Philosophical Association, 47: 21–33.
  • –––, 1974b. „Teoria mnogości z zestawem uniwersalnym”, Materiały sympozjum Tarskiego, 297–308; repr. w International Logic Review, 15: 11–23.
  • –––, 1978. „A Compare of Russell's Resolution of the Semantical Antinomies with the Tarski”, Journal of Symbolic Logic, 41: 747–760; repr. w AD Irvine, Bertrand Russell: Critical Assessments, vol. 2, Nowy Jork i Londyn: Routledge, 1999, 96–112.
  • Coffa, Alberto, 1979. „The Humble Origins of Russell's Paradox”, Russell, 33–34: 31–7.
  • Copi, Irving, 1971. Teoria typów logicznych, Londyn: Routledge i Kegan Paul.
  • Demopoulos, William i Peter Clark, 2005. „The Logicism of Frege, Dedekind and Russell”, w: Stewart Shapiro (red.), The Oxford Handbook of Philosophy of Mathematics and Logic, Oxford: Oxford University Press, 129–165.
  • Deutsch, Harry, 2014. „Resolution of Some Paradoxes of Propositions”, Analiza, 74: 26-34.
  • Ebbinghaus, Heinz-Dieter i Volker Peckhaus, 2007. Ernst Zermelo: podejście do jego życia i pracy, Berlin: Springer-Verlag.
  • Forster, TE, 1995. Teoria mnogości z zestawem uniwersalnym, wyd. 2, Oxford: Clarendon Press.
  • Frege, Gottlob, 1902. „Letter to Russell”, w: Jean van Heijenoort (red.), From Frege to Gödel, Cambridge, Mass.: Harvard University Press, 1967, 126–128.
  • –––, 1903. „The Russell Paradox”, w: Gottlob Frege, The Basic Laws of Arithmetic, Berkeley: University of California Press, 1964, s. 127–143; skrócony i powt. w AD Irvine, Bertrand Russell: Critical Assessments, vol. 2, Nowy Jork i Londyn: Routledge, 1999, 1–3.
  • Gabbay, Dov M. i John Woods (red.), 2009. Handbook of the History of Logic: Volume 5 - Logic From Russell to Church, Amsterdam: Elsevier / North Holland.
  • Galaugher, JB, 2013. „Substitution's Unsolved 'Insolubilia'”, Russell, 33: 5–30.
  • Garciadiego A., 1992. Bertrand Russell and the Origins of the Set-theoretic „Paradoxes”, Boston: Birkhäuser.
  • Grattan-Guinness, I., 1978. „How Bertrand Russell Discovered His Paradox”, Historia Mathematica, 5: 127–37.
  • –––, 2000. The Search for Mathematical Roots: 1870–1940, Princeton i Oxford: Princeton University Press.
  • Griffin, Nicholas (red.), 2003. The Cambridge Companion to Bertrand Russell, Cambridge: Cambridge University Press.
  • –––, 2004. „The Prehistory of Russell's Paradox”, w: Godehard Link (red.), Sto lat Russella Paradox, Berlin i Nowy Jork: Walter de Gruyter, 349–371.
  • ––– Bernard Linsky i Kenneth Blackwell (red.), 2011. Principia Mathematica at 100, Hamilton, ON: Bertrand Russell Research Center; opublikowano również jako wydanie specjalne, tom 31, numer 1 Russella.
  • Hallett, Michael, 1984. Kantoriańska teoria mnogości i ograniczenie wielkości, Oxford: Clarendon.
  • Halmos, Paul R., 1960. Naiwna teoria mnogości, Princeton: D. van Nostrand.
  • Irvine, AD, 1992. „Gaps, Gluts and Paradox”, Canadian Journal of Philosophy (tom uzupełniający), 18: 273–299.
  • ––– (red.), 2009. Philosophy of Mathematics, Amsterdam: Elsevier / North Holland.
  • Kanamori, Akihiro, 2004. „Zermelo and Set Theory”, The Bulletin of Symbolic Logic, 10: 487–553.
  • –––, 2009. „Teoria mnogości od Cantora do Cohena”, w: AD Irvine (red.), Philosophy of Mathematics, Amsterdam: Elsevier / North Holland, 395–459.
  • Kalish, Donald, Richard Montague i Gary Mar, 2000. Logic: Techniques of Formal Reasoning, wyd. 2, Nowy Jork: Oxford University Press.
  • Klement, Kevin, 2005. „The Origins of the Propositional Functions Version of Russell's Paradox”, Russell, 24: 101–132.
