Logika Uzasadnienia

Spisu treści:

Logika Uzasadnienia
Logika Uzasadnienia

Wideo: Logika Uzasadnienia

Wideo: Logika Uzasadnienia
Wideo: Логика 21. Энтимемы 2024, Marzec
Anonim

To jest plik w archiwum Stanford Encyclopedia of Philosophy. Informacje o autorze i cytacie | Podgląd PDF znajomych | Wyszukiwanie InPho | Bibliografia PhilPapers

Logika uzasadnienia

Po raz pierwszy opublikowano 22 czerwca 2011; rewizja merytoryczna śr 20.07.2011

Możesz powiedzieć: „Wiem, że Abraham Lincoln był wysokim mężczyzną.”Z kolei możesz zostać zapytany, skąd wiesz. Prawie na pewno nie odpowiedziałbyś semantycznie, w stylu Hintikki, że Abraham Lincoln był wysoki we wszystkich sytuacjach zgodnych z twoją wiedzą. Zamiast tego prawdopodobnie powiesz: „Czytałem o wzroście Abrahama Lincolna w kilku książkach i widziałem jego zdjęcia obok innych ludzi. „Potwierdza się wiedzę, podając powód, uzasadnienie. Semantyka Hintikka ujmuje wiedzę jako prawdziwe przekonanie. Logika usprawiedliwienia dostarcza brakującego trzeciego składnika charakteryzowania wiedzy przez Platona jako uzasadnionego prawdziwego przekonania.

  • 1. Dlaczego logika usprawiedliwienia?

    • 1.1 Tradycja epistemiczna
    • 1.2 Tradycja logiki matematycznej
  • 2. Podstawowe komponenty logiki justowania

    • 2.1 Język logiki usprawiedliwiania
    • 2.2 Logika podstawowego uzasadnienia J 0
    • 2.3 Świadomość logiczna i stałe specyfikacje
    • 2.4 Faktyczność
    • 2.5 Pozytywna introspekcja
    • 2.6 Negatywna introspekcja
  • 3. Semantyka

    • 3.1 Potencjalne światowe modele uzasadnienia dla jednego agenta dla J.
    • 3.2 Słaba i silna kompletność
    • 3.3 Rodzina z jednym agentem
    • 3.4 Modele usprawiedliwienia dla jednego świata
  • 4. Twierdzenia o realizacji
  • 5. Uogólnienia

    • 5.1 Mieszanie wiedzy jawnej i niejawnej
    • 5.2 Możliwe modele usprawiedliwienia na świecie z wieloma agentami
  • 6. Przykład Russella: fakt indukowany
  • 7. Autoreferencyjność uzasadnień
  • 8. Kwantyfikatory w logice justowania
  • 9. Notatki historyczne
  • Bibliografia
  • Narzędzia akademickie
  • Powiązane wpisy
  • Inne zasoby internetowe

1. Dlaczego logika usprawiedliwienia?

Logiki uzasadnienia są logikami epistemicznymi, które pozwalają na „rozwinięcie” wiedzy i modalności przekonań w terminach uzasadniających: zamiast □ X pisze się t: X i odczytuje to jako „X jest uzasadnione z powodu t”. Można myśleć o tradycyjnych operatorach modalnych jako o niejawnych modalnościach, a terminy uzasadniające jako o ich wyraźnych opracowaniach, które uzupełniają logikę modalną o drobnoziarnistą maszynerię epistemiczną. Rodzina terminów uzasadniających ma strukturę i operacje. Wybór operacji prowadzi do różnych logik uzasadnienia. W przypadku wszystkich powszechnych logik epistemicznych ich modalności można całkowicie rozwinąć w wyraźną formę uzasadnienia. Pod tym względem Logika Uzasadnienie ujawnia i wykorzystuje wyraźną, ale ukrytą treść tradycyjnej epistemicznej logiki modalnej.

Logika uzasadnienia powstała jako część udanego projektu mającego na celu zapewnienie konstruktywnej semantyki dla intuicjonistycznych terminów uzasadniających logikę, która usunęła wszystkie oprócz najbardziej podstawowych cech dowodów matematycznych. Dowody są uzasadnieniami w być może najczystszej postaci. Następnie logiki uzasadnienia zostały wprowadzone do formalnej epistemologii. W artykule przedstawiono ogólny zakres logik uzasadnienia w aktualnie rozumianym rozumieniu. Omawia ich związki z konwencjonalnymi logikami modalnymi. Oprócz maszynerii technicznej artykuł bada, w jaki sposób użycie wyraźnych terminów uzasadniających rzuca światło na szereg tradycyjnych problemów filozoficznych. Temat jako całość jest nadal aktywnie rozwijany. To, co jest tutaj przedstawione, jest jego migawką w momencie pisania.

Korzenie logiki uzasadnienia sięgają wielu różnych źródeł, z których dwa są szczegółowo omówione: epistemologia i logika matematyczna.

1.1 Tradycja epistemiczna

Właściwości wiedzy i przekonań były przedmiotem logiki formalnej przynajmniej od czasów von Wrighta i Hintikki (Hintikka 1962, von Wright 1951). Wiedza i wiara są traktowane jako modalności w sposób, który jest teraz bardzo dobrze znany - logika epistemiczna. Ale z trzech kryteriów Platona dotyczących wiedzy, uzasadnionej, prawdziwej wiary (Gettier 1963, Hendricks 2005), logika epistemiczna działa naprawdę tylko z dwoma z nich. Możliwe światy i model nierozróżnialności - wierzy się, że w każdych okolicznościach jest to możliwe. Faktowość wnosi do gry składnik poprawności - jeśli coś nie jest takie w rzeczywistym świecie, nie można tego wiedzieć, tylko w to uwierzyć. Ale nie ma reprezentacji dla warunku uzasadnienia. Niemniej jednak,podejście modalne odniosło niezwykły sukces, umożliwiając rozwój bogatej teorii matematycznej i zastosowań (Fagin, Halpern, Moses i Vardi 1995, van Ditmarsch, van der Hoek i Kooi 2007). Jednak to nie jest cały obraz.

Modalne podejście do logiki wiedzy jest w pewnym sensie zbudowane wokół uniwersalnego kwantyfikatora: X jest znane w sytuacji, gdy X jest prawdziwe we wszystkich sytuacjach nie do odróżnienia od tej. Z drugiej strony uzasadnienia wprowadzają na obraz egzystencjalny kwantyfikator: X jest znane w sytuacji, gdy istnieje uzasadnienie dla X w tej sytuacji. Ta uniwersalna / egzystencjalna dychotomia jest znana logikom - w logikach formalnych istnieje dowód na formułę X wtedy i tylko wtedy, gdy X jest prawdziwe we wszystkich modelach logiki. Uważa się, że modele z natury nie są konstruktywne, a dowody jako rzeczy konstruktywne. Nie można się bardzo pomylić, myśląc o uzasadnieniach w ogólności tak samo jak o dowodach matematycznych. Rzeczywiście, pierwsza logika uzasadnienia została wyraźnie zaprojektowana, aby uchwycić dowody matematyczne w arytmetyce,coś, co zostanie omówione dalej w sekcji 1.2.

W Uzasadnienie Logic, oprócz kategorii formuł, istnieje druga kategoria uzasadnień. Uzasadnienia to terminy formalne, zbudowane ze stałych i zmiennych przy użyciu różnych symboli operacji. Stałe reprezentują uzasadnienia powszechnie akceptowanych prawd - typowych aksjomatów. Zmienne oznaczają nieokreślone uzasadnienia. Różne logiki uzasadnienia różnią się w zależności od tego, które operacje są dozwolone (a także w inny sposób). Jeśli t jest terminem uzasadniającym, a X jest formułą, t: X jest formułą i należy ją czytać:

t jest uzasadnieniem dla X.

Jedną operacją, wspólną dla wszystkich logik justowania, jest aplikacja, napisana jak mnożenie. Chodzi o to, że jeśli s jest uzasadnieniem dla A → B, a t jest uzasadnieniem dla A, to [s ⋅ t] jest uzasadnieniem dla B [1]. Oznacza to, że ogólnie zakłada się ważność następujących elementów:

(1) s:(A → B) → (t: A → [s ⋅ t]: B).

To jest jawna wersja zwykłej dystrybucji operatorów wiedzy i operatorów modalnych ogólnie w implikacjach:

(2) □ (A → B) → (□ A → □ B).

W rzeczywistości wzór (2) stoi za wieloma problemami logicznej wszechwiedzy. Twierdzi, że agent wie wszystko, co wynika z wiedzy agenta, wiedza jest zamknięta pod wpływem konsekwencji. Chociaż poznawalność z zasady, poznawalność jest zamknięta w konsekwencji, tego samego nie można powiedzieć o żadnej wiarygodnej wersji wiedzy rzeczywistej. Rozróżnienie między (1) i (2) można wykorzystać w dyskusji nad paradygmatycznym przykładem Goldmana i Kripkego w Czerwonej Stodole; oto uproszczona wersja historii zaczerpnięta z (Dretske 2005).

Przypuśćmy, że jadę przez okolicę, w której bez mojej wiedzy rozrzucone są stodoły z papier-mache i widzę, że obiekt przede mną to stodoła. Ponieważ mam przed sobą stodołę, uważam, że przedmiot przede mną to stodoła. Nasza intuicja podpowiada, że nie znam stodoły. Ale teraz przypuśćmy, że w okolicy nie ma fałszywych czerwonych stodół, a także zauważam, że obiekt przede mną jest czerwony, więc wiem, że jest tam czerwona stodoła. To zestawienie, bycie czerwoną stodołą, co wiem, pociąga za sobą istnienie stodoły, czego ja nie mam, „jest wstydem”.

W pierwszej formalizacji Przykładu Czerwonej Stodoły, wyprowadzenie logiczne zostanie przeprowadzone zgodnie z podstawową logiką modalną, w której □ jest interpretowane jako modalność „przekonań”. Wówczas niektóre wystąpienia □ zostaną zinterpretowane zewnętrznie jako „wiedza” zgodnie z opisem problemu. Niech B będzie zdaniem „przedmiot przede mną to stodoła”, a R będzie zdaniem „przedmiot przede mną jest czerwony”.

  1. □ B, „Uważam, że przedmiot przede mną to stodoła”;
  2. □ (B ∧ R), „Uważam, że przedmiot przede mną to czerwona stodoła”.

Na metalopoziomie 2 jest w rzeczywistości wiedzą, podczas gdy w opisie problemu 1 nie jest wiedzą.

□ (B ∧ R → B), twierdzenie wiedzy logicznego aksjomatu

W ramach tej formalizacji wydaje się, że domknięcie epistemiczne w jego modalnej postaci (2) jest naruszane: linia 2, □ (B ∧ R) i linia 3, □ (B ∧ R → B) to przypadki wiedzy, podczas gdy □ B (linia 1) nie jest wiedzą. Język modalny nie wydaje się pomagać w rozwiązaniu tego problemu.

Następnie rozważ przykład Czerwonej Stodoły w Logice uzasadnienia, gdzie t: F jest interpretowane jako „ wierzę, że F z powodu t”. Niech u będzie konkretnym, indywidualnym uzasadnieniem dla przekonania, że B i v, dla przekonania, że B ∧ R. Ponadto niech a będzie uzasadnieniem dla logicznej prawdy B ∧ R → B. Następnie lista założeń wygląda następująco:

  1. u: B, „u jest powodem, by sądzić, że przedmiot przede mną to stodoła”;
  2. v:(B ∧ R), 'v to powód, by sądzić, że obiekt przede mną to czerwona stodoła'
  3. a:(B ∧ R → B).

Na metalopoziomie opis problemu stwierdza, że 2 i 3 to przypadki wiedzy, a nie tylko przekonanie, podczas gdy 1 to przekonanie, które nie jest wiedzą. Oto, jak wygląda formalne rozumowanie:

  1. a:(B ∧ R → B) → (v:(B ∧ R) → [a ⋅ v]: B), z zasady (1);
  2. v:(B ∧ R) → [a ⋅ v]: B, z 3 i 4, według logiki zdań;
  3. [a ⋅ v]: B, z 2 i 5, przez logikę zdań.

Zauważ, że wniosek 6 to [a ⋅ v]: B, a nie u: B; epistemiczne zamknięcie utrzymuje się. Rozumując w logice uzasadnienia, wyciągnięto wniosek, że [a ⋅ v]: B jest przypadkiem wiedzy, tj. „Wiem B z powodu a ⋅ v”. Fakt, że u: B nie jest przypadkiem wiedzy, nie psuje zasady domknięcia, ponieważ ta ostatnia domaga się wiedzy specyficznie dla [a ⋅ v]: B. Stąd po zaobserwowaniu czerwonej fasady rzeczywiście znam B, ale ta wiedza nie ma nic wspólnego z 1, która pozostaje raczej przypadkiem wiary niż wiedzy. Formalizacja logiki uzasadnienia rzetelnie przedstawia sytuację.

Uzasadnienie śledzenia przedstawia strukturę Przykładu Czerwonej Stodoły w sposób, który nie jest uchwycony przez tradycyjne epistemiczne narzędzia modalne. Formalizacja logiki uzasadnienia modeluje to, co wydaje się mieć miejsce w takim przypadku; zamknięcie wiedzy pod logicznym skutkiem jest zachowane, mimo że „stodoła” nie jest percepcyjnie znana. [2]

1.2 Tradycja logiki matematycznej

Według Brouwera prawda w matematyce konstruktywnej (intuicjonistycznej) oznacza istnienie dowodu, por. (Troelstra i van Dalen 1988). W latach 1931–34, Heyting i Kołmogorow podali nieformalny opis zamierzonej semantyki opartej na dowodach dla logiki intuicjonistycznej (Kołmogorow 1932, Heyting 1934), która jest obecnie określana jako semantyka Brouwera-Heytinga-Kołmogorowa (BHK). Zgodnie z warunkami BHK formuła jest „prawdziwa”, jeśli ma dowód. Ponadto dowód złożenia oświadczenia jest powiązany z dowodami jego składników w następujący sposób:

  • dowód A ∧ B składa się z dowodu zdania A i dowodu twierdzenia B;
  • dowód A ∨ B jest przedstawiany albo jako dowód A, albo dowód B;
  • dowód A → B jest konstrukcją przekształcającą dowody A w dowody B;
  • fałsz ⊥ to zdanie, na które nie ma dowodu, ¬ A jest skrótem dla A → ⊥.

Kołmogorow jednoznacznie zasugerował, że w jego interpretacji obiekty przypominające dowód („rozwiązania problemów”) pochodzą z matematyki klasycznej (Kołmogorow 1932). Rzeczywiście, z fundamentalnego punktu widzenia nie ma większego sensu rozumienie powyższych „dowodów” jako dowodów w systemie intuicjonistycznym, który te warunki mają określać.

Podstawową wartością semantyki BHK jest to, że nieformalnie, ale jednoznacznie sugeruje ona traktowanie uzasadnień, tutaj dowodów matematycznych, jako obiektów z operacjami.

W (Gödel 1933) Gödel zrobił pierwszy krok w kierunku opracowania rygorystycznej semantyki opartej na dowodach dla intuicjonizmu. Gödel uważał klasyczną logikę modalną S4 za rachunek opisujący właściwości dowodowalności:

  • Aksjomaty i reguły klasycznej logiki zdań;
  • □ (F → G) → (□ F → □ G);
  • □ F → F;
  • □ F → □□ F;
  • Zasada konieczności: jeśli ⊢ F, to ⊢ □ F.

Opierając się na zrozumieniu przez Brouwera prawdy logicznej jako możliwości udowodnienia, Gödel zdefiniował tłumaczenie tr (F) formuły zdaniowej F w języku intuicjonistycznym na język klasycznej logiki modalnej: tr (F) uzyskuje się, poprzedzając każdą podformułę F z potwierdzalnością modalność □. Mówiąc nieoficjalnie, gdy zwykła procedura określania klasycznej prawdziwości wzoru zostanie zastosowana do tr (F), sprawdzi ona możliwość udowodnienia (a nie prawdę) każdego z podformuł F, zgodnie z ideami Brouwera. Z wyników Gödla i prac McKinsey-Tarskiego nad semantyką topologiczną dla logiki modalnej wynika, że tłumaczenie tr (F) zapewnia właściwe osadzenie intuicyjnego rachunku zdań IPC w S4, tj. Osadzenie logiki intuicjonistycznej w logice klasycznej rozszerzone przez operatora sprawdzalności.

(3) Jeśli IPC udowodni F, to S4 udowodni tr (F).

Mimo to pierwotny cel Gödla, jakim było zdefiniowanie logiki intuicjonistycznej w kategoriach klasycznej możliwości udowodnienia, nie został osiągnięty, ponieważ nie ustalono związku S4 ze zwykłym matematycznym pojęciem udowodnienia. Ponadto Gödel zauważył, że prosta idea interpretacji modalności □ F jako F jest możliwa do udowodnienia w danym systemie formalnym T zaprzecza drugiemu twierdzeniu Gödla o niekompletności. Rzeczywiście, □ (□ F → F) można wyprowadzić w S4 za pomocą reguły konieczności z aksjomatu □ F → F. Z drugiej strony, interpretując modalność □ jako predykat formalnego udowodnienia w teorii T i F jako sprzeczność, przekształca tę formułę w fałszywe stwierdzenie, że spójność T jest wewnętrznie udowodniona w T.

Sytuację po (Gödel 1933) można opisać za pomocą poniższego rysunku, na którym „X 'Y” należy czytać jako „X jest interpretowane w Y”

IPC ↪ S4 ↪? ↪ KLASYCZNE DOWODY

Podczas publicznego wykładu w Wiedniu w 1938 roku Gödel zauważył, że używając formatu wyraźnych dowodów:

(4) t jest dowodem na F

może pomóc w interpretacji jego rachunku dowodowalności S4 (Gödel 1938). Niestety, praca Gödla (Gödel 1938) pozostała niepublikowana do 1995 r., Kiedy to logika Gödla jawnych dowodów została już ponownie odkryta i zaksjomatyzowana jako Logika dowodów LP i dostarczyła twierdzeń o kompletności łączących ją zarówno z dowodami S4, jak i klasycznymi (Artemov 1995).

The Logic of Proofs LP stał się pierwszym z rodziny Uzasadnienie Logic. Terminy dowodowe w LP to nic innego jak terminy BHK rozumiane jako klasyczne dowody. W przypadku LP propozycjonistyczna logika intuicyjna otrzymała pożądaną rygorystyczną semantykę BHK:

IPC, S4, LP, KLASYCZNE DOWODY

Dalsze omówienie tradycji logiki matematycznej można znaleźć w sekcji 1 dokumentu uzupełniającego Some More Technical Matters.

2. Podstawowe komponenty logiki justowania

W tej sekcji przedstawiono składnię i aksjomatykę najbardziej powszechnych systemów logiki uzasadnienia.

2.1 Język logiki usprawiedliwiania

Aby zbudować formalne ujęcie logiki uzasadnienia, należy przyjąć podstawowe założenie strukturalne: uzasadnienia są abstrakcyjnymi obiektami, które mają na sobie strukturę i operacje. Dobrym przykładem uzasadnienia są formalne dowody, które od dawna są przedmiotem badań logiki matematycznej i informatyki (por. Sekcja 1.2).

Uzasadnienie Logika jest formalną ramą logiczną, która zawiera epistemiczne twierdzenia t: F, oznaczające „t, jest uzasadnieniem dla F”. Uzasadnienie Logika nie analizuje bezpośrednio, co oznacza uzasadnienie F poza formatem t: F, ale raczej próbuje aksjomatycznie scharakteryzować tę relację. Jest to podobne do sposobu, w jaki logika Boole'a traktuje swoje łączniki, powiedzmy, dysjunkcje: nie analizuje formuły p ∨ q, ale raczej zakłada pewne logiczne aksjomaty i tabele prawdy dotyczące tej formuły.

Podjęto kilka decyzji projektowych. Uzasadnienie Logika zaczyna się od najprostszej podstawy: klasycznej logiki Boole'a i nie bez powodu. Uzasadnienia stanowią wystarczająco poważne wyzwanie, nawet na najprostszym poziomie. Paradygmatyczne przykłady Russella, Goldmana-Kripkego, Gettiera i innych mogą być obsługiwane za pomocą logiki logicznej uzasadnienia. Rdzeń logiki epistemicznej składa się z systemów modalnych o klasycznej bazie boolowskiej (K, T, K4, S4, K45, KD45, S5, itd.), A każdy z nich został wyposażony w odpowiednią towarzyszącą logikę justowania opartą na logice boolowskiej. Wreszcie, nie zawsze zakłada się faktyczność uzasadnień. Umożliwia to uchwycenie istoty dyskusji w epistemologii, dotyczących spraw wiary, a nie wiedzy.

Podstawową operacją na uzasadnieniach są zastosowanie i suma. Operacja aplikacji przyjmuje uzasadnienia s i t i tworzy uzasadnienie s ⋅ t takie, że jeśli s:(F → G) it: F, to [s ⋅ t]: G. Symbolicznie,

s:(F → G) → (t: F → [s ⋅ t]: G)

Jest to podstawowa właściwość uzasadnień przyjmowanych w logice kombinacyjnej i λ -calculi (Troelstra i Schwichtenberg 1996), semantyka Brouwera-Heytinga-Kolmogorova (Troelstra i van Dalen 1988), realizowalność Kleene (Kleene 1945), logika dowodów LP itp..

Każde dwa uzasadnienia można bezpiecznie połączyć w coś o szerszym zakresie. Odbywa się to za pomocą sumy operacji „+”. Jeśli s: F, to niezależnie od tego, jaki może być dowód t, połączony dowód s + t pozostaje uzasadnieniem dla F. Mówiąc dokładniej, operacja „+” przyjmuje uzasadnienia si t i daje s + t, co jest uzasadnieniem dla wszystkiego, co jest uzasadnione przez s lub przez t.

s: F → [s + t]: F it: F → [s + t]: F

Jako motywację można by pomyśleć o s i t jako o dwóch tomach encyklopedii, a s + t jako o zbiorze tych dwóch tomów. Wyobraź sobie, że jeden z tomów, powiedzmy s, zawiera wystarczające uzasadnienie zdania F, tj. S: F jest przypadkiem. Wtedy większy zbiór s + t zawiera również wystarczające uzasadnienie dla F, [s + t]: F. W Logice of Proofs LP, sekcja 1.2, „s + t” może być interpretowane jako konkatenacja dowodów s i t.

2.2 Logika podstawowego uzasadnienia J 0

Wyrazy uzasadnienia są budowane ze zmiennych uzasadniających x, y, z,… i stałych justowania a, b, c,… (z indeksami i = 1, 2, 3,… które są pomijane, gdy jest to bezpieczne) za pomocą operacji” ⋅ 'i' + '. Bardziej rozbudowane logiki rozważane poniżej również pozwalają na dodatkowe operacje na uzasadnieniach. Stałe oznaczają atomowe uzasadnienia, których system nie analizuje; zmienne oznaczają nieokreślone uzasadnienia. Podstawowa logika uzasadnień, J 0 jest aksjomatyzowana przez następujące.

Logika klasyczna
Klasyczne aksjomaty zdań i reguła Modus Ponens
Application Axiom
s:(F → G) → (t: F → [s ⋅ t]: G),
Sum Axioms
s: F → [s + t]: F, s: F → [t + s]: F.

J 0 jest logiką ogólnych (niekoniecznie faktycznych) uzasadnień dla absolutnie sceptycznego czynnika, dla którego nie można udowodnić żadnego wzoru, tj. J 0 nie wyprowadza t: F dla żadnego t i F. Taki podmiot jest jednak zdolny do wyciągania wniosków z formy względnego uzasadnienia

Jeśli x: A, y: B,…, z: C przytrzymaj, to t: F.

Dzięki tej zdolności J 0 jest w stanie odpowiednio naśladować inne systemy Logiki Uzasadnienie w swoim języku.

2.3 Świadomość logiczna i stałe specyfikacje

Zasada Świadomości Logicznej głosi, że aksjomaty logiczne są uzasadnione z urzędu: agent przyjmuje aksjomaty logiczne za uzasadnione (w tym te dotyczące uzasadnień). Jak już wspomniano, świadomość logiczna może być zbyt silna w niektórych sytuacjach epistemicznych. Jednakże Uzasadnienie Logic oferuje elastyczny mechanizm Stałych Specyfikacji, reprezentujący różne odcienie Świadomości Logicznej.

Oczywiście rozróżnia się założenie od uzasadnionego założenia. W Uzasadnienie Stałe logiczne są używane do przedstawiania uzasadnień założeń w sytuacjach, gdy nie są one dalej analizowane. Załóżmy, że pożądane jest postulowanie, że aksjomat A jest uzasadniony dla znawcy. Po prostu postuluje się e 1: A dla pewnej stałej dowodowej e 1 (z indeksem 1). Jeśli ponadto chcemy postulować, że ta nowa zasada e 1: A jest również uzasadniona, to można postulować e 2:(e 1: A) dla stałej e 2(z indeksem 2). I tak dalej. Śledzenie wskaźników nie jest konieczne, ale jest łatwe i pomaga w procedurach decyzyjnych (Kuznets 2008). Zbiór wszystkich tego rodzaju założeń dla danej logiki nazywany jest Specyfikacją Stałą. Oto formalna definicja:

Stałej Specyfikacja CS dla danego logicznego uzasadnienie L jest zestaw wzorów w postaci

e n: e n −1:…: e 1: A (n ≥ 1),

gdzie A jest aksjomatem L, a e 1, e 2,…, e n są podobnymi stałymi z indeksami 1, 2,…, n. Zakłada się, że CS zawiera wszystkie specyfikacje pośrednie, tj. Kiedykolwiek e n: e n −1:…: e 1: A jest w CS, to e n −1:…: e 1: A jest również w CS.

W literaturze istnieje szereg warunków specjalnych, które zostały umieszczone na stałych specyfikacjach. Oto najczęściej.

Pusty
CS = ∅. Odpowiada to absolutnie sceptycznemu agentowi. Sprowadza się to do pracy z logiką J 0.
Skończone
CS to skończony zbiór formuł. Jest to w pełni reprezentatywny przypadek, ponieważ każde konkretne wyprowadzenie w logice uzasadnienia będzie dotyczyło tylko skończonego zestawu stałych.
Aksjomatycznie Odpowiedni
Każdy aksjomat, w tym nowo nabyte przez samą stałą specyfikację, ma uzasadnienie. W ujęciu formalnym dla każdego aksjomatu A istnieje stała e 1 taka, że e 1: A jest w CS, a jeśli e n: e n −1:…: e 1: A ∈ CS, to e n +1: e n: e n −1:…: e 1: A ∈ CS, dla każdego n ≥ 1. Aksjomatycznie odpowiednie stałe specyfikacje są niezbędne do zapewnienia właściwości internalizacji, omówionej na końcu tej sekcji.
Całkowity

Dla każdego aksjomatu A i wszelkich stałych e 1, e 2,… e n,

e n: e n −1:…: e 1: A ∈ CS.

Nazwa TCS jest zarezerwowana dla całej specyfikacji stałej (dla danej logiki). Oczywiście, całkowita specyfikacja stałej jest aksjomatycznie odpowiednia.

Możemy teraz określić:

Logika uzasadnień z określoną specyfikacją

stałą: Niech CS będzie specyfikacją stałą. J CS to logika J 0 + CS; aksjomatami są te z J 0 razem z członkami CS, a jedyną regułą wnioskowania jest Modus Ponens. Zauważ, że J 0 to J .

Logika uzasadnień

J to logika J 0 + Reguła internalizacji aksjomatów. Nowa zasada mówi:

Dla każdego aksjomatu A i wszelkich stałych e 1, e 2,…, e n wnioskujemy e n: e n −1:…: e 1: A.

Ten ostatni ucieleśnia ideę nieograniczonej logicznej świadomości J. Podobna zasada pojawiła się w LP Logic of Proofs, a także została przewidziana w Goldman's (Goldman 1967). Świadomość logiczna, wyrażona aksjomatycznie odpowiednimi Specyfikacjami Stałymi, jest wyraźnym wcieleniem Reguły Konieczności w Logice Modalnej: ⊢ F ⇒ ⊢ □ F, ale ograniczonej do aksjomatów. Zauważ, że J pokrywa się z J TCS.

Kluczową cechą systemów Uzasadnienie Logic jest ich zdolność do internalizacji własnych wyprowadzeń jako możliwych do udowodnienia twierdzeń uzasadniających w ich językach. Właściwość tę przewidywano w (Gödel 1938).

Twierdzenie 1: Dla każdej aksjomatycznie odpowiedniej specyfikacji stałej CS, J CS cieszy się internalizacją:

Jeśli ⊢ F, to ⊢ p: F dla jakiegoś składnika uzasadnienia p.

Dowód. Indukcja na derywacji długości. Załóżmy, że ⊢ F. Jeśli F jest członkiem J 0 lub członkiem CS, istnieje stała e n (gdzie n może być 1) taka, że e n: F jest w CS, ponieważ CS jest aksjomatycznie poprawne. Wtedy e n: F jest wyprowadzalne. Jeśli F jest otrzymywane przez Modus Ponens z X → F i X, to według hipotezy indukcyjnej ⊢ s:(X → F) i ⊢ t: X dla niektórych s, t. Używając aksjomatu aplikacji, ⊢ [s ⋅ t]: F.

Zobacz rozdział 2 dokumentu uzupełniającego Some More Technical Matters, aby zapoznać się z przykładami konkretnych wyprowadzeń syntaktycznych w logice uzasadnienia.

2.4 Faktyczność

Faktyczność stwierdza, że uzasadnienie jest wystarczające, aby agent doszedł do prawdy. Jest to przedstawione poniżej.

Faktyczność Aksjomat t: F → F.

Aksjomat faktyczności ma podobną motywację do aksjomatu prawdy logiki epistemicznej, □ F → F, który jest powszechnie akceptowany jako podstawowa właściwość wiedzy.

W przeciwieństwie do zasad stosowania i sumy, faktyczność uzasadnień nie jest wymagana w podstawowych systemach logiki uzasadnienia, co czyni je zdolnymi do reprezentowania zarówno częściowych, jak i faktycznych uzasadnień. Aksjomat faktyczności pojawił się w Logic of Proofs LP, sekcja 1.2, jako główna cecha dowodów matematycznych. Rzeczywiście, w tym ustawieniu faktyczność jest wyraźnie ważna: jeśli istnieje matematyczny dowód t F, to F musi być prawdziwe.

Aksjomat faktyczności jest przyjmowany dla uzasadnień prowadzących do wiedzy. Jednak sama faktyczność nie gwarantuje wiedzy, jak pokazały przykłady Gettiera (Gettier 1963).

Logika fałszywych uzasadnień

  • JT 0 = J 0 + Fakty;
  • JT = J + Factivity.

Systemy JT CS odpowiadające Stałym Specyfikacjom CS są zdefiniowane zgodnie z sekcją 2.3.

2.5 Pozytywna introspekcja

Jedną z powszechnych zasad wiedzy jest identyfikacja wiedzy i wiedza, że się wie. W ustawieniu modalnym odpowiada to □ F → □□ F. Zasada ta ma odpowiedni wyraźny odpowiednik: fakt, że agent akceptuje t jako wystarczający dowód na F, służy jako wystarczający dowód na t: F. Często taki „meta-dowód” ma postać fizyczną: raport sędziego potwierdzający, że dowód w pracy jest prawidłowy; dane wyjściowe weryfikacji komputerowej z formalnym dowodem t F jako dane wejściowe; formalny dowód, że t jest dowodem na F itp. Operacja Pozytywnej introspekcji „!” w tym celu można dodać do języka; następnie przyjmuje się, że dane t, agent daje uzasadnienie! t of t: F taki, że t: F →! t:(t: F). Pozytywna introspekcja w tej operacyjnej formie pojawiła się po raz pierwszy w Logic of Proofs LP.

Aksjomat pozytywnej introspekcji: t: F →! t:(t: F).

Następnie definiujemy:

  • J4: = J + pozytywna introspekcja;
  • LP: = JT + Pozytywna introspekcja. [3]

Logiki J4 0, J4 CS, LP 0 i LP CS są zdefiniowane w sposób naturalny (por. Rozdział 2.3). Bezpośredni odpowiednik Twierdzenia 1 dotyczy również J4 CS i LP CS.

W obecności Aksjomatu Pozytywnej Introspekcji można ograniczyć zakres Reguły Internalizacji Aksjomatu do aksjomatów internalizujących, które nie mają formy e: A. Tak to zostało zrobione w LP: Internalizacja Axiom może być następnie emulowana za pomocą !! e:(! e:(e: A)) zamiast e 3:(e 2:(e 1: A)) itd. Pojęcie specyfikacji stałej można również odpowiednio uprościć. Takie modyfikacje są niewielkie i nie wpływają na główne twierdzenia i zastosowania Logiki Wyrównania.

2.6 Negatywna introspekcja

(Pacuit 2006, Rubtsova 2006) uznała operację Negative Introspection „?” która weryfikuje, czy dane twierdzenie uzasadnienia jest fałszywe. Możliwą motywacją do rozważenia takiej operacji jest pozytywna operacja introspekcji „!” można uważać za zdolnego do dostarczenia rozstrzygających sądów weryfikacyjnych co do ważności twierdzeń uzasadniających t: F, więc jeśli t nie jest uzasadnieniem dla F, takie a „!” powinien wywnioskować, że ¬ t: F. Zwykle ma to miejsce w przypadku weryfikatorów dowodów komputerowych, weryfikatorów dowodów w teoriach formalnych itp. Ta motywacja jest jednak zniuansowana: przykłady weryfikatorów dowodów i weryfikatorów dowodów działają zarówno z t, jak i F jako danymi wejściowymi, podczas gdy format Pacuit-Rubtsova? t sugeruje, że jedyne wejście dla '?' jest uzasadnieniem t, a wynik? t ma uzasadniać twierdzenia ¬ t:F jednolicie dla wszystkich F s, dla których t: F nie zachodzi. Taka operacja”? nie istnieje od tego czasu dla formalnych dowodów matematycznych? t powinno więc być pojedynczym dowodem nieskończenie wielu zdań ¬ t: F, co jest niemożliwe.

Aksjomat negatywnej introspekcji ¬ t: F →? t: (¬ t: F)

Definiujemy systemy:

  • J45 = J4 + Negatywna introspekcja;
  • JD45 = J45 + ¬ t: ⊥;
  • JT45 = J45 + Factivity

i naturalnie rozszerz te definicje na J45 CS, JD45 CS i JT45 CS. Bezpośredni analog Twierdzenia 1 obowiązuje dla J45 CS, JD45 CS i JT45 CS.

3. Semantyka

Standardowa obecnie semantyka logiki uzasadnienia wywodzi się z (Fitting 2005) - stosowane modele są ogólnie nazywane w literaturze modelami dopasowania, ale będą nazywane tutaj możliwymi modelami uzasadnienia światowego. Możliwe modele uzasadnienia świata są połączeniem znanej, możliwej semantyki świata dla logiki wiedzy i przekonań, dzięki Hintikce i Kripke, z maszynerią specyficzną dla terminów uzasadnienia, wprowadzoną przez Mkrtycheva w (Mkrtychev 1997) (por. Sekcja 3.4).

3.1 Potencjalne światowe modele uzasadnienia dla jednego agenta dla J

Aby być precyzyjnym, należy zdefiniować semantykę dla J CS, gdzie CS jest dowolną stałą specyfikacją. Formalnie możliwym modelem logiki uzasadnienia świata dla J CS jest struktura M = ⟨G, R, E, V⟩. Z tego ⟨G, R⟩ jest standardową ramką K, gdzie G jest zbiorem możliwych światów, a R jest relacją binarną na nim. V jest odwzorowaniem zmiennych zdaniowych na podzbiory G, określające atomową prawdę na możliwych światach.

Nowa pozycja to E, funkcja dowodowa, która powstała w (Mkrtychev 1997). To odwzorowuje terminy i formuły uzasadniające na zbiory światów. Intuicyjna idea jest taka, że jeśli możliwy świat Γ znajduje się w E (t, X), to t jest odpowiednim lub dopuszczalnym dowodem na X w świecie Γ. Nie należy myśleć o odpowiednich dowodach jako rozstrzygających. Pomyśl o tym raczej jako o dowodzie, który może być dopuszczony w sądzie: to zeznanie, ten dokument jest czymś, co ława przysięgłych powinno zbadać, czymś, co jest istotne, ale coś, czego status prawdy nie został jeszcze uwzględniony. Funkcje dowodowe muszą spełniać określone warunki, ale zostaną one omówione nieco później.

Biorąc pod uwagę możliwy model uzasadnienia świata J CS M = ⟨G, R, E, V⟩, prawdziwość formuły X na świecie możliwym Γ jest oznaczona przez M, Γ ⊩ X i wymaga spełnienia następujących warunków standardowych:

Dla każdego Γ ∈ G:

  1. M, Γ ⊩ P iff Γ ∈ V (P) dla P to litera zdania;
  2. nie jest tak, że M, Γ ⊩ ⊥;
  3. M, Γ ⊩ X → Y, jeśli nie jest tak, że M, Γ ⊩ X lub M, Γ ⊩ Y.

Mówią one tylko, że prawda atomowa jest określona arbitralnie, a łączniki zdań zachowują się funkcjonalnie w każdym świecie. Kluczowy jest następny.

M, Γ ⊩ (t: X) wtedy i tylko wtedy, gdy Γ ∈ E (t, X) i dla każdego Δ ∈ G z Γ R Δ, mamy to M, Δ ⊩ X

Ten stan dzieli się na dwie części. Klauzula wymagająca, aby M, Δ ⊩ X dla każdego Δ ∈ G, takie, że Γ R Δ jest znanym warunkiem Hintikka / Kripke, aby X można było wierzyć lub być wiarygodnym w Γ. Klauzula wymagająca, aby Γ ∈ E (t, X) dodaje, że t powinno być odpowiednim dowodem na X w Γ. Następnie, nieformalnie, t: X jest prawdziwe w możliwym świecie, jeśli X jest wiarygodne na tym świecie w zwykłym sensie logiki epistemicznej, at jest odpowiednim dowodem na X w tym świecie.

Ważne jest, aby zdać sobie sprawę, że w tej semantyce można nie wierzyć w coś z określonego powodu na świecie albo dlatego, że jest to po prostu niewiarygodne, albo dlatego, że jest, ale powód nie jest właściwy.

Nadal trzeba postawić pewne warunki funkcjom dowodowym, a także należy przedstawić stałą specyfikację. Załóżmy, że jako uzasadnienia podano s it. Można je łączyć na dwa różne sposoby: jednocześnie korzystać z informacji z obu; lub skorzystaj z informacji tylko z jednego z nich, ale najpierw wybierz który. Każda z nich daje początek podstawowej operacji na warunkach uzasadnienia, ⋅ i +, wprowadzonej aksjomatycznie w sekcji 2.2.

Załóżmy, że s jest odpowiednim dowodem na implikację, a t jest istotnym dowodem dla poprzednika. Wtedy s i t razem dostarczają odpowiednich dowodów na następnik. Zakłada się następujący warunek funkcji dowodowych:

E (s, X → Y) ∩E (t, X) ⊆ E (s ⋅ t, Y)

Po dodaniu tego warunku ważność

s:(X → Y) → (t: X → [s ⋅ t]: Y)

jest zabezpieczony.

Jeśli s i t są dowodami, można by powiedzieć, że coś jest uzasadnione przez jedno z s lub t, nie zadając sobie trudu, aby określić które, i nadal będzie to dowód. Na funkcje dowodowe nałożony jest następujący wymóg.

E (s, X) ∪ E (t, X) ⊆ E (s + t, X)

Nic dziwnego, że jedno i drugie

s: X → [s + t]: X

i

t: X → [s + t]: X

teraz trzymaj.

Wreszcie, należy wziąć pod uwagę stałą specyfikację CS. Przypomnijmy, że stałe mają przedstawiać powody dla podstawowych założeń, które są całkowicie akceptowane. Model M = ⟨G, R, E, V⟩ spełnia Stałą Specyfikację CS pod warunkiem: jeżeli c: X ∈ CS to E (c, X) = G.

Możliwy model uzasadnienia świata Możliwym modelem uzasadnienia światowego dla J CS jest konstrukcja M = ⟨G, R, E, V⟩ spełniająca wszystkie wymienione powyżej warunki i spełniająca Stałą Specyfikację CS.

Pomimo podobieństw, możliwe modele uzasadnienia światowego pozwalają na szczegółową analizę, która nie jest możliwa w przypadku modeli Kripkego. Więcej informacji można znaleźć w sekcji 3 dokumentu dodatkowego Some More Technical Matters.

3.2 Słaba i silna kompletność

Formuła X jest ważna w konkretnym modelu dla J CS, jeśli jest prawdziwa na wszystkich możliwych światach modelu. Aksjomatyka dla J CS została podana w rozdziałach 2.2 i 2.3. Twierdzenie o kompletności przyjmuje teraz oczekiwaną postać.

Twierdzenie 2: Wzór X jest możliwy do udowodnienia w J CS wtedy i tylko wtedy, gdy X jest poprawny we wszystkich modelach J CS.

Twierdzenie o zupełności, jak właśnie stwierdzono, jest czasami nazywane słabą kompletnością. Może trochę zaskakujące, że w przypadku logiki modalnej K znacznie łatwiej jest to udowodnić niż kompletność. Komentarze na ten temat znajdują się poniżej. Z drugiej strony jest to bardzo ogólne, działające dla wszystkich stałych specyfikacji.

W (Fitting 2005) została również wprowadzona silniejsza wersja semantyki. Model M = ⟨G, R, E, V⟩ nazywa się w pełni wyjaśniającym, jeśli spełnia następujący warunek. Dla każdego Γ ∈ G, jeśli M, Δ ⊩ X dla wszystkich Δ ∈ G takich, że Γ R Δ, to M, Γ ⊩ t: X dla jakiegoś składnika uzasadnienia t. Zauważ, że warunek M, Δ ⊩ X dla wszystkich Δ ∈ G taki, że Γ R Δ jest zwykłym warunkiem wiarygodności X przy Γ w sensie Hintikka / Kripke. Tak więc w pełni wyjaśniające naprawdę mówi, że jeśli formuła jest wiarygodna w możliwym świecie, to jest dla niej uzasadnienie.

Nie wszystkie słabe modele spełniają w pełni warunek wyjaśniający. Modele, które to robią, nazywane są mocnymi modelami. Jeśli stała specyfikacja CS jest na tyle bogata, że zachodzi twierdzenie o internalizacji, wówczas uzyskuje się kompletność w odniesieniu do silnych modeli spełniających CS. Rzeczywiście, w odpowiednim sensie kompletność w odniesieniu do silnych modeli jest równoznaczna z możliwością udowodnienia internalizacji.

Dowód kompletności w odniesieniu do modeli silnych wykazuje bliskie podobieństwo do dowodu kompletności przy użyciu modeli kanonicznych dla logiki modalnej K. Z kolei mocne modele można wykorzystać do uzyskania semantycznego dowodu twierdzenia o realizacji (por. Sekcja 4).

3.3 Rodzina z jednym agentem

Do tej pory dyskutowano nad możliwą semantyką światową dla jednej logiki uzasadniania, dla J, odpowiednika K. Teraz poszerza się o analogie uzasadnienia innych znanych logik modalnych.

Po prostu dodając zwrotność relacji dostępności R do warunków dla modelu w rozdziale 3.1, uzyskuje się ważność t: X → X dla każdego t i X i uzyskuje się semantykę dla JT, logiki uzasadnienia analogicznej logiki modalnej T, najsłabsza logika wiedzy. Rzeczywiście, jeśli M, Γ ⊩ t: X, to w szczególności X jest prawdziwe w każdym stanie dostępnym z Γ. Ponieważ relacja dostępności musi być zwrotna, M, Γ ⊩ X. Twierdzenia o słabej i silnej zupełności można udowodnić przy użyciu tej samej maszynerii, którą zastosowano w przypadku J, a także dostępny jest semantyczny dowód twierdzenia o realizacji łączący JT i T. To samo dotyczy logiki omówionej poniżej.

Dla uzasadnienia analogu K4 dodatkowy operator jednoargumentowy „!” do terminu język, patrz sekcja 2.5. Przypomnij sobie, że operator odwzorowuje uzasadnienia na uzasadnienia, gdzie idea jest taka, że jeśli t jest uzasadnieniem dla X, to! t powinno być uzasadnieniem dla t: X. Semantycznie dodaje to warunki do modelu M = ⟨G, R, E, V⟩, w następujący sposób.

Po pierwsze, oczywiście R powinno być przechodnie, ale niekoniecznie zwrotne. Po drugie, wymagany jest warunek monotoniczności funkcji dowodowych:

Jeśli Γ R Δ i Γ ∈ E (t, X), to Δ ∈ E (t, X)

I wreszcie potrzebny jest jeszcze jeden warunek funkcji dowodowej.

E (t, X) ⊆ E (! T, t: X)

Te warunki razem pociągają za sobą ważność t: X →! t: t: X i stwórz semantykę dla J4, analogu uzasadnienia K4, z łączącym je twierdzeniem o realizacji. Dodanie refleksyjności prowadzi do logiki, która ze względów historycznych nazywana jest LP.

Można również dodać ujemny operator introspekcji, „?”, Patrz sekcja 2.6. Modele logiki justowania zawierające ten operator dodają trzy warunki. Pierwsze R jest symetryczne. Po drugie, dodaje się warunek, który stał się znany jako mocny dowód: M, Γ ⊩ t: X dla wszystkich Γ ∈ E (t, X). Wreszcie istnieje warunek dotyczący funkcji dowodowej:

E (t, X) ⊆ E (? T, ¬ t: X)

Jeśli dodamy tę maszynerię do tej dla J4, otrzymamy logikę J45, odpowiednik K45 w uzasadnieniu. Można udowodnić aksjomatyczną słuszność i kompletność. W podobny sposób można sformułować powiązane logiki JD45 i JT45.

Twierdzenie o realizacji uwzględniające ten operator pokazano w (Rubtsova 2006).

3.4 Modele usprawiedliwienia dla jednego świata

Modele usprawiedliwiania pojedynczego świata zostały opracowane znacznie wcześniej niż bardziej ogólne możliwe modele uzasadniania świata, które omawialiśmy (Mkrtychev 1997). Dziś najprościej można je traktować jako możliwe modele usprawiedliwiania świata, które mają tylko jeden świat. Dowód kompletności J i inne wspomniane powyżej logiki uzasadniania można łatwo zmodyfikować w celu ustalenia kompletności w odniesieniu do modeli uzasadniania pojedynczego świata, chociaż oczywiście nie był to pierwotny argument. To, co kompletność w odniesieniu do modeli uzasadniania pojedynczego świata mówi nam, że informacja o możliwej strukturze świata modeli uzasadnienia może być w całości zakodowana przez dopuszczalną funkcję dowodową, przynajmniej dla logik omówionych do tej pory. Mkrtychev zastosował modele uzasadnienia pojedynczego świata do ustalenia rozstrzygalności LP,a inni wykorzystali je w sposób zasadniczy do wyznaczania granic złożoności dla logiki uzasadniania, a także do pokazywania wyników konserwatywności dla logiki uzasadnienia przekonań (Kuznets 2000, Kuznets 2008, Milnikel 2007, Milnikel 2009). Wyniki złożoności zostały ponadto wykorzystane do rozwiązania problemu logicznej wszechwiedzy.

4. Twierdzenia o realizacji

Naturalnym modalnym epistemicznym odpowiednikiem twierdzenia dowodowego t: F jest □ F, czytane dla niektórych x, x: F. Ta obserwacja prowadzi do pojęcia zapominającej projekcji, która zastępuje każde wystąpienie t: F przez □ F i tym samym przekształca zdanie logiki uzasadnienia S na odpowiadające mu zdanie w logice modalnej S o. Projekcja zapominalska rozciąga się w naturalny sposób od zdań do logiki.

Oczywiście różne zdania logiki uzasadnienia mogą mieć tę samą projekcję zapominającą, stąd S o traci pewne informacje zawarte w S. Jednak łatwo można zauważyć, że projekcja zapominalska zawsze odwzorowuje prawidłowe formuły Logiki Usprawiedliwienia (np. Aksjomaty J) do prawidłowych wzorów odpowiedniej Logiki Epistemicznej (w tym przypadku K). Odwrotność również zachodzi: każda ważna formuła logiki epistemicznej jest zapominającą projekcją jakiejś ważnej formuły logiki usprawiedliwienia. Wynika to z Twierdzenia o zgodności 3.

Twierdzenie 3: J o = K.

Ta zgodność dotyczy innych par systemów uzasadnienia i epistemiki, na przykład J4 i K4 lub LP i S4 i wielu innych. W takiej rozszerzonej formie, twierdzenie o zgodności pokazuje, że główne logiki modalne, takie jak K, T, K4, S4, K45, S5 i kilka innych, mają dokładne odpowiedniki w logice justowania.

U podstaw twierdzenia o zgodności leży następujące twierdzenie o realizacji.

Twierdzenie 4: Istnieje algorytm, który dla każdej formuły modalnej F dającej się wyprowadzić w K, przypisuje terminy dowodowe każdemu wystąpieniu modalności w F w taki sposób, że otrzymana formuła F r jest wyprowadzalna w J. Ponadto realizacja przypisuje zmienne dowodowe do negatywnych wystąpień operatorów modalnych w F, szanując w ten sposób egzystencjalną interpretację epistemicznej modalności.

Znane algorytmy realizacji, które odtwarzają terminy dowodowe w twierdzeniach modalnych, wykorzystują derywacje bez cięcia w odpowiednich logikach modalnych. Alternatywnie, twierdzenie o realizacji można ustalić semantycznie za pomocą metody Fittinga lub jej odpowiednich modyfikacji. W zasadzie te semantyczne argumenty tworzą również procedury realizacji, które opierają się na wyczerpujących poszukiwaniach.

Byłoby błędem wyciąganie wniosku, że każda logika modalna ma rozsądny odpowiednik w logice uzasadnienia. Na przykład logika formalnego udowodnienia, GL (Boolos 1993), zawiera zasadę Löba:

(5) □ (□ F → F) → □ F,

który nie wydaje się mieć epistemicznie akceptowalnej jawnej wersji. Rozważmy na przykład przypadek, w którym F jest stałą zdaniową ⊥ dla fałszu. Gdyby analog Twierdzenia 4 obejmowałby zasadę Löba, istniałyby wyrazy uzasadnienia s it takie, że x:(s: ⊥ → ⊥) → t: ⊥. Ale to jest intuicyjnie fałszywe dla faktycznego uzasadnienia. Rzeczywiście, s: ⊥ → ⊥ jest przykładem Aksjomatu Faktyczności. Zastosuj internalizację aksjomatów, aby uzyskać c:(s: ⊥ → ⊥) dla pewnej stałej c. Ten wybór c sprawia, że poprzednik c:(s: ⊥ → ⊥) → t: ⊥ intuicyjnie jest prawdziwy, a wniosek fałszywy [4]. W szczególności zasada Löba (5) nie ma zastosowania do interpretacji dowodowej (por. (Goris 2007) w celu pełnego wyjaśnienia, które zasady GL są możliwe do zrealizowania).

Twierdzenie o korespondencji daje świeży wgląd w epistemiczne logiki modalne. Przede wszystkim zapewnia nową semantykę dla głównych logik modalnych. Oprócz tradycyjnego, uniwersalnego odczytania □ F w stylu Kripkego, tak jak F zachodzi we wszystkich możliwych sytuacjach, istnieje teraz rygorystyczna semantyka `` egzystencjalna '' dla □ F, którą można czytać, gdy jest świadek (dowód, uzasadnienie) F.

Semantyka uzasadnienia odgrywa podobną rolę w logice modalnej do tej, jaką odgrywa realizowalność Kleene w logice intuicyjnej. W obu przypadkach zamierzona semantyka jest egzystencjalna: interpretacja logiki intuicjonistycznej Brouwera-Heytinga-Kołmogorowa (Heyting 1934, Troelstra i van Dalen 1988, van Dalen 1986) oraz lektura dowodowa S4 autorstwa Gödla (Gödel 1933, Gödel 1938). W obu przypadkach istnieje semantyka uniwersalnego świata możliwegocharakter, który jest silnym i dominującym narzędziem technicznym. Nie odnosi się jednak do egzystencjalnego charakteru zamierzonej semantyki. Potrzeba było urzeczywistnienia Kleene (Kleene 1945, Troelstra 1998), aby ujawnić semantykę obliczeniową logiki intuicyjnej i logiki dowodów, aby zapewnić dokładną semantykę BHK dowodów dla logiki intuicyjnej i modalnej.

W kontekście epistemicznym Logika uzasadnienia i twierdzenie o korespondencji dodają nowy komponent „uzasadnienia” do modalnej logiki wiedzy i przekonań. Ponownie, ten nowy składnik był w rzeczywistości starym i centralnym pojęciem, które było szeroko dyskutowane przez epistemologów głównego nurtu, ale które pozostawało poza zakresem klasycznej logiki epistemicznej. Twierdzenie o korespondencji mówi nam, że uzasadnienia są kompatybilne z systemami typu Hintikka, a zatem mogą być bezpiecznie włączone do podstawy epistemicznej logiki modalnej.

Więcej informacji na temat twierdzeń o realizacji można znaleźć w sekcji 4 dokumentu dodatkowego Some More Technical Matters.

5. Uogólnienia

Jak dotąd w tym artykule rozważano tylko logiki uzasadniania jednego agenta, analogiczne do logiki wiedzy jednego agenta. Uzasadnienie Logikę można traktować jako logikę wiedzy jawnej, związaną z bardziej konwencjonalnymi logikami wiedzy ukrytej. W literaturze