Liczba Mnoga

Spisu treści:

Liczba Mnoga
Liczba Mnoga

Wideo: Liczba Mnoga

Wideo: Liczba Mnoga
Wideo: 15. Plural Masculine Gender - Nominative - B1 / Liczba mnoga męskoosobowa - Mianownik - B1 2024, Marzec
Anonim

Nawigacja wejścia

  • Treść wpisu
  • Bibliografia
  • Narzędzia akademickie
  • Podgląd PDF znajomych
  • Informacje o autorze i cytacie
  • Powrót do góry

Liczba mnoga

Po raz pierwszy opublikowano 27 października 2004; rewizja merytoryczna wtorek 16.05.2017

Zwykły angielski zawiera różne formy kwantyfikacji obiektów. Oprócz zwykłej liczby pojedynczej, jak w

(1) Na stole jest jabłko

istnieje liczba mnoga, jak w

(2) Na stole jest kilka jabłek

Od czasów Frege logika formalna faworyzowała dwa pojedyncze kwantyfikatory (forall {x}) i (exist {x}) nad ich odpowiednikami w liczbie mnogiej (forall {xx}) i (exist { xx}) (czytać jak w przypadku wszystkich rzeczy (xx) i są pewne rzeczy (xx)). Ale w ostatnich dziesięcioleciach argumentowano, że mamy dobry powód, aby przyznać do naszych prymitywnych pojęć logicznych także kwantyfikatory liczby mnogiej (forall {xx}) i (exist {xx}) (Boolos 1984 i 1985a).

Bardziej kontrowersyjnie argumentowano, że wynikowy system formalny z kwantyfikacją w liczbie mnogiej i pojedynczej kwalifikuje się jako „czysta logika”; w szczególności, że ma uniwersalne zastosowanie, jest ontologicznie niewinny i doskonale rozumiany. Oprócz tego, że jest interesująca sama w sobie, ta teza, jeśli jest poprawna, udostępni kwantyfikację liczby mnogiej jako niewinne, ale niezwykle potężne narzędzie w metafizyce, filozofii matematyki i logice filozoficznej. Na przykład George Boolos użył kwantyfikacji liczby mnogiej do interpretacji monadycznej logiki drugiego rzędu [1]i na tej podstawie argumentował, że monadyczna logika drugiego rzędu kwalifikuje się jako „czysta logika”. Kwantyfikacja liczby mnogiej została również wykorzystana w próbach obrony idei logiki, wyjaśnienia teorii mnogości i wyeliminowania ontologicznych zobowiązań wobec obiektów matematycznych i obiektów złożonych.

  • 1. Języki i teorie kwantyfikacji liczby mnogiej

    • 1.1 Regimentacja liczby mnogiej
    • 1.2 Teorie PFO i PFO +
  • 2. Kwantyfikacja w liczbie mnogiej a kwantyfikacja drugiego rzędu

    • 2.1 Liczba mnoga i logika monadyczna drugiego rzędu
    • 2.2 Relacje
    • 2.3 Konteksty modalne
    • 2.4 Wyższe poziomy kwantyfikacji liczby mnogiej?
  • 3. Teza o logiczności
  • 4. Zastosowania kwantyfikacji liczby mnogiej

    • 4.1 Ustalenie logiki monadycznej logiki drugiego rzędu
    • 4.2 Logicyzm
    • 4.3 Teoria zbiorów
    • 4.4 Nominalizm matematyczny
    • 4.5 Eliminowanie złożonych obiektów
  • 5. Niewinność ontologiczna?

    • 5.1 Argument teorii zbiorów
    • 5.2 Niepoprawny argument o orzeczeniu
    • 5.3 Bezpośredni argument
    • 5.4 Wartości semantyczne i zobowiązania ontologiczne
  • Bibliografia
  • Narzędzia akademickie
  • Inne zasoby internetowe
  • Powiązane wpisy

1. Języki i teorie kwantyfikacji liczby mnogiej

Logiczne formalizmy, które dominowały w tradycji analitycznej od czasu Frege, nie pozwalają na liczbę mnogą. Dlatego też na wstępnych kursach logiki studenci są zazwyczaj uczeni parafrazy w liczbie mnogiej. Na przykład, można ich nauczyć, jak oddawać „Alicja i Bob są głodni” jako „Alicja jest głodna, a Bob jest głodny” oraz „Na stole jest kilka jabłek”, jako „(Exists {x} Exists { y} (x) to jabłko na stole & (y) to jabłko na stole & (x / ne y))”. Jednak takie parafrazy są nie tylko często nienaturalne, ale mogą nawet być niedostępne. Jednym z najbardziej interesujących przykładów miejsc w liczbie mnogiej, które opierają się parafrazie pojedynczej, jest tak zwane zdanie Geach-Kaplana:

(3) Niektórzy krytycy podziwiają tylko siebie nawzajem

Zdanie to można udowodnić, że nie ma pojedynczej parafrazy pierwszego rzędu, używając tylko predykatów występujących w samym zdaniu. [2]

Jak mamy sformalizować takie zdania? Tradycyjny pogląd, broniony na przykład przez Quine'a, głosi, że wszystkie parafrazy należy podawać w klasycznej logice pierwszego rzędu, w razie potrzeby uzupełnionej teorią mnogości. W szczególności Quine sugeruje, że (3) należy sformalizować jako

(tag {(3 ')} label {ex3prime} kern-5pt / Exists {S} (Exists {u} mstop u / in S / amp / Forall {u} (u / in S / rightarrow Cu) amp / Forall {u} Forall {v} (u / in S / amp / textit {Auv} rightarrow v / in S / amp u / ne v)))

(1973: 111 i 1982: 293). [3]

W dwóch ważnych artykułach z lat 80. George Boolos podważa ten tradycyjny pogląd (Boolos 1984 i 1985a). Twierdzi, że naleganie na parafrazowanie mnogich miejsc w języku naturalnym jest po prostu uprzedzeniem. Zamiast tego sugeruje, że tak jak pojedyncze kwantyfikatory (Forall {x}) i (Exists {x}) czerpią swoją legitymację z faktu, że reprezentują określone narzędzia ilościowe w języku naturalnym, tak samo robią ich odpowiedniki w liczbie mnogiej (Forall {xx}) i (Exists {xx}). Nie ma bowiem wątpliwości, że w języku naturalnym używamy i rozumiemy wyrażenia „na wszystko” i „jest kilka rzeczy”. [4] Ponieważ te kwantyfikatory wiążą zmienne, które przyjmują nazwę (a nie predykat), są kwantyfikatorami pierwszego rzędu, aczkolwiek licznymi.

1.1 Regimentacja liczby mnogiej

Opiszę teraz prosty język formalny, który może być użyty do określenia ilościowego liczby mnogiej, tak jak ma to miejsce w języku angielskim i innych językach naturalnych.

Język formalny (L _ { textrm {PFO}}). Niech język formalny (L _ { textrm {PFO}}) (dla liczby mnogiej pierwszego rzędu) będzie następujący.

  1. (L _ { textrm {PFO}}) ma następujące wyrażenia (dla każdej liczby naturalnej (i)):

    • pojedyncze zmienne (x_i)
    • zmienne w liczbie mnogiej (xx_i)
    • pojedyncze stałe (a_i)
    • stałe w liczbie mnogiej (aa_i)
  2. (L _ { textrm {PFO}}) ma następujące predykaty (wszystkie których miejsca argumentów są pojedyncze):

    • dwa diadyczne predykaty logiczne = i (prec) (należy je traktować jako tożsamość, a relacja jest jedną z)
    • nielogiczne predykaty (R ^ {n} _i) (dla każdej liczby miejskiej (n) i każdej liczby naturalnej (i))
  3. (L _ { textrm {PFO}}) ma następujące formuły:

    • (R ^ {n} _i (t_1, / ldots, t_n)) jest formułą, gdy (R ^ {n} _i) jest (n) - predykatem adycznym i (t_j) są pojedyncze warunki
    • (t / prec T) jest formułą, gdy (t) jest terminem pojedynczym, a (T) jest wyrażeniem w liczbie mnogiej
    • (neg / phi) i (phi / amp / psi) to formuły, gdy (phi) i (psi) są formułami
    • (Exists {v} mstop / phi) i (Exists {vv} mstop / phi) to formuły, gdy (phi) jest formułą, a (v) jest pojedynczą zmienną i (vv) liczba mnoga
    • inne łączniki są traktowane jako skróty w zwykły sposób.

W (L _ { textrm {PFO}}) możemy sformalizować szereg angielskich twierdzeń dotyczących liczby mnogiej. Na przykład (2) można sformalizować jako

(tag {(2 ')} label {ex2prime} Exists {xx} Forall {u} (u / prec xx / rightarrow Au / amp Tu))

Zdanie Geacha-Kaplana (3) można sformalizować jako

(tag {(3 '')} label {ex3pprime} Exists {xx} (Forall {u} (u / prec xx / rightarrow Cu) amp / Forall {u} Forall {v} (u / prec xx / amp / textit {Auv} rightarrow v / prec xx / amp u / ne v)].)

Jednak język (L _ { textrm {PFO}}) ma jedno poważne ograniczenie. Widzimy to, rozróżniając dwa rodzaje orzekania w liczbie mnogiej. O orzeczeniu (P) przyjmującym liczbę mnogą argumentów mówi się, że jest rozdzielny na wypadek, gdyby było analityczne, że: (P) zachowuje pewne rzeczy (xx) wtedy i tylko wtedy, gdy (P) zachowuje każdy (u) takie, że (u / prec xx). [5] Na przykład predykat „jest na stole” jest rozdzielny, ponieważ analityczne jest to, że niektóre rzeczy (xx) znajdują się w tabeli na wypadek, gdyby każdy z (xx) znalazł się w tabeli. O predykacie (P), który nie jest dystrybucyjny, mówi się, że jest nierozdzielny lub zbiorowy. [6]Na przykład predykat „formuj okrąg” jest nierozdzielny, ponieważ nie jest analityczne, że ilekroć jakieś rzeczy (xx) tworzą okrąg, każda z (xx) tworzy okrąg. Innym przykładem nierozdzielczego orzeczenia liczby mnogiej jest drugie miejsce argumentu predykatu logicznego (prec): ponieważ nie jest prawdą (nie mówiąc już o analityce), że kiedykolwiek (u) jest jednym z (xx, u) jest jednym z (xx). Dlatego rozważenie nieco bogatszego języka jest zarówno naturalne, jak i użyteczne:

Język formalny (L _ { textrm {PFO} +}). Język (L _ { textrm {PFO} +}) dopuszcza nie-dystrybucyjne predykaty liczby mnogiej inne niż (prec). Robimy to, modyfikując definicję (L _ { textrm {PFO}}), aby umożliwić predykaty (R ^ {n} _i), które przyjmują argumenty w liczbie mnogiej. Te predykaty mogą być logiczne lub nielogiczne. [7]

Czy powinniśmy również dopuszczać predykaty z miejscami argumentów, które przyjmują zarówno argumenty w liczbie pojedynczej, jak i mnogiej? W ten sposób działa wiele angielskich predykatów, na przykład „… jest / są na stole”. Jeśli więc naszym głównym celem była analiza języka naturalnego, prawdopodobnie musielibyśmy dopuścić takie predykaty. Jednak dla obecnych celów prostsze jest nie zezwalanie na takie predykaty. Wkrótce i tak zezwolimy na liczbę mnogą składającą się tylko z jednej rzeczy. [8]

Na razie języki formalne (L _ { textrm {PFO}}) i (L _ { textrm {PFO} +}) będą interpretowane tylko poprzez ich tłumaczenie na zwykły angielski, uzupełnione o indeksy aby ułatwić odsyłacze (Boolos 1984: 443–5 [1998a: 67–9]; Rayo 2002: 458–9). (Poważniejsze kwestie semantyczne zostaną omówione w rozdziale 4, gdzie naszym głównym pytaniem będzie, czy nasze teorie kwantyfikacji liczby mnogiej są ontologicznie powiązane z jakimikolwiek podmiotami „podobnymi do zbioru”). Dwie klauzule tego tłumaczenia, które są bezpośrednio związane z terminy w liczbie mnogiej to

(4) (Tr (x_i / prec xx_j) = / textrm {it} _i) jest jednym z nich (_ j)

(5) (Tr (Exists {xx_j} mstop / phi) =) są pewne rzeczy (_ j) takie, że (Tr (phi))

Pozostałe klauzule są oczywiste, na przykład: (Tr (phi / amp / psi) = (Tr (phi)) i (Tr (psi))). To tłumaczenie pozwala nam zinterpretować wszystkie zdania (L _ { textrm {PFO}}) i (L _ { textrm {PFO} +}), opierając się na naszym intuicyjnym zrozumieniu języka angielskiego. Warto rozważyć kilka przykładów. Zastosowanie (Tr) do (ref {ex2prime}), powiedzmy, daje:

(2 ″) Są takie rzeczy (_ 1) takie, że na wszystko (_ 2) (jeśli to (_ 2) jest jedną z nich (_ 1), to (_ 2) jest jabłkiem i to (_ 2) jest na stole)

1.2 Teorie PFO i PFO +

Opiszemy teraz teorię PFO liczby mnogiej pierwszego rzędu w oparciu o język (L _ { textrm {PFO}}). Zacznijmy od aksjomatyzacji zwykłej logiki pierwszego rzędu z tożsamością. Dla naszych obecnych celów wygodnie jest aksjomatyzować tę logikę jako naturalny system dedukcji, przyjmując wszystkie tautologie jako aksjomaty, a znane zasady dedukcji naturalnej rządzące pojedynczymi kwantyfikatorami i znakiem tożsamości jako regułami wnioskowania. Następnie rozszerzamy w oczywisty sposób naturalne reguły dedukcji dla kwantyfikatorów liczby pojedynczej na liczby mnogie. Następnie potrzebujemy pewnych aksjomatów, które dla odpowiednich formuł (phi (x)) pozwalają nam mówić o (phi) s. W zwykłym języku angielskim użycie miejsc w liczbie mnogiej ogólnie sygnalizuje zainteresowanie dwoma lub więcej obiektami. Ale istnienie dwóch lub więcej obiektów może nie być wymagane semantycznie; na przykład,„Studenci, którzy zarejestrują się na te zajęcia, wiele się nauczą” wydaje się być prawdą, nawet jeśli zapisuje się tylko jeden student. Dlatego rozsądne i wygodne jest żądanie tylko, aby istniał co najmniej jeden obiekt spełniający (phi (x)). (Większość ludzi piszących na ten temat czyni to ustępstwo). Daje to początek aksjomatom rozumienia liczby mnogiej, które są instancjami schematu

(tag {Comp} Exists {u} phi (u) rightarrow / Exists {xx} Forall {u} (u / prec xx / leftrightarrow / phi (u)))

gdzie (phi) jest formułą w (L _ { textrm {PFO}}), która zawiera „(u)” i prawdopodobnie inne zmienne wolne, ale nie zawiera wystąpienia „(xx)”. (To znaczy, jeśli coś jest (phi), to są takie rzeczy, że wszystko jest jedną z nich wtedy i tylko wtedy, gdy jest (phi).) Aby w pełni uchwycić ideę, że wszystkie liczby mnogie są niepusty, przyjmujemy również aksjomat

(tag {6} Forall {xx} Exists {u} (u / prec xx).)

(To znaczy, w każdym przypadku jest coś, co jest jednym z nich). Niech PFO + będzie teorią opartą na języku (L_ {PFO +}), który powstaje w analogiczny sposób, ale który dodatkowo ma następujący schemat aksjomatów ekstensjonalności:

(tag {7} Forall {xx} Forall {yy} (Forall {u} (u / prec xx / leftrightarrow u / prec yy) rightarrow (phi (xx) leftrightarrow / phi (yy))])

(To znaczy dla każdej rzeczy (_ 1) i każdej rzeczy (_ 2) (jeśli coś jest jedną z nich (_ 1) jeśli i tylko to jest jedną z nich (_ 2), to (_1) są (phi) wtedy i tylko wtedy, gdy (_ 2) są (phi)).) Ten schemat aksjomatów zapewnia, że wszystkie współzależne liczby mnogie są nierozróżnialne.

Uwaga dotycząca terminologii. Dla ułatwienia komunikacji będziemy używać słowa „pluralizm” bez zajmowania stanowiska, czy rzeczywiście istnieją takie byty jak mnogość. Stwierdzenia zawierające słowo „pluralizm” zawsze można przepisać z dłuższym rozmysłem bez użycia tego słowa. Na przykład powyższe twierdzenie, że „wszystkie liczby mnogie są niepuste” można przepisać jako „kiedykolwiek są jakieś rzeczy (xx), jest coś (u), co jest jedną z rzeczy (xx)”. Tam, gdzie twierdzenie ontologiczne (jest) zostanie zasygnalizowane przez użycie określenia „liczba mnoga”.

2. Kwantyfikacja w liczbie mnogiej a kwantyfikacja drugiego rzędu

Przez „logikę drugiego rzędu” rozumiemy logikę, która rozszerza zwykłą logikę pierwszego rzędu, umożliwiając kwantyfikację do pozycji predykatu. Na przykład z „(a) is a apple” możemy w logice drugiego rzędu wywnioskować „(Exists {F} mstop Fa)”. Ale logiki liczby mnogiej opisane powyżej rozszerzają zwykłą logikę pierwszego rzędu w inny sposób, mianowicie przez dopuszczenie kwantyfikacji do pozycji argumentu liczby mnogiej. Ale predykaty i wyrażenia rzeczownikowe w liczbie mnogiej należą do różnych kategorii syntaktycznych i semantycznych. Na przykład pierwsza składa się z wyrażeń nienasyconych (w sensie Frege) - to znaczy zawierających luki lub miejsca argumentacji - podczas gdy druga składa się z wyrażeń, które są nasycone (Higginbotham 1998: sekcja 7; Oliver and Smiley 2001; Rayo i Yablo 2001: sekcja X; Simons 1997; Williamson 2003: sekcja IX; Yi 2005). Odpowiednio,kwantyfikacja drugiego rzędu i kwantyfikacja liczby mnogiej są ogólnie uważane za różne formy kwantyfikacji. W tej sekcji omówię niektóre różnice i podobieństwa.

2.1 Liczba mnoga i logika monadyczna drugiego rzędu

(Czytelnicy mniej zainteresowani kwestiami technicznymi mogą chcieć przejrzeć tę sekcję.) Boolos zauważył, że w teorii PFO można zinterpretować monadyczną logikę drugiego rzędu. [9] Niech MSO będzie jakąś standardową aksjomatyzacją (w pełni impredykatywnej) monadycznej logiki drugiego rzędu w jakimś odpowiednim języku (L _ { textrm {MSO}}) (Shapiro 1991: rozdz. 3; Boolos et al. 2002: roz.. 22). Boolos najpierw definiuje tłumaczenie (Tr '), które odwzorowuje dowolną formułę (L _ { textrm {MSO}}) na jakąś formułę (L _ { textrm {PFO}}). Ta definicja, która opiera się na indukcji złożoności formuł (L _ { textrm {MSO}}), ma jako swoje jedyne nietrywialne klauzule, które dotyczą zmiennych drugiego rzędu:

(tag {8} Tr '(X_jx_i) = x_i / prec xx_j) (tag {9} Tr' (Exists {X_j} mstop / phi) = / Exists {xx_j} mstop / Tr '(phi) lor Tr' (phi *))

gdzie (phi *) jest wynikiem podstawiania (x_i / ne x_i) wszędzie (X_j x_i). Idea stojąca za tymi dwoma klauzulami polega na zastąpieniu mówienia o pojęciach (lub jakichkolwiek bytach, które obejmują monadyczne zmienne drugiego rzędu) rozmową o obiektach, które podlegają tym pojęciom. Dlatego zamiast mówić, że (x_i) mieści się w pojęciu (X_j), mówimy, że (x_i) jest jednym z (xx_j). Jedyna trudność polega na tym, że niektóre pojęcia nie mają instancji, podczas gdy wszystkie liczby mnogie muszą obejmować co najmniej jedną rzecz. Ale możliwość nieistnienia pojęcia jest uwzględniana przez drugi rozłącznik po prawej stronie (9).

Poprzez indukcję derywacji w MSO można łatwo udowodnić, że każde twierdzenie MSO jest odwzorowane na jakieś twierdzenie PFO. Ponadto łatwo jest zdefiniować „odwrotne” tłumaczenie, które odwzorowuje formuły (L _ { textrm {PFO}}) na formuły (L _ { textrm {MSO}}) i udowodnić, że to tłumaczenie odwzorowuje twierdzenia pierwszego z twierdzeniami drugiego. To pokazuje, że PFO i MSO są równoważne. Podobny wynik można udowodnić w przypadku PFO + i rozszerzenia MSO + MSO, które pozwala na predykaty pojęć (pierwszego poziomu), pod warunkiem, że MSO + zawiera schemat aksjomatów, z którego wynika, że koncepcje o wspólnym zakresie są nierozróżnialne.

Ważne jest, aby mieć jasność co do równoważności interpretacji PFO i PFO + z odpowiednio MSO i MSO +, a czego nie. Pokazuje, że te dwie pary teorii są równoważne dla większości celów technicznych. Ale samo w sobie nie pokazuje nic o tym, że te dwie pary teorii są równoważne w jakimkolwiek z bardziej wymagających znaczeń, na których często zależy filozofom (takich jak posiadanie tego samego statusu epistemicznego, zaangażowania ontologicznego lub stopnia analityczności). (Na przykład PFO jest równoznaczne z justologią atomowej ekstensjonalności, która filozofom wydaje się być znacznie bardziej problematyczna niż PFO). Aby pokazać, że dwie pary teorii są równoważne pod pewnym filozoficznie ważnym aspektem (F), moglibyśmy trzeba pokazać, że powyższe tłumaczenia zachowują (F) - ness.

2.2 Relacje

Chociaż kwantyfikacja w liczbie mnogiej zapewnia dość naturalną interpretację kwantyfikacji w stosunku do pojęć (monadycznych), nie zapewnia naturalnej interpretacji kwantyfikacji w relacjach (poliadycznych).

To ograniczenie można przezwyciężyć (przynajmniej ze względów technicznych), jeśli istnieje funkcja parowania w odpowiedniej domenie, to znaczy, jeśli istnieje funkcja (pi) taka, że (pi (u, v) = / pi (u ', v')) na wszelki wypadek (u = u ') i (v = v'). Zatem kwantyfikacja na relacjach diadycznych może być reprezentowana przez kwantyfikację liczby mnogiej na uporządkowanych parach. Co więcej, przez iterowane zastosowania funkcji par uporządkowanych możemy przedstawić (n) - krotki, a więc także kwantyfikację na relacjach (n) - adycznych. Pytanie brzmi, jak należy rozumieć tę funkcję parowania. Jedną z opcji jest postępowanie jak w matematyce i po prostu postulowanie istnienia funkcji parowania jako abstrakcyjnego obiektu matematycznego. Jednak ta opcja ma oczywistą wadę polegającą na wyjściu poza to, co większość ludzi jest skłonna nazwać „czystą logiką”. Sprytniejsza opcja,zbadane w Załączniku do Lewisa 1991 oraz w Hazen 1997 i 2000, polega na symulowaniu rozmowy o uporządkowanych parach przy użyciu tylko zasobów, które prawdopodobnie są czysto logiczne. Okazuje się, że rozmowa o parach uporządkowanych może być symulowana w monadycznej logice trzeciego rzędu, przyjmując pewne wiarygodne dodatkowe założenia. Monadyczna logika trzeciego rzędu może być z kolei interpretowana albo w teorii, która łączy kwantyfikację liczby mnogiej z mereologią (Lewis 1991: rozdz. 3; Burgess i Rosen 1997: II. C.1) lub w kategoriach kwantyfikacji liczby mnogiej wyższego poziomu (sekcja 2.4). Monadyczna logika trzeciego rzędu może być z kolei interpretowana albo w teorii, która łączy kwantyfikację liczby mnogiej z mereologią (Lewis 1991: rozdz. 3; Burgess i Rosen 1997: II. C.1) lub w kategoriach kwantyfikacji liczby mnogiej wyższego poziomu (sekcja 2.4). Monadyczna logika trzeciego rzędu może być z kolei interpretowana albo w teorii, która łączy kwantyfikację liczby mnogiej z mereologią (Lewis 1991: rozdz. 3; Burgess i Rosen 1997: II. C.1) lub w kategoriach kwantyfikacji liczby mnogiej wyższego poziomu (sekcja 2.4).

2.3 Konteksty modalne

W kontekstach modalnych pojawia się inny sposób, w jaki rozdzielają się liczby mnogie i kwantyfikacje drugiego rzędu. Często kwestią zależną jest to, czy przedmiot podlega koncepcji. Chociaż noszę buty, być może nie zrobiłbym tego. Jest więc koncepcja (F), pod którą upadam, ale mogłem nie spaść. Z drugiej strony wydaje się, że bycie jednym z niektórych obiektów nigdy nie jest przypadkowe. Weź pod uwagę ludzi (aa), którymi są wszyscy i tylko ludzie aktualnie noszący buty. Zatem nie tylko jestem jedną z tych osób, ale wydaje się to być konieczne (zakładając istnienie odpowiednich obiektów). Usunięcie mnie z tej wielości ludzi spowodowałoby po prostu inną pluralizm. Aby liczba mnoga (aa) była liczbą mnogą, którą jest, musi zawierać dokładnie te przedmioty, które w rzeczywistości obejmuje. Więc w każdym świecie, w którym obiekty (aa) w ogóle istnieją,Muszę być jednym z nich. To prawda, mogłem nie nosić butów. Ale i tak byłbym jednym z (aa), tylko wtedy (aa) nie byliby wszystkimi i tylko ludźmi w butach. Dlatego nazwy i zmienne w liczbie mnogiej wydają się być sztywne w sposób analogiczny do znanej sztywności nazw i zmiennych w liczbie pojedynczej: w każdym świecie, w którym termin w liczbie mnogiej w ogóle oznacza, oznacza te same przedmioty. W szczególności wydaje się, że liczby mnogie podlegają następującym dwóm zasadom:oznacza te same przedmioty. W szczególności wydaje się, że liczby mnogie podlegają następującym dwóm zasadom:oznacza te same przedmioty. W szczególności wydaje się, że liczby mnogie podlegają następującym dwóm zasadom:

(tag {10} u / prec xx / rightarrow / Box (EExists xx / rightarrow u / prec xx)) (tag {11} neg (u / prec xx) rightarrow / Box (EExists u / amp / Eistnieje xx / rightarrow / neg (u / prec xx)))

gdzie (EExists xx) i (EExists u) są odpowiednimi formalizacjami twierdzeń, które istnieją odpowiednio (xx) i (u). [10]

2.4 Wyższe poziomy kwantyfikacji liczby mnogiej?

Jednym ze sposobów wyjścia poza PFO + byłoby dopuszczenie kwantyfikacji do pozycji predykatów, w tym predykatów przyjmujących argumenty w liczbie mnogiej. Spowodowałoby to rozszerzenie, które oznacza PFO + jako zwykłą (pojedynczą) logikę drugiego rzędu, a zwykłą (pojedynczą) logikę pierwszego rzędu. Takie rozszerzenia nie będą tutaj rozważane: czy są one uzasadnione, a jeśli tak, jakie aksjomaty mogą wspierać, ma mniej wspólnego z liczbą mnogą i kwantyfikacją liczby mnogiej, niż z orzeczeniem i kwantyfikacją wartości semantycznych predykatów. [11]

To, co (jest) istotne dla obecnych celów, to to, czy istnieje jakaś forma kwantyfikacji „nadliczbowej”, która jest zwykłą kwantyfikacją liczby mnogiej, tak jak zwykła kwantyfikacja liczby mnogiej, a także kwantyfikacja liczby pojedynczej. Jeśli tak, nazwijmy to kwantyfikacją liczby mnogiej drugiego poziomu. Mówiąc bardziej ogólnie, możemy podjąć próbę wprowadzenia liczby mnogiej na dowolnym skończonym poziomie. Doprowadziłoby to do powstania teorii, która ze względów technicznych przypomina prostą teorię typów (Hazen 1997: 247; Linnebo 2003: sekcja IV; Rayo 2006).

Dość łatwo jest opracować języki formalne i teorie kwantyfikacji liczby mnogiej wyższego poziomu (Rayo 2006). Na przykład, możemy wprowadzić zmienne w postaci xxx, które mają być traktowane jako rozciągające się ponad liczbę mnogą drugiego poziomu, a relację (xx / prec_2) xxx należy rozumieć analogicznie do relacji (x / prec xx). (Zobacz Linnebo i Rayo 2012, aby zapoznać się z rozszerzeniami do poziomów pozaskończonych i porównaniem powstałych teorii ze zwykłą teorią mnogości). Ale czy te formalne teorie kwantyfikacji liczby mnogiej wyższego poziomu mogą być uzasadnione rozważaniami podobnymi do tych, które uzasadniają teorie PFO i PFO + ?

Boolos i wielu innych filozofów zaprzecza, że można w ten sposób uzasadnić kwantyfikację liczby mnogiej wyższego poziomu. Dla tego poglądu podano dwa rodzaje argumentów. Po pierwsze, argumentuje się, że wielość oznacza zawsze wiele rzeczy. Ponieważ jednak kwantyfikacja liczby mnogiej jest ontologicznie niewinna, nie ma takich rzeczy jak liczba mnoga. Nie ma więc nic, co można by zebrać w pluralizm drugiego poziomu (McKay 2006: 46–53 i 137–139). Po drugie, zwykła kwantyfikacja liczby mnogiej jest uzasadniona faktem, że obejmuje pewne narzędzia ilościowe języka angielskiego i innych języków naturalnych. Ale angielski i inne języki naturalne nie zawierają kwantyfikacji liczby mnogiej wyższego poziomu (Lewis 1991: 70–71)

Oba argumenty są kontrowersyjne. Jeśli chodzi o pierwszą, nie jest jasne, dlaczego ontologia miałaby mieć znaczenie dla zasadności kwantyfikacji liczb mnogich wyższego poziomu. Powinno wystarczyć, aby obiekty poziomu podstawowego można było zorganizować na kilka złożonych sposobów. Na przykład pluralizm drugiego poziomu oparty na Cheerios zorganizowany jako oo oo oo nie powinien być bardziej problematyczny ontologicznie niż pluralizm pierwszego poziomu oparty na tych samych obiektach zorganizowanych co oooooo, chociaż ten pierwszy ma dodatkowy poziom struktury lub artykulacji (Linnebo 2003: 87–8).

Drugi z powyższych dwóch argumentów również jest problematyczny. Przede wszystkim twierdzenie, że w języku naturalnym nie ma miejsc w liczbie mnogiej wyższego poziomu, jest prawie na pewno fałszywe. Na przykład w języku islandzkim słowa liczbowe mają liczbę mnogą, która liczy nie pojedyncze przedmioty, ale wiele przedmiotów, które tworzą naturalne grupy. Oto przykład:

einn skór znaczy jeden but
einir skór znaczy jedna para butów
tvennir skór znaczy dwie pary butów

To pozwala nam mówić o parach butów raczej jako o zbiorowości na drugim poziomie niż o wielu obiektach pierwszego poziomu, takich jak pary. Dla przykładu w języku angielskim rozważ grę wideo, w której dowolna liczba (n) drużyn może rywalizować na zasadzie (n) - sposób. W takim razie następujące zdanie wydaje się zawierać termin nadliczbowy:

(12) Ci ludzie, ci ludzie i ci inni ludzie konkurują ze sobą. (Linnebo i Nicolas 2008)

(Zobacz także Oliver i Smiley 2004: 654–656 i 2005: 1063; Ben-Yami 2013; i Simons 2016)

Co więcej, sam pomysł, że o zasadności kwantyfikacji liczby mnogiej wyższego poziomu decyduje istnienie lub brak miejsc w liczbie mnogiej wyższego poziomu w języku angielskim i innych językach naturalnych jest problematyczny (Hazen 1993: 138 i 1997: 247; Linnebo 2003: 87; Rayo 2006). To, co naprawdę ma znaczenie, to przypuszczalnie to, czy możemy powtórzyć zasady i rozważania, na których opiera się nasze rozumienie zwykłej kwantyfikacji liczby mnogiej pierwszego poziomu: jeśli możemy, to kwantyfikacja liczby mnogiej wyższego poziomu będzie uzasadniona w taki sam sposób, jak zwykła kwantyfikacja liczby mnogiej pierwszego poziomu. liczba mnoga; a jeśli nie, to nie. Tak więc, nawet gdyby nie było miejsc w liczbie mnogiej wyższego poziomu w językach naturalnych,dostarczyłoby to niewiele lub żadnego dowodu na silniejsze - i filozoficznie bardziej interesujące - twierdzenie, że nie może być iteracji przejścia od liczby pojedynczej do liczby mnogiej w żadnym języku używanym przez inteligentnych agentów. Co więcej, wszelkie tego rodzaju dowody można by obalić, wskazując na niezależne powody, dla których w językach naturalnych jest niewiele miejsc w liczbie mnogiej wyższego poziomu. Jednym z takich niezależnych powodów może być po prostu to, że zwykli mówcy nie przejmują się zbytnio swoimi zobowiązaniami ontologicznymi i dlatego wygodniej jest wyrażać fakty dotyczące liczby mnogiej drugiego poziomu, zakładając, że przedmioty reprezentują liczby mnogie pierwszego poziomu (na przykład mówiąc o dwóch par butów), a nie śledzenie dodatkowego urządzenia gramatycznego dla liczby mnogiej drugiego poziomu (jak w powyższym przykładzie z islandzkiego).

3. Teza o logiczności

Często twierdzi się, że teorie PFO i PFO + kwalifikują się jako „czysta logika”. Będziemy nazywać to (co prawda niejasne) twierdzeniem tezą o logiczności. Ponieważ odpowiednie języki są interpretowane przez tłumaczenie (Tr) na zwykły angielski, jest to twierdzenie o logiczności pewnych aksjomatów i reguł wnioskowania zwykłego angielskiego. [12]

Jeszcze zanim teza o logiczności zostanie sprecyzowana, możliwe jest oszacowanie jej wiarygodności przynajmniej dla niektórych aksjomatów i reguł wnioskowania PFO i PFO +. Po pierwsze istnieją tautologie i reguły wnioskowania rządzące tożsamością i kwantyfikatorami osobliwymi. Istnieje powszechna zgoda co do tego, że kwalifikują się one jako logiczne. Następnie są reguły wnioskowania rządzące licznymi kwantyfikatorami. Ponieważ reguły te są całkowicie analogiczne do reguł rządzących pojedynczymi kwantyfikatorami, trudno zaprzeczyć, że również one kwalifikują się jako logiczne. Następnie mamy aksjomaty ekstensywności i aksjomat, że wszystkie liczby mnogie są niepuste. Te aksjomaty nie są problematyczne, ponieważ można je wiarygodnie uznać za analityczne. Pozostają aksjomaty ze zrozumieniem w liczbie mnogiej, w których sprawy są znacznie mniej jasne. Ponieważ te aksjomaty nie mają oczywistych pojedynczych odpowiedników,a ich składniowa forma wskazuje, że wysuwają egzystencjalne roszczenia. Nie jest więc oczywiste, że te aksjomaty można uznać za czysto logiczne.

Nie oznacza to, że nie wydało się ludziom oczywistym, że aksjomaty w rozumieniu mnogim są czysto logiczne. Na przykład Boolos twierdzi bez argumentów, że tłumaczenie każdego aksjomatu rozumienia liczby mnogiej na język angielski „wyraża logiczną prawdę, jeśli jakieś zdanie w języku angielskim tak jest” (Boolos 1985b: 342 [1998a: 167]; jego podkreślenie).

Aby ocenić tezę o logiczności w bardziej zasadniczy sposób, trzeba będzie więcej powiedzieć o tym, co może oznaczać, że teoria jest „czysto logiczna”. Dlatego teraz przyjrzę się niektórym cechom, które powszechnie uważa się za odgrywające rolę w takiej definicji. Chociaż ludzie mogą swobodnie używać słowa „logika”, jak im się podoba, ważne jest, aby jasno określić, na czym polegają różne jego zastosowania; w szczególności zakłada się często, że teorie, które kwalifikują się jako czysto logiczne, posiadają szereg pożądanych właściwości filozoficznych, takich jak niewinność epistemiczna i ontologiczna. W następnej sekcji, w której zostaną omówione różne zastosowania kwantyfikacji liczby mnogiej, uważnie odnotuję, jakie szczepy pojęcia logiczności muszą posiadać nasze teorie PFO i PFO +, aby ich różne zastosowania odniosły sukces.

Być może najmniej kontrowersyjnym kandydatem na definiującą cechę logiki jest jej absolutna ogólność. Zasada logiczna obowiązuje w każdym rodzaju dyskursu, bez względu na to, jakich przedmiotów ten dyskurs dotyczy. Na przykład modus ponens obowiązuje nie tylko w fizyce i matematyce, ale także w religii i analizie dzieł literackich. Frege ładnie ujmuje tę ideę, kiedy mówi, że zasada logiczna obowiązuje w „najszerszej dziedzinie ze wszystkich; […] Nie tylko rzeczywiste, nie tylko intuicyjne, ale wszystko do pomyślenia”(Frege 1884: 21). Tak więc, podczas gdy zasady fizyki obowiązują tylko w świecie rzeczywistym i w światach, które są do niego pod względem nomologicznym, zasady logiki rządzą wszystkim, co można sobie wyobrazić. Jeśli zaprzecza się jednej z tych zasad, „następuje całkowity zamęt” (jw.).

Inną cechą powszechnie uważaną za definiującą logikę jest jej formalność: prawdziwość zasady logiki jest gwarantowana przez formę myśli i / lub języka i w żaden sposób nie zależy od jej treści. To, czym będzie ta cecha, będzie oczywiście zależeć od tego, jak rozumiana jest różnica między formą a materią. Najpopularniejsze wyjaśnienie rozróżnienia między formą a materią wywodzi się z powszechnie podzielanego poglądu, że żadne przedmioty nie istnieją z konceptualnej konieczności (Field 1993; Yablo 2000). Z tego punktu widzenia rzeczą naturalną jest traktowanie wszystkiego, co ma związek z istnieniem przedmiotów i ich szczególnymi cechami, jako należące raczej do materii myśli niż do jej formy. Z tego wynikają dwie cechy, które często uważa się za definiujące logikę. Po pierwsze, logika musi być ontologicznie niewinna; to jest,zasada logiki nie może wprowadzać żadnych nowych zobowiązań ontologicznych (Boolos 1997; Field 1984). Po drugie, podstawowe pojęcia logiki nie mogą rozróżniać różnych przedmiotów, ale muszą wszystkie traktować jednakowo. Ta ostatnia idea jest często przedstawiana jako wymóg niezmienności pojęć logicznych w ramach permutacji domeny przedmiotów (Tarski 1986).

Trzecią cechą, którą często uważa się za definiującą logikę, jest jej (rzekomy) prymat poznawczy. Prymitywne pojęcia logiczne muszą być całkowicie zrozumiane, a nasze rozumienie ich musi być bezpośrednie w tym sensie, że nie zależy od lub nie obejmuje rozumienia pojęć, które należy sklasyfikować jako pozalogiczne. Załóżmy na przykład, że pewne zasady teorii zbiorów należy uznać za nielogiczne. W takim razie nasze rozumienie pierwotnych pojęć logicznych nie może zależeć od żadnej z tych zasad ani obejmować.

4. Zastosowania kwantyfikacji liczby mnogiej

Przedstawię teraz niektóre zastosowania teorii PFO i PFO +. W poprzednim rozdziale wyplątano trzy wątki pojęcia logiczności. Szczególna uwaga zostanie zwrócona na pytanie, który z tych trzech szczepów PFO i PFO + musi posiadać, aby aplikacje odniosły sukces.

4.1 Ustalenie logiki monadycznej logiki drugiego rzędu

Jak widzieliśmy w sekcji 2.1, Boolos zdefiniował interpretację teorii MSO monadycznej logiki drugiego rzędu w teorii PFO kwantyfikacji liczby mnogiej. Starał się wykorzystać to tłumaczenie do ustalenia logiki MSO. Będzie to wymagało dwóch kroków. Pierwszym krokiem jest stwierdzenie, że PFO to czysta logika, czyli ustalenie pełnej Tezy o logice (jakkolwiek dokładnie jest ona interpretowana). Drugim krokiem jest argumentacja, że interpretacja MSO w PFO zachowuje logikę.

Niektóre z wyzwań stojących przed pierwszym krokiem zostaną omówione w sekcji 5. Nie należy lekceważyć drugiego kroku. Być może największym zmartwieniem jest tutaj to, że tłumaczenie Boolosa przekształca wyrażenia z jednej kategorii (kategorii orzeczników monadycznych) w kategoriach wyrażeń z innej kategorii (kategorii fraz rzeczownikowych w liczbie mnogiej). Na przykład „… jest jabłkiem” jest oddawane jako „jabłka”. Ale te kategorie są bardzo różne (sekcja 2).

Ponieważ jednak teza, że MSO jest czystą logiką, jest bardzo abstrakcyjna, znaczna część jego wartości pieniężnej będzie leżeć w jego zastosowaniach. Biorąc pod uwagę równoważną interpretowalność MSO i PFO, jest prawdopodobne, że wiele zastosowań logiczności pierwszego może być równie dobrze obsługiwanych przez logiczność drugiego. Zmniejsza to nieco znaczenie wykonania drugiego etapu.

4.2 Logicyzm

Zarówno logicyzm Fregeana, jak i post-Fregean istotnie wykorzystują kwantyfikację drugiego rzędu. Frege zdefiniował różne przedmioty czystej matematyki jako rozszerzenia pojęć, a jego słynne prawo podstawowe V stwierdziło, że dwa pojęcia (F) i (G) mają to samo rozszerzenie, na wypadek gdyby były równoległe:

(tag {V} û / mstop Fu = û / mstop Gu / leftrightarrow / Forall {u} (Fu / leftrightarrow Gu))

Ale jak dobrze wiadomo, paradoks Russella pokazuje, że teoria drugiego rzędu z (V) jako aksjomatem jest niespójna.

Filozofowie próbowali uratować niektóre idee logiki Fregeana, używając aksjomatów słabszych niż (V). Jedną z najważniejszych takich prób jest neologizm Boba Hale'a i Crispina Wrighta, który rezygnuje z teorii rozszerzeń Frege'a, ale trzyma się głównej idei jego definicji liczb kardynalnych, a mianowicie, że liczba (F) s jest identyczna z liczbą (G) s na wypadek, gdyby (F) s i (G) s mogły być skorelowane jeden do jednego. Stało się to znane jako Zasada Hume'a i może być sformalizowane jako

(tag {HP} Nu. Fu = Nu / mstop Gu / leftrightarrow F / ok. G)

gdzie (F / approx G) mówi, że istnieje relacja, że jeden do jednego koreluje (F) s i (G) s. Teoria drugiego rzędu z (HP) jako aksjomatem jest spójna i pozwala nam wyprowadzić całą zwykłą arytmetykę (drugiego rzędu Peano-Dedekinda), używając bardzo naturalnych definicji (patrz wpis o logice, twierdzeniu i podstawach Frege'a Arytmetyka).

Jeszcze skromniejszy jest sublogicyzm Boolosa, który odrzuca ideę (popieraną zarówno przez logików, jak i neologików), że istnieją obiekty logiczne, ale upiera się, że definicja przodka relacji Fregego może być użyta do wykazania, w przeciwieństwie do Kanta, że przynajmniej niektóre nietrywialne matematyki są analityczne (Boolos 1985b). Przypomnijmy, że relacja (R) odnosi się do swojego przodka (Rarel), ponieważ relacja jest rodzicem pozycji do jest przodkiem. (Dokładniej, (Rarel) zachodzi między dwoma obiektami (x) i (y) na wypadek, gdyby (x) i (y) były połączone przez skończoną sekwencję obiektów, z których każdy nosi (R) swojemu następcy.) Frege podaje definicję drugiego rzędu relacji przodków / (Rarel), stwierdzając, że (x) i (y) są powiązane przez (Rarel) na wypadek (y) ma każdą własność, która ma (x) 's (R) - następców i dziedziczona pod relacją (R) -:

(tag {Def (Rarel)} x / Rarel y / leftrightarrow / Forall {F} (Forall {u} (x / Rrel u / rightarrow Fu) amp / Forall {u} (Fu / amp u / Rrel v / rightarrow Fv) rightarrow Fy])

Posługując się tą definicją, Frege 1879 udowadnia pewne nietrywialne prawdy matematyczne, takie jak to, że przodek (Rarel) jest przechodni i że dla każdej relacji funkcjonalnej (R) (R) - przodkowie każdego obiekty są (Rarel) - porównywalne (to znaczy udowodnił: Funkcjonalne ((R) amp x / Rarel y / amp x / Rarel z / rightarrow y / Rarel z / lor z / Rarel y)).

Zasugerowano, aby zastosować PFO w celu uwzględnienia potrzeby logików post-Fregean w zakresie kwantyfikacji drugiego rzędu. Ponieważ przodek predykatu diadycznego można zdefiniować za pomocą tylko monadycznego kwantyfikacji drugiego rzędu, PFO rzeczywiście spełnia logiczne potrzeby podlogiki Boolosa. [13] Ale ponieważ neologicystyczna definicja (F / ok. G) wykorzystuje diadyczną logikę drugiego rzędu, sam PFO nie ma wystarczającej mocy ekspresyjnej, aby zaspokoić potrzeby neologicyzmu. Neologicysta może próbować rozwiązać ten problem, traktując równoliczność jako prymitywny kwantyfikator logiczny lub symulując kwantyfikację dwurzędową drugiego rzędu w jakimś odpowiednim rozszerzeniu PFO, jak omówiono w sekcji 2.2 [14] (patrz Boccuni 2010 dla innej opcji).

Jakie odmiany tezy o logice są potrzebne, aby te aplikacje odniosły sukces? Ponieważ logicy ci próbują wykazać, że części matematyki są analityczne (lub przynajmniej poznawalne a priori), wymagałoby to, aby PFO było analityczne (lub przynajmniej poznawalne a priori), co z kolei prawdopodobnie wymagałoby, aby PFO cieszył się jakąś formą prymat poznawczy. Ponadto PFO musiałby być albo ontologicznie niewinny, albo powierzony tylko podmiotom, których istnienie jest koncepcyjnie konieczne (lub przynajmniej możliwe do ustalenia a priori).

4.3 Teoria zbiorów

Inne zastosowanie tezy o logice dotyczy teorii mnogości. Z różnych powodów można chcieć porozmawiać o zbiorach zbiorów i dokonać ich ilościowego oszacowania (Linnebo 2003: 80–81). Na przykład ktoś może chcieć potwierdzić

(13) Jest kilka zbiorów, które są tylko i wyłącznie zbiorami nie-samoczłonowymi

Jeśli sformalizujemy to jako

(tag {(13 ')} Exists {R} Forall {x} (Rx / leftrightarrow x / not / in x),)

jak należy rozumieć kwantyfikator (istnieje {R})? Oczywiście nie można przyjąć, że zakres obejmuje wszystkie zestawy, ponieważ prowadziłoby to prosto do paradoksu Russella: (13 ') potwierdzałoby wtedy istnienie zestawu Russella. W literaturze dominują trzy inne odpowiedzi.

Pierwsza odpowiedź jest taka, że (exist {R}) zakresy ponad klasami, ale niektóre klasy są zbyt duże (lub w inny sposób nieodpowiednie), aby je ustawić. W szczególności (13) twierdzi, że istnieje klasa Russella, która nie jest zbiorem. Odpowiedź ta została uznana za problematyczną, ponieważ postuluje istnienie różnego rodzaju bytów „podobnych do zbioru” (Boolos 1984: 442 [1998a: 66] i 1998b: 35). Stwierdzono również, że odpowiedź ta jedynie odsuwa w czasie problem, jaki stwarza (13). Bo to też byłoby prawdą

(14) Istnieją pewne klasy, które są wszystkimi i tylko klasami nieposiadającymi się samodzielnie

Jakiego rodzaju bytem byłby ten zbiór klas? Super-klasa? Jeśli tak, będziemy zmuszeni postulować coraz wyższe poziomy zajęć. Lewis (1991: 68) argumentuje, że paradoks Russella jest nadal nieunikniony, ponieważ kiedy rozważamy wszystkie byty typu zbioru, zdajemy sobie sprawę, że prawdą jest, co następuje:

(15) Są pewne rzeczy podobne do zestawu, które są wszystkim i tylko tymi, które nie są samonośne

Jednak Hazen (1993: 141–2) zwrócił uwagę, że zarzut Lewisa narusza istotne ograniczenia typu. Klasy różnych poziomów należą do różnych typów logicznych, podobnie jak koncepcje różnych poziomów. Tak więc próba Lewisa, aby za jednym zamachem porozmawiać o wszystkich podobnych do zbioru bytach, wiąże się z próbą określenia ilościowego dla różnych typów logicznych. Ale to narusza ograniczenia typu w taki sam sposób, jak próba jednoczesnego określenia obiektów i pojęć na wszystkich różnych poziomach. Chociaż możemy określić ilościowo na każdym poziomie klas, nigdy nie możemy jednocześnie określić ilościowo na wszystkich poziomach.

Drugą odpowiedzią jest to, że (13) potwierdza istnienie zbioru (R), ale (R) nie należy do zakresu kwantyfikatora (forall {x}). Uniemożliwia nam to utworzenie instancji kwantyfikatora (forall {x}) w odniesieniu do (R), co oznacza, że nie możemy wyciągnąć fatalnego wniosku, że (R) jest członkiem samego siebie, na wypadek gdyby tak nie było 't. Jednak ta odpowiedź pociąga za sobą to, że kwantyfikator (forall {x}) nie może być wybrany tak, aby obejmował wszystkie zbiory; bo gdyby tak można było wybrać, nie moglibyśmy zaprzeczyć, że (R) jest w tym zakresie kwantyfikacji. Oznacza to, że wszechświat zbiorów ma pewną niewyczerpalność: ilekroć uformujemy koncepcję kwantyfikacji w pewnym zakresie zbiorów, możemy zdefiniować zbiór, który nie mieści się w tym zakresie (Dummett 1981: rozdz. 15 i 1991: rozdz. 24; Glanzberg 2004; Parsons 1977). Jednak,odpowiedź ta była krytykowana za to, że w najlepszym przypadku jest trudna do określenia, aw najgorszym samoobaluje się (Boolos 1998b: 30; Lewis 1991: 68; Williamson 2003: sekcja V). (Zobacz także Rayo i Uzquiano 2006, gdzie znajdują się liczne eseje omawiające, czy możliwa jest absolutnie ogólna kwantyfikacja).

Ze względu na trudności związane z pierwszymi dwiema odpowiedziami, trzecia odpowiedź stała się popularna w ostatnich latach (Boolos 1984 i 1985a; Burgess 2004; Cartwright 2001; Rayo i Uzquiano 1999; Uzquiano 2003). Chodzi o to, że kwantyfikator (istnieje {R}) jest kwantyfikatorem liczby mnogiej (i dlatego lepiej byłby zapisać jako (istnieje {rr})) i że kwantyfikacja liczby mnogiej jest ontologicznie niewinna. Dlatego (13) nie stwierdza istnienia żadnej „podobnej do zbioru” jednostki ponad i ponad zbiorami w zakresie kwantyfikatora (forall {x}). Ale jak zobaczymy w sekcji 5, twierdzenie o niewinności ontologicznej jest kontrowersyjne.

4.4 Nominalizm matematyczny

Niektóre z najpopularniejszych zastosowań kwantyfikacji liczby mnogiej dotyczą ekonomii ontologicznej. Chodzi o to, aby zapłacić cenę ontologiczną za zwykłą teorię pierwszego rzędu, a następnie użyć kwantyfikacji liczby mnogiej, aby otrzymać za darmo (teorię z mocą) odpowiadającą jej monadyczną teorię drugiego rzędu. Byłaby to oczywiście okazja ontologiczna. Aplikacje tego rodzaju dzielą się na dwie główne klasy, które zostaną omówione w tej podsekcji i następnej.

Jedna klasa zastosowań kwantyfikacji liczby mnogiej ma na celu osiągnięcie ontologicznych korzyści w filozofii matematyki. W szczególności wielu filozofów próbowało użyć liczby mnogiej jako składnika nominalistycznych interpretacji matematyki. Dobrym przykładem jest nominalizm modalny Geoffreya Hellmana, zgodnie z którym twierdzenia matematyczne związane z istnieniem obiektów abstrakcyjnych mają zostać wyeliminowane na rzecz twierdzeń o możliwym istnieniu przedmiotów konkretnych. Na przykład, zamiast twierdzić, jak robi to platonista, że istnieje nieskończony zbiór abstrakcyjnych obiektów spełniających aksjomaty arytmetyki Peano (a mianowicie liczby naturalne), Hellman twierdzi, że może istnieć nieskończony zbiór konkretnych obiektów powiązanych tak spełniają te aksjomaty (Hellman 1989 i 1996). Jednak,nawet to twierdzenie modalne zdaje się mówić o zbiorach konkretnych obiektów i relacjach między nimi. Aby uniknąć zarzutu, że przemyca to tylnymi drzwiami abstrakcyjne obiekty, takie jak zbiory, Hellman potrzebuje alternatywnej, nominalistycznie akceptowalnej interpretacji tego opowiadania o kolekcjach i relacjach. Taką interpretację może dać kwantyfikacja w liczbie mnogiej.

Aby to zastosowanie kwantyfikacji liczby mnogiej zadziałało, PFO musi być stosowane do wszystkich rodzajów konkretnych obiektów i musi być ontologicznie niewinne lub przynajmniej nie może być przypisane żadnym podmiotom, które mają te same cechy abstrakcyjnych obiektów, które są nominalistycznie niepożądane. Co więcej, aby zasymulować kwantyfikację relacji, potrzebujemy nie tylko PFO, ale teorii bardziej podobnej do monadycznej logiki trzeciego rzędu (rozdziały 2.2 i 2.4).

4.5 Eliminowanie złożonych obiektów

Inna klasa aplikacji ma na celu wyeliminowanie zobowiązań nauki i zdrowego rozsądku wobec (niektórych lub wszystkich) złożonych obiektów. Na przykład, zamiast stosować zwykłą liczbę pojedynczą w odniesieniu do stołów i krzeseł, proponuje się, abyśmy stosowali kwantyfikację liczby mnogiej w odniesieniu do atomów mereologicznych ułożonych na stole lub na stole (Dorr i Rosen 2002; Hossack 2000; van Inwagen 1990). Na przykład, zamiast mówić, że w gabinecie jest krzesło, należy powiedzieć, że w biurze są atomy ułożone według krzesła. Wydaje się, że w ten sposób unikamy angażowania się w istnienie krzesła. Zauważ, że takie analizy wymagają PFO +, a nie tylko PFO, ponieważ nowe predykaty „są ułożone (F) - mądre” nie są dystrybutywne.

Odłóżmy na bok czysto metafizyczne obawy o takie analizy, które nie mają związku z naszą obecną troską. Chcielibyśmy wiedzieć, jakie wymagania te analizy stawiają przed teorią PFO +, w szczególności, jakie szczepy tezy o logice są potrzebne. Najbardziej oczywiste wymagania są takie, że PFO + ma zastosowanie do wszystkich rodzajów prostych obiektów i że jest ontologicznie niewinny, a przynajmniej nie dotyczy złożonych obiektów tego rodzaju, które mają być wyeliminowane.

Mniej oczywiste żądanie wiąże się na przykład z potrzebą analizy zwykłej kwantyfikacji liczby mnogiej na złożonych obiektach

(16) Jest kilka krzeseł ułożonych w okrąg

Już „zużyliśmy” zwykłą kwantyfikację i predykcję liczby mnogiej, aby wyeliminować pozorne przywiązanie do poszczególnych krzeseł (Uzquiano 2004). Tak więc, aby przeanalizować (16), będziemy potrzebować czegoś w rodzaju kwantyfikacji „super-liczby mnogiej” - kwantyfikacji, która oznacza zwykłą kwantyfikację liczby mnogiej, tak jak zwykła kwantyfikacja liczby mnogiej, a także liczby pojedynczej - i odpowiadającego orzeczenia nie-dystrybucyjnego. Legalność takich zasobów językowych została omówiona w sekcji 2.4.

5. Niewinność ontologiczna?

Tradycyjny pogląd filozofii analitycznej głosi, że wszystkie lokucje w liczbie mnogiej powinny być parafrazowane, jeśli zajdzie taka potrzeba, przez kwantyfikację na zbiorach (sekcja 1). George Boolos i inni sprzeciwiają się temu, że eliminowanie miejsc w liczbie mnogiej jest zarówno nienaturalne, jak i niepotrzebne. Doprowadziło to do teorii PFO i PFO +. Zwolennicy kwantyfikacji liczby mnogiej twierdzą, że teorie te pozwalają na sformalizowanie liczby mnogiej w sposób zasadniczo odmienny od starych parafraz teorii mnogości. W szczególności twierdzą, że te teorie są ontologicznie niewinne w tym sensie, że nie wprowadzają żadnych nowych zobowiązań ontologicznych do zbiorów lub jakichkolwiek innych „podobnych do zbioru” bytów poza i ponad pojedynczymi obiektami, które składają się na daną liczbę mnogą. Nazwijmy to ostatnie twierdzenie niewinnością ontologiczną.

Inni filozofowie kwestionują niewinność ontologiczną. Na przykład Michael Resnik wyraża obawy co do rzekomej ontologicznej niewinności formalizacji liczby mnogiej (ref {ex3pprime}) zdania Geacha-Kaplana (3). Gdy (ref {ex3pprime}) jest tłumaczone na angielski zgodnie z instrukcją, brzmi:

((3 '' ')) Są tacy krytycy, że każdy z nich podziwia innego krytyka tylko wtedy, gdy ten drugi jest jednym z nich, różniącym się od pierwszego

Ale ((3 '')), Resnik mówi:

wydaje mi się, że odnosi się do zbiorów dość wyraźnie. Jak inaczej mamy rozumieć wyrażenie „jeden z nich” inaczej niż jako odnoszące się do jakiegoś zbioru i mówiąc, że należy do niego desygnat „jeden”? (Resnik 1988: 77)

Powiązane obawy zostały wyrażone w Hazen 1993, Linnebo 2003, Parsons 1990 i Rouilhan 2002; patrz także Shapiro 1993.

Omówię teraz trzy argumenty przemawiające za niewinnością ontologiczną.

5.1 Argument teorii zbiorów

Pierwszy argument zaczyna się od wezwania nas do rozważenia twierdzenia

(17) Jest kilka zbiorów, które są tylko i wyłącznie zbiorami nie-samoczłonowymi

i przyznaj, że to prawda. Kontynuuje, argumentując, że jeśli wyrażenia w liczbie mnogiej zostałyby przypisane do kolekcji lub jakichkolwiek innych obiektów „podobnych do zestawu”, to prawda (17) prowadziłaby prosto do paradoksu Russella. Czasami uważa się, że jest to argument przemawiający na korzyść niewinności ontologicznej (Boolos 1984: 440–443 [1998a: 64–67]; Lewis 1991: 65–69; McKay 2006: 31–32). Ale w rzeczywistości jest mniej rozstrzygający, niż się wydaje. Jak widzieliśmy w sekcji 4.3, paradoks Russella nastąpi tylko wtedy, gdy wykluczy się dwa alternatywne poglądy. Ponieważ poglądów tych nie można od razu odrzucić, pozostaje wiele pracy, zanim ten argument będzie można uznać za rozstrzygający.

5.2 Niepoprawny argument o orzeczeniu

Drugi argument jest ładnie podsumowany przez uwagę Boolosa, że „To szaleństwo myśleć, że kiedy masz trochę Cheerios, jesz zestaw” (1984: 448–9 [1998a: 72]). To, co sugeruje Boolos, to fakt, że analizy, które zaprzeczają niewinności ontologicznej, mogą błędnie potraktować temat orzekania w liczbie mnogiej.

Oczywistą odpowiedzią jest interpretacja predykatów liczby mnogiej w sposób zapewniający, że to, co jemy, jest elementami zbioru, a nie samym zestawem. Rozważ zdanie:

(18) George Boolos zjadł kilka Cheerios na śniadanie 1 stycznia 1985 roku

Gdy dopełnienie czasownika „zjadł” jest w liczbie mnogiej, możemy na przykład zinterpretować czasownik za pomocą relacji x ate-the-elements-of y.

Będzie można zarzucić, że ta odpowiedź powoduje, że czasownik „zjadł” jest w niewiarygodny sposób niejednoznaczny (Oliver i Smiley 2001). Gdy bowiem czasownik ma dopełnienie bezpośrednie, czyli liczbę pojedynczą, będzie on prawdopodobnie interpretowany za pomocą zwykłej relacji x ate y. Istnieją jednak dość mocne dowody na to, że czasownik „zjadł” nie jest w ten sposób dwuznaczny. Na przykład, jednym ze skutków niejednoznaczności jest zakazanie pewnych rodzajów wielokropka. Przykładem jest niejednoznaczność słów „zrobić” w „zrobić śniadanie” i „ułożyć plan”, co uniemożliwia stosowanie następujących wielokropków:

(* 19) Boolos zrobił śniadanie, ale jego gość to tylko plan

Jeśli więc słowo „zjadło” było niejednoznaczne w opisany powyżej sposób, niedozwolone byłyby również następujące wielokropki, którymi nie jest:

(20) Boolos zjadł trochę Cheerios, ale jego gość, tylko jabłko

Nie jest jednak jasne, czy powyższa odpowiedź na argument Boolosa wymaga zaangażowania w takie problematyczne niejasności. Możemy na przykład pozwolić, aby wszystkie predykaty przyjmowały jako argumenty liczbę mnogą. Czasownik „zjadł” będzie wówczas zawsze interpretował jako swoją interpretację relację elementy-elementów-x zjadły-elementy-y, usuwając w ten sposób wszelką niejednoznaczność. Niezależnie od tego, czy ta odpowiedź jest ostatecznie do przyjęcia, pokazuje, że sporny argument pozostaje niejednoznaczny.

5.3 Bezpośredni argument

Być może najbardziej popularnym argumentem na rzecz niewinności ontologicznej jest ten, do którego teraz się zwracam. W najprostszej formie argument ten opiera się na naszych intuicjach dotyczących zobowiązań ontologicznych. Kiedy twierdzisz (18), nie masz poczucia, że angażujesz się ontologicznie w zbiór lub jakikolwiek inny rodzaj obiektu podobnego do zbioru. Nie masz też takiego uczucia, kiedy twierdzisz, że zdanie Geacha-Kaplana lub jakiekolwiek inne tłumaczenie zdania PFO lub PFO + na język angielski. A przynajmniej tak się dzieje.

W tej prostej formie argument ten jest podatny na zarzut, że intuicja ludzka jest złą podstawą do rozstrzygania teoretycznych sporów o zobowiązania ontologiczne. Widzieliśmy, że są kompetentni użytkownicy języka angielskiego, tacy jak Michael Resnik, którzy nie podzielają tych intuicji. Co więcej, jak jasno wynika z popularnej analizy zdań Davidsona dotyczących czynności w kategoriach zdarzeń, intuicji zwykłych ludzi na temat zobowiązań ontologicznych nie zawsze można ufać (Davidson 1967). Na przykład ktoś może szczerze twierdzić, że Jan szedł powoli, nie zdając sobie sprawy, że zobowiązał się do zaistnienia zdarzenia (a mianowicie chodzenia, które było prowadzone przez Jana i które było powolne).

Chociaż ten zarzut ma moc, argument można zaostrzyć, podejmując dokładniejsze badanie, jakie formy egzystencjalnego uogólnienia są uzasadnione w przypadku zdania zawierającego wyrażenia w liczbie mnogiej (Boolos 1984: 447 [1998a: 70]; McKay 2006: rozdz. 2; Yi 2002: 7–15 i 2005: 469–472). Na przykład możemy zapytać, czy z (18) można wywnioskować:

(21) Jest taki przedmiot, że Boolos zjadł wszystkie jego składniki (lub składniki) na śniadanie 1 stycznia 1985 roku

Ten wniosek byłby niewątpliwie dość osobliwy. Dowodzi to, że (18) nie jest związany z żadną podobną do zbioru bytem.

Jednak dowody te nie są niepodważalne. Istnieją bowiem analogiczne wnioski, które wydają się całkiem naturalne. Na przykład z

(22) Kilku uczniów otoczyło budynek

większość osób posługujących się językiem angielskim byłaby całkowicie zadowolona z takiego wniosku

(23) Grupa uczniów otoczyła budynek

Być może więc osobliwość wnioskowania od (18) do (21) jest raczej zjawiskiem pragmatycznym niż semantycznym. Być może ma to związek z faktem, że traktowanie niektórych cheerios jako zbioru (lub innego rodzaju bytu w liczbie mnogiej) jest mniej naturalne, niż traktowanie niektórych uczniów jako grupy.

Załóżmy jednak, że obrońcy argumentu bezpośredniego mają rację, że (18) nie pociąga to za sobą (21). Co by nastąpiło? Wynikałoby z tego, że (18) nie pociąga za sobą żadnych dodatkowych zobowiązań ontologicznych, jakie mogą być poniesione przez pojedyncze kwantyfikatory pierwszego rzędu. Jednak wniosek ten nie jest zgodny z oczekiwanym wnioskiem argumentu, że (18) nie pociąga za sobą żadnych dodatkowych zobowiązań ontologicznych. Aby przejść od rzeczywistego wniosku do pożądanego, musielibyśmy dodatkowo założyć, że wszystkie zobowiązania ontologiczne są tego rodzaju, jakie ponoszą pojedyncze kwantyfikatory pierwszego rzędu. Istnieje jednak wpływowa tradycja filozoficzna, która zaprzecza temu założeniu i zamiast tego utrzymuje, że wszelkiego rodzaju kwantyfikatory pociągają za sobą zobowiązania ontologiczne, a nie tylko pojedyncze pierwszorzędne. [15]Najbardziej znanym przedstawicielem tej tradycji jest Frege, który twierdzi, że kwantyfikatory drugiego rzędu są związane z pojęciami, tak jak pojedyncze kwantyfikatory pierwszego rzędu są przypisywane obiektom. Ta tradycja bardzo ściśle wiąże pojęcie zaangażowania ontologicznego z pojęciem wartości semantycznej. Będzie to temat następnego i ostatniego podrozdziału.

5.4 Wartości semantyczne i zobowiązania ontologiczne

W semantyce powszechnie przyjmuje się, że każdy składnik złożonego wyrażenia ma określony wkład w znaczenie złożonego wyrażenia. Ten wkład jest znany jako wartość semantyczna wyrażenia składowego. Zakłada się również, że znaczenie wyrażenia złożonego jest funkcjonalnie określone przez wartości semantyczne wyrażeń składowych i ich syntaktyczny tryb kompozycji. To założenie jest znane jako kompozycyjność.

Według Fregego wartość semantyczna zdania jest po prostu jego wartością prawdziwą, a wartość semantyczna nazwy własnej jest jego odniesieniem (tj. Przedmiotem, do którego się odnosi). Po ustaleniu wartości semantycznych przypisanych zdaniom i nazwom własnym łatwo jest określić, jakie rodzaje wartości semantycznej należy przypisać wyrażeniom z innych kategorii syntaktycznych. Na przykład wartość semantyczna predykatu monadycznego będzie musiała być funkcją od obiektów do wartości-prawdy. Frege nazywa takie funkcje koncepcjami.

Jako przykład rozważmy proste zdanie podmiotowo-orzecznikowe

(24) Sokrates jest śmiertelny

Logiczną formą (24) jest (mathbf {M} (mathbf {s})), gdzie (mathbf {M}) to predykat „jest śmiertelny”, a (mathbf {s}) jest terminem pojedynczym „Sokrates”. Napiszmy ((mathbf {E})] dla wartości semantycznej wyrażenia (mathbf {E}). Zgodnie z poprzednim punktem wartości semantyczne odnoszące się do (24) są następujące:

(25) ((mathbf {s}] = / textrm {Sokrates})

(26) ((mathbf {M}] =) funkcja (f) z obiektów do wartości-prawdy taka, że (f (x)) jest prawdą, jeśli (x) jest śmiertelne i W przeciwnym razie (f (x)) jest fałszem

Wartość prawdziwości (24) jest zatem określona jako

(27) [(24)] (= (mathbf {M} (mathbf {s})] = (mathbf {M}] ((mathbf {s}]) = f (textrm {Sokrates}) =) prawda (jeśli Sokrates jest śmiertelny) lub fałsz (inaczej)

Frege uznał związek między wartościami semantycznymi a zobowiązaniami ontologicznymi za bardzo bliski. W powyższej analizie, (24) obsługuje dwa rodzaje egzystencjalnych uogólnień: nie tylko do (Exists {x} mstop / mathbf {M} (x)) (co jest prawdą na wypadek, gdyby istniał jakiś obiekt, który jest śmiertelny), ale także (Exists {F} mstop F (s)) (co jest prawdą na wypadek, gdyby istniało jakieś pojęcie, pod którym Sokrates upada). Według Frege pokazuje to, że zdania takie jak (24) są ontologicznie związane nie tylko z przedmiotem, ale także z pojęciem.

Dla obecnych celów liczy się nie prawda lub fałsz twierdzenia Fregego o pojęciach, ale to, czy tego rodzaju przekonujący argument można rozwinąć dla wyrażeń w liczbie mnogiej. Aby to zbadać, rozważmy proste nierozdzielcze orzeczenie liczby mnogiej, takie jak

(28) Te jabłka tworzą okrąg

Logiczną formą (28) wydaje się być (mathbf {C} (mathbf {aa})), gdzie (mathbf {C}) jest predykatem „formuj okrąg”, a (mathbf {aa}) to termin „te jabłka” w liczbie mnogiej. (Jeśli myślisz, że demonstracja złożonej liczby mnogiej ma wewnętrzną strukturę semantyczną, użyj zamiast niej nazwy w liczbie mnogiej, która odnosi się bezpośrednio do jabłek, o których mowa). Naturalny pogląd będzie wówczas wyglądał następująco.

(29) ((mathbf {aa}] = a_1) i… i (a_n) (gdzie (a_i) to wszystko i tylko pokazane jabłka)

(30) ((mathbf {C}] =) funkcja (g) od liczby mnogiej do wartości prawdy takich, że (g (xx)) jest prawdą, jeśli (xx) tworzy okrąg a (g (xx)) jest fałszem, w przeciwnym razie

Wartość prawdziwości (28) zostanie następnie określona jako

(31) [(28)] (= (mathbf {C} (mathbf {aa})] = (mathbf {C}] ((mathbf {aa}]) = g (a_1) i… i (a_n)) = prawda (jeśli (a_1) i… i (a_n) tworzą okrąg) lub fałsz (w przeciwnym razie)

czego można by się spodziewać, biorąc pod uwagę podobieństwo syntaktyczne między (24) a (28).

Załóżmy, że ta analiza jest poprawna i że każdy termin w liczbie mnogiej ma wartość semantyczną w postaci obiektów, tak jak każdy termin w liczbie pojedynczej ma jeden przedmiot jako wartość semantyczną. Co to będzie oznaczać dla pytania o niewinność ontologiczną? Zgodnie z tradycją Fregean, która łączy pojęcie zaangażowania ontologicznego z pojęciem wartości semantycznej, będzie to oznaczać, że wyrażenia w liczbie mnogiej wiążą się z bytami mnogimi, podobnie jak predykaty pociągają za sobą zaangażowanie w pojęcia. Powiedzieć bowiem, że zdanie wiąże się z bytem w liczbie mnogiej, to po prostu powiedzieć, że prawdziwość zdania wymaga, aby istniała jakaś wartość semantyczna odpowiedniego rodzaju dla wyrażeń w liczbie mnogiej. Jednak ten sposób rozumowania zostanie odrzucony przez innych filozofów,którzy uważają, że pojęcie zaangażowania ontologicznego powinno być powiązane (co najwyżej) z pojedynczymi zmiennymi pierwszego rzędu.

Jak można rozstrzygnąć ten spór? Z jednej strony na korzyść tradycji Fregean może liczyć fakt, że ich pogląd jest wysoce systematyczny. Może być coś ad hoc w idei, że niektóre rodzaje wartości semantycznej powodują powstanie zobowiązań ontologicznych, podczas gdy inne nie. Z drugiej strony, może liczyć się na korzyść alternatywnego poglądu, że lepiej oddaje sprawiedliwość wielu silnie odczuwanym intuicjom, że mnogie lokucje są ontologicznie niewinne.

Inną możliwością jest to, że cała kontrowersja jest ostatecznie tylko pseudo-nieporozumieniem (patrz zwłaszcza Florio i Linnebo 2016, ale także Parsons 1990; Shapiro 1993; Linnebo 2003; Rayo 2007; oraz Linnebo i Rayo 2012). Jeśli obie strony zgadzają się, że wyrażenia w liczbie mnogiej mają wartości semantyczne i jeśli oboje zgadzają się, że zobowiązania do obiektów powstają tylko przez pojedyncze terminy i zmienne pierwszego rzędu, to być może nie ma znaczenia, czy inne rodzaje terminów i zmiennych należy traktować jako wprowadzające ich własne, charakterystyczne rodzaje zaangażowania ontologicznego. Niektórzy filozofowie mówią o zobowiązaniach ideologicznych teorii, a nie tylko o zobowiązaniach ontologicznych. Rozumie się przez to logiczne i koncepcyjne zasoby, które wykorzystuje teoria. Być może dobrze byłoby, gdyby filozofowie skupili się bardziej na kwestiach metafizycznych i epistemologicznych, jakie wynikają z ideologicznych zobowiązań teorii, i nie martwili się, czy te zobowiązania ideologiczne również powinny być traktowane jako wprowadzające charakterystyczny rodzaj zaangażowania ontologicznego. W końcu pojęcie zobowiązania ontologicznego jest pojęciem teoretycznym, a nie takim, które nie ma żadnej ostrej treści poza filozofią. Być może zatem powinniśmy traktować to pojęcie bardziej jako środek prowadzący do osiągnięcia dobrych wyjaśnień filozoficznych, a mniej jako cel sam w sobie.nie taki, który ma jakieś ostre treści poza filozofią. Być może zatem powinniśmy traktować to pojęcie bardziej jako środek prowadzący do osiągnięcia dobrych wyjaśnień filozoficznych, a mniej jako cel sam w sobie.nie taki, który ma jakieś ostre treści poza filozofią. Być może zatem powinniśmy traktować to pojęcie bardziej jako środek prowadzący do osiągnięcia dobrych wyjaśnień filozoficznych, a mniej jako cel sam w sobie.

Bibliografia

  • Armstrong, David, 1978, Universals and Scientific Realism, Vol. 1, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Ben-Yami, Hanoch, 2004, Logic and Natural Language: On Plural Reference and Its Semantic and Logical Sensity, Hants: Ashgate.
  • –––, 2009, „Plural Quantification Logic: A Critical Appraisal”, Review of Symbolic Logic, 2 (1): 208–232. doi: 10.1017 / S1755020309090108
  • –––, 2013, „Higher-Level Plurals Versus Articulated Reference and an Elaboration of Salva Veritate”, Dialectica, 67 (1): 81–102. doi: 10.1111 / 1746-8361.12013
  • Black, Max, 1971, „The Elusiveness of Sets”, Review of Metaphysics, 24 (4): 614–636.
  • Boccuni, Francesca, 2010, „Plural Grundgesetze”, Studia Logica, 96 (2): 315–330. doi: 10.1007 / s11225-010-9281-3
  • Boolos, George, 1984, „Być znaczy być wartością zmiennej (lub być pewnymi wartościami niektórych zmiennych)”, Journal of Philosophy, 81 (8): 430–50; repr. w Boolos 1998a. doi: 10.2307 / 2026308
  • –––, 1985a, „Nominalist Platonism”, Philosophical Review, 94 (3): 327–344; repr. w Boolos 1998a. doi: 10.2307 / 2185003
  • –––, 1985b, „Reading the Begriffsschrift”, Mind, 94 (375): 331–344; repr. w Boolos 1998a. doi: 10.1093 / mind / XCIV.375.331
  • –––, 1997, „Is Hume's Principle Analytic?” w Richard G. Heck, Jr. (red.), Logic, Language, and Thought, Oxford: Oxford University Press; repr. w Boolos 1998a.
  • –––, 1998a, Logika, logika i logika, Richard Jeffrey (red.), Cambridge, MA: Harvard University Press.
  • –––, 1998b, „Reply to Charles Parsons 'Sets and Classes”, w: Boolos 1998a: s. 30–36.
  • Boolos, George, John P. Burgess i Richard C. Jeffrey, 2007, Computability and Logic, wydanie 5, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Bricker, Phillip, 1989, „Quantified Modal Logic and the Plural De Re”, Midwest Studies in Philosophy, 14: 372–394. doi: 10.1111 / j.1475-4975.1989.tb00198.x
  • Büchi, J. Richard, 1962, „On a Decision Method in Restricted Second Order Arithmetic”, w: E. Nagel, P. Suppes i A. Tarski (red.), Logic, Methodology, and Philosophy of Science, Stanford, CA: Stanford University Press, s. 1–11. Przedruk w The Collected Works of J. Richard Büchi, 1990, str. 425–435. doi: 10.1007 / 978-1-4613-8928-6_23
  • Burgess, John P., 2004, „E Pluribus Unum: logika liczby mnogiej i teoria mnogości”, Philosophia Mathematica, 12 (3): 193–221. doi: 10.1093 / philmat / 12.3.193
  • Burgess, John P. i Gideon Rosen, 1997, A Subject with No Object: Strategies for Nominalistic Interpretation of Mathematics, Oxford: Clarendon Press. doi: 10.1093 / 0198250126.001.0001
  • Cartwright, Richard, 2001, „A Question about Sets”, w: Alex Byrne, Robert Stalnaker i Ralph Wedgwood (red.), Fact and Value: Essays on Ethics and Metaphysics for Judith Jarvis Thomson, Cambridge, MA: MIT Press, str., 29–46.
  • Cocchiarella, Nino B., 2002, „On the Logic of Classes as Many”, Studia Logica, 70 (3): 303–338. doi: 10.1023 / A: 1015190829525
  • Davidson, Donald, 1967, „The Logical Form of Action Sentences”, w: The Logic of Decision and Action, Nicholas Rescher (red.), Str. 81–95, Pittsburg: University of Pittsburg Press. Przedruk w jego Essays on Actions and Events, 1980 (kolejne wydanie, 2001: 105–148), Oxford: Clarendon. doi: 10.1093 / 0199246270.003.0006
  • Dorr, Cian i Gideon Rosen, 2002, „Composition as Fiction”, w: Richard M. Gale (red.), The Blackwell Guide to Metaphysics, Oxford: Blackwell, str. 151–174. doi: 10.1002 / 9780470998984.ch8
  • Dummett, Michael, 1981, Frege: Philosophy of Language, 2. wydanie, Cambridge, MA: Harvard University Press.
  • –––, 1991, Frege: Philosophy of Mathematics, Cambridge, MA: Harvard University Press.
  • Field, Hartry, 1984, „Czy wiedza matematyczna to tylko wiedza logiczna?” Przegląd filozoficzny, 93 (4): 509–552. doi: 10.2307 / 2184826
  • –––, 1993, „The Conceptual Contingency of Mathematical Objects”, Mind, 102 (406): 285–299. doi: 10.1093 / mind / 102.406.285
  • Florio, Salvatore, 2014a, „Semantyka i mnogie pojęcie rzeczywistości” Filozofia Imprint, 14 (22): 1–20. [Florio 2014a dostępne online]
  • –––, 2014b, „Untyped Plurism”, Mind, 123 (490): 317–337. doi: 10.1093 / mind / fzu069
  • Florio, Salvatore i Øystein Linnebo, 2016, „On the Innocence and Determinacy of Plural Quantification”, nrûs, 50 (3): 565–583. doi: 10.1111 / nous.12091
  • Florio, Salvatore i Stewart Shapiro, 2014, „Teoria mnogości, teoria typów i absolutna ogólność”, Mind, 123 (489): 157–174. doi: 10.1093 / mind / fzu039
  • Forbes, Graeme, 1989, Języki możliwości, Oxford: Blackwell.
  • Frege, Gottlob, 1879, Begriffsschrift, przetłumaczone w: Jean van Heijenoort (red.), 1967, From Frege to Gödel, Cambridge, MA: Harvard University Press.
  • –––, 1884, Foundations of Arithmetic, przeł. JL Austin, Evanston, IL: Northwestern University Press.
  • –––, 1914, „Logic in Mathematics”, w jego Posthumous Writings, H. Hermes i in. (red.), 1979, Oxford: Blackwell, str. 203–250.
  • Glanzberg, Michael, 2004, „Quantification and Realism”, Philosophy and Phenomenological Research, 69 (3): 541–572. doi: 10.1111 / j.1933-1592.2004.tb00518.x
  • Hazen, AP, 1993, „Against Pluralism”, Australasian Journal of Philosophy, 71 (2): 132–144. doi: 10.1080 / 00048409312345142
  • –––, 1997, „Relations in Lewis's Framework without Atoms”, Analysis, 57 (4): 243–248. doi: 10,1111 / 1467-8284,00082
  • –––, 2000, „Relations in Lewis's Framework without Atoms: a Correction”, Analysis, 60 (4): 351–353. doi: 10.1111 / 1467-8284.00252
  • Hellman, Geoffrey, 1989, Mathematics without Numbers: Towards a Modal-Structural Interpretation, Oxford: Clarendon Press. doi: 10.1093 / 0198240341.001.0001
  • –––, 1996, „Strukturalizm bez struktur”, Philosophia Mathematica, 4 (2): 100–123. doi: 10.1093 / philmat / 4.2.100
  • Hewitt, Simon Thomas, 2012a, „Modalising Plurals”, Journal of Philosophical Logic, 41 (5): 853–875. doi: 10.1007 / s10992-011-9194-2
  • –––, 2012b, „The Logic of Finite Order”, Notre Dame Journal of Formal Logic, 53 (3): 297–318. doi: 10.1215 / 00294527-1716820
  • Higginbotham, James, 1998, „On Higher-Order Logic and Natural Language”, Proceedings of the British Academy, 95: 1–27. [Higginbotham 1998 dostępne online]
  • Hossack, Keith, 2000, „Liczba mnoga i kompleksy”, British Journal for Philosophy of Science, 51 (3): 411–443. doi: 10.1093 / bjps / 51.3.411
  • Klement, Kevin C., 2014, „Early Russell on Types and Plurals”, Journal For The History of Analytical Philosophy, 2 (6): 1–21. doi: 10.15173 / jhap.v2i6.47
  • Landman, Fred, 2000, Events and Plurality, Dordrecht: Kluwer.
  • Lewis, David, 1991, Części zajęć, Oxford: Blackwell.
  • Link, Godehard, 1998, Algebraic Semantics in Language and Philosophy, Stanford, CA: CSLI Publications.
  • Linnebo, Øystein, 2003, „Plural Quantification Exposed”, Noûs, 37 (1): 71–92. doi: 10.1111 / 1468-0068.00429
  • –––, 2016, „Plurals and Modals”, Canadian Journal of Philosophy, 46 (4–5): 654–676. doi: 10.1080 / 00455091.2015.1132975
  • Linnebo, Øystein i David Nicolas, 2008, „Superplurals in English”, Analysis, 68 (3): 186–197. doi: 10.1111 / j.1467-8284.2008.00737.x
  • Linnebo, Øystein i Agustín Rayo, 2012, „Hierarchies Ontological and Ideological”, Mind, 121 (482): 269–308. doi: 10.1093 / mind / fzs050
  • Lønning, Jan Tore, 1997, „Plurals and Collectivity”, w: J. van Bentham i A. ter Meulen (red.), Handbook of Logic and Language, Amsterdam: Elsevier, str. 1009–1054.
  • McKay, Thomas, 2006, przewidywanie liczby mnogiej, Oxford: Oxford University Press. doi: 10.1093 / acprof: oso / 9780199278145.001.0001
  • Morton, Adam, 1975, „Complex Individuals and Multigrade Relations”, nrûs, 9 (3): 309–318. doi: 10.2307 / 2214634
  • Nicolas, David, 2008, „Rzeczowniki masowe i logika liczby mnogiej”, Lingwistyka i filozofia, 31 (2): 211–244. doi: 10.1007 / s10988-008-9033-2
  • Oliver, Alex and Timothy Smiley, 2001, „Strategies for a Logic of Plurals”, Philosophical Quarterly, 51 (204): 289–306. doi: 10.1111 / j.0031-8094.2001.00231.x
  • –––, 2004, „Multigrade Predicates”, Mind, 113 (452): 609–681. doi: 10.1093 / mind / 113.452.609
  • –––, 2005, „Plural Descriptions and Many-Valued Functions”, Mind, 114 (456): 1039–1068. doi: 10.1093 / mind / fzi1039
  • Parsons, Charles, 1977, „What Is the Iterative Conception of Set?”, W: Logic, Foundations of Mathematics, and Computability Theory, Robert E. Butts i Jaakko Hintikka (red.), Dordrecht / Boston: D. Reidel, str. 335 –367. Przedrukowano w Paul Benacerraf i Hilary Putnam (red.), Philosophy of Mathematics: Selected Readings, wydanie 2, 1983, Cambridge: Cambridge University Press, str. 503–529. doi: 10.1007 / 978-94-010-1138-9_18 i doi: 10.1017 / CBO9781139171519.027
  • –––, 1990, „Strukturalistyczny pogląd na obiekty matematyczne”, Synthese, 84 (3): 303–346. doi: 10.1007 / BF00485186
  • Quine, WV, 1973, Roots of Reference, La Salle, IL: Open Court.
  • –––, 1982, Methods of Logic, wydanie 4, Cambridge, MA: Harvard University Press
  • –––, 1986, Philosophy of Logic, wydanie 2, Cambridge, MA: Harvard University Press
  • Rayo, Agustín, 2002, „Word and Objects”, nrûs, 36 (3): 436–464. doi: 10.1111 / 1468-0068.00379
  • –––, 2006, „Beyond Plurals”, w Rayo i Uzquiano 2006: 220–254.
  • –––, 2007, „Liczba mnoga”, Kompas filozoficzny, 2 (3): 411–427. doi: 10.1111 / j.1747-9991.2007.00060.x
  • Rayo, Agustín i Gabriel Uzquiano, 1999, „Toward a Theory of Second-Order Consequence”, Notre Dame Journal of Formal Logic, 40 (3): 315–325. doi: 10.1305 / ndjfl / 1022615612
  • –––, 2006 (red.), Absolute Generality, Oxford: Oxford University Press.
  • Rayo, Agustín i Stephen Yablo, 2001, „Nominalism through De-Nominalization”, nrûs, 35 (1): 74–92. doi: 10.1111 / 0029-4624.00288
  • Resnik, Michael, 1988, „Logika drugiego rzędu wciąż dzika”, Journal of Philosophy, 85 (2): 75–87. doi: 10.2307 / 2026993
  • Rouilhan, Philippe de, 2002, „On What There Are”, Proceedings of the Aristotelian Society, 102 (1): 183–200. doi: 10.1111 / j.0066-7372.2003.00049.x
  • Rumfitt, Ian, 2005, „Plural Terms: Another Variety of Reference?” w José Luis Bermudez (red.), Myśl, odniesienie i doświadczenie: tematy z filozofii Garetha Evansa, Oxford: Oxford University Press, s. 84–123. doi: 10.1093 / acprof: oso / 9780199248964.003.0004
  • Russell, Bertrand, 1903, Principles of Mathematics, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Schein, Barry, 1993, liczba mnoga i wydarzenia, Cambridge, MA: MIT Press.
  • –––, 2006, „Plurals”, w: Ernest Lepore i Barry C. Smith (red.), Oxford Handbook of Philosophy of Language, Oxford: Oxford University Press, s. 716–767. doi: 10.1093 / oxfordhb / 9780199552238.003.0029
  • Shapiro, Stewart, 1991, Foundations without Foundationalism: A Case for Second-Order Logic, Oxford: Clarendon. doi: 10.1093 / 0198250290.001.0001
  • –––, 1993, „Modality and Ontology”, Mind, 102 (407): 455–481. doi: 10.1093 / mind / 102.407.455
  • Simons, Peter, 1982, „Plural Reference and Set Theory”, w: Barry Smith (red.), Parts and Moments: Studies in Logic and Formal Ontology, Monachium: Philosophia Verlag, str. 199–260. [Simons 1982 dostępny online]
  • –––, 1997, „Higher-Order Quantification and Ontological Commitment”, Dialectica, 51 (4): 255–271. doi: 10.1111 / j.1746-8361.1997.tb00032.x
  • –––, 2016, „The Ontology and Logic of Higher-Order Multitudes”, w: Massimiliano Carrara, Alexandra Arapinis i Friederike Moltmann (red.), Unity and Plurality: Logic, Philosophy, and Linguistics, Oxford: Oxford University Press, str., 55–69. doi: 10.1093 / acprof: oso / 9780198716327.003.0004
  • Stenius, Eric, 1974, „Sets”, Synthese, 27 (1–2): 161–188. doi: 10.1007 / BF00660894
  • Tarski, Alfred (i John Corcoran, tłum.), 1986, „What Are Logical Notions?”, History and Philosophy of Logic, 7 (2): 143–154. doi: 10.1080 / 01445348608837096
  • Taylor, Barry i AP Hazen, 1992, „Flexably Structured Predication”, Logique et Analyze, 35 (139–140): 375–393.
  • Uzquiano, Gabriel, 2003, „Plural Quantification and Classes”, Philosophia Mathematica, 11 (1): 67–81. doi: 10.1093 / philmat / 11.1.67
  • –––, 2004, „Liczba mnoga i proste”, Monist, 87 (3): 429–451. doi: 10.5840 / monist200487324
  • –––, 2011, „Plural Quantification and Modality”, Proceedings of the Aristotelian Society, 111 (2_pt_2): 219–250. doi: 10.1111 / j.1467-9264.2011.00307.x
  • van Inwagen, Peter, 1990, Materialne istoty, Ithaca, NY: Cornell University Press.
  • Williamson, Timothy, 2003, „Everything”, Philosophical Perspectives, 17: 415–465. doi: 10.1111 / j.1520-8583.2003.00017.x
  • –––, 2010, „Necessitism, Contingentism, and Plural Quantification”, Mind, 119 (475): 657–748. doi: 10.1093 / mind / fzq042
  • –––, 2016, „Reply to Linnebo”, Canadian Journal of Philosophy, 46 (4–5): 677–682. doi: 10.1080 / 00455091.2016.1205856
  • Yablo, Stephen, 2000, „Apriority and Existence”, w: Paul Boghossian i Christopher Peacocke (red.), New Essays on the A Priori, Oxford: Oxford University Press, s. 197–228. doi: 10.1093 / 0199241279.003.0009
  • Yi, Byeong-Uk, 1999, „Is Two a Property?” Journal of Philosophy, 96 (4): 163–190. doi: 10.2307 / 2564701
  • –––, 2002, Understanding the Many, Nowy Jork, NY: Routledge.
  • –––, 2005, „Logika i znaczenie liczby mnogiej, część I”, Journal of Philosophical Logic, 34 (5): 459–506. doi: 10.1007 / s10992-005-0560-9
  • –––, 2006, „Logika i znaczenie liczby mnogiej, część II”, Journal of Philosophical Logic, 35 (3): 239–288. doi: 10.1007 / s10992-005-9015-6

Narzędzia akademickie

człowiek ikona
człowiek ikona
Jak cytować ten wpis.
człowiek ikona
człowiek ikona
Zobacz wersję PDF tego wpisu w Friends of the SEP Society.
ikona Inpho
ikona Inpho
Poszukaj tego tematu wpisu w Internet Philosophy Ontology Project (InPhO).
ikona dokumentów phil
ikona dokumentów phil
Ulepszona bibliografia tego wpisu na PhilPapers, z linkami do jego bazy danych.

Inne zasoby internetowe

PhilPapers Bibliography on Plural Quantification

[Prosimy o kontakt z autorem z sugestiami.]