  • –––, 2014, „The Paradoxes and Russell's Theory of Incomplete Symbols”, Philosophical Studies, 169: 183–207.
  • Landini, Gregory, 2006. „The Ins and Outs of Frege's Way Out”, Philosophia Mathematica, 14: 1–25.
  • –––, 2013. „Zermelo” i „Russell's Paradox: Is There a Universal Set?” Philosophia Mathematica, 21: 180–199.
  • Levy, A., 1979. Podstawowa teoria zbiorów, Berlin: Springer-Verlag; Nowy Jork: Heidelberg.
  • Link, Godehard (red.), 2004. Sto lat Russella Paradox, Berlin i Nowy Jork: Walter de Gruyter.
  • Linsky, Bernard, 1990. „Czy aksjomat redukowalności był zasadą logiki?” Russell, 10: 125–140; repr. w AD Irvine (red.) (1999) Bertrand Russell: Critical Assessments, 4 vols, London: Routledge, vol. 2, 150–264.
  • –––, 2002. „The Resolution of Russell's Paradox in Principia Mathematica”, Philosophical Perspectives, 16: 395–417.
  • Mares, Edwin, 2007. „The Fact Semantics for Ramified Type Theory and the Axiom of Reducibility”, Notre Dame Journal of Formal Logic, 48: 237–251.
  • Menzel, Christopher, 1984. „Cantor and the Burali-Forti Paradox”, Monist, 67: 92–107.
  • Meyer, Robert K., Richard Routley i Michael Dunn, 1979. „Curry's Paradox”, Analysis, 39: 124–128.
  • Moore, Gregory H., 1982. Zermelo's Axiom of Choice, New York: Springer.
  • –––, 1988. „The Roots of Russell's Paradox”, Russell, 8: 46–56.
  • Murawski, Roman, 2011. „On Chwistek's Philosophy of Mathematics”, w: Nicholas Griffin, Bernard Linsky i Kenneth Blackwell (red.) (2011) Principia Mathematica at 100, Russell (wydanie specjalne), 31 (1): 121–130.
  • Peckhaus, Volker, 2004. „Paradoxes in Göttingen”, w: Godehard Link (red.), Sto lat Russella Paradox, Berlin i Nowy Jork: Walter de Gruyter, 501–515.
  • Priest, Graham, 2006. In Contradiction, wyd. 2, Nowy Jork: Oxford University Press.
  • Quine, WVO, 1937. „New Foundations for Mathematical Logic”, American Mathematical Monthly, 44: 70–80; repr. w WVO Quine, Z logicznego punktu widzenia, Londyn: Harper & Row, 1953.
  • –––, 1966. Drogi paradoksu i inne eseje, Nowy Jork: Random House.
  • –––, 1967. Teoria mnogości i jej logika, Harvard: Belknap Press.
  • Russell, Bertrand, 1902. „Letter to Frege”, w: Jean van Heijenoort (red.), From Frege to Gödel, Cambridge, Mass.: Harvard University Press, 1967, 124–125.
  • –––, 1903. „Dodatek B: The Doctrine of Types”, w: Bertrand Russell, The Principles of Mathematics, Cambridge: Cambridge University Press, 1903, 523–528.
  • –––, 1908. „Mathematical Logic as Based on the Theory of Types”, American Journal of Mathematics, 30: 222–262; repr. w Bertrand Russell, Logic and Knowledge, Londyn: Allen i Unwin, 1956, s. 59–102; i repr. w Jean van Heijenoort (red.), From Frege to Gödel, Cambridge, Mass.: Harvard University Press, 1967, 152–182.
  • –––, 1919. Wprowadzenie do filozofii matematycznej, Londyn: George Allen i Unwin Ltd oraz Nowy Jork: The Macmillan Co.
  • –––, 1944. „My Mental Development”, w: Paul Arthur Schilpp (red.), The Philosophy of Bertrand Russell, wyd. 3, Nowy Jork: Tudor, 1951, 3–20.
  • –––, 1959. My Philosophical Development, Londyn: George Allen i Unwin oraz Nowy Jork: Simon & Schuster.
  • –––, 1967, 1968, 1969. Autobiografia Bertranda Russella, 3 tomy, Londyn: George Allen i Unwin; Boston: Little Brown and Company (tomy 1 i 2), Nowy Jork: Simon and Schuster (tom 3).
  • Salmon, N., 2013. „A Note on Kripke's Paradox about Time and Thought”, Journal of Philosophy, 110: 213-220.
  • Scott, Dana, 1974. „Axiomatizing Set Theory”, w: TJ Jech (red.), Proceedings of Symposia in Pure Mathematics (tom 13, część 2), American Mathematical Society, 207-214.
  • Shapiro, Stewart (red.), 2005. The Oxford Handbook of Philosophy of Mathematics and Logic, Oxford: Oxford University Press.
  • Simmons, Keith, 2000. „Sets, Classes and Extensions: A Singularity Approach to Russell's Paradox”, Philosophical Studies, 100: 109–149.
  • –––, 2005. „A Berry and a Russell without Self-Reference”, Philosophical Studies, 126: 253–261.
  • Sorensen, Roy A., 2002. „Philosophical Implications of Logical Paradoxes”, w: Dale Jacquette (red.), A Companion to Philosophical Logic, Nowy Jork: Oxford University Press, 131–142.
  • –––, 2003. „Russell's Set”, w: Krótka historia paradoksu, Nowy Jork: Oxford University Press, 316–332.
  • Stevens, Graham, 2004. „From Russell's Paradox to the Theory of Judgement: Wittgenstein and Russell on the Unity of the Proposition”, Theoria, 70: 28–61.
  • –––, 2005. Russellian Origins of Analytical Philosophy, Londyn i Nowy Jork: Routlege.
  • Tappenden, Jamie, 2013. „The Mathematical and Logical Background to Analytic Philosophy”, w: Michael Beaney (red.) The Oxford Handbook of the History of Analytic Philosophy, Oxford: Oxford University Press, 318–354.
  • Urquhart, Alasdair, 1988. „Russell's Zig-Zag Path to the Ramified Theory of Types”, Russell, 8: 82–91.
  • –––, 2003. „Theory of Types”, Nicholas Griffin (red.), The Cambridge Companion to Bertrand Russell, Cambridge: Cambridge University Press, 286–309.
  • van Heijenoort, Jean (red.), 1967. From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931, Cambridge and London: Harvard University Press.
  • von Neumann, John, 1925. „An Axiomatization of Set Theory”, w: Jean van Heijenoort (red.), From Frege to Gödel, Cambridge and London: Harvard University Press, 1967, 393–413.
  • Wahl, Russell, 2011. „The Axiom of Reducibility”, w: Nicholas Griffin, Bernard Linsky i Kenneth Blackwell (red.) (2011) Principia Mathematica na 100, Russell (wydanie specjalne), 31 (1): 45–62.
  • Weber, Z., 2010. „Transfinite Numbers in Paraconsistent Set Theory”, Review of Symbolic Logic, 3: 71–92.
  • –––, 2012. „Transfinite Cardinals in Paraconsistent Set Theory”, Review of Symbolic Logic, 5: 269–293.
  • Whitehead, Alfred North i Bertrand Russell, 1910, 1912, 1913. Principia Mathematica, 3 tomy, Cambridge: Cambridge University Press; wydanie drugie, 1925 (tom 1), 1927 (tomy 2, 3); w skrócie Principia Mathematica do * 56, Cambridge: Cambridge University Press, 1962.

Narzędzia akademickie

człowiek ikona
człowiek ikona
Jak cytować ten wpis.
człowiek ikona
człowiek ikona
Zobacz wersję PDF tego wpisu w Friends of the SEP Society.
ikona Inpho
ikona Inpho
Poszukaj tego tematu wpisu w Internet Philosophy Ontology Project (InPhO).
ikona dokumentów phil
ikona dokumentów phil
Ulepszona bibliografia tego wpisu na PhilPapers, z linkami do jego bazy danych.

Inne zasoby internetowe

  • Archiwa Bertranda Russella
  • Bertrand Russell Research Center
  • Towarzystwo Bertranda Russella
  • Principia Mathematica: Tom 1 (kolekcja matematyki historycznej Uniwersytetu Michigan)
  • Principia Mathematica: Tom 2 (kolekcja matematyki historycznej Uniwersytetu Michigan)
  • Principia Mathematica: Tom 3 (kolekcja matematyki historycznej Uniwersytetu Michigan)
  • Russell: The Journal of Bertrand Russell Studies
  • Russell's Antinomy (Wolfram MathWorld)

Zalecane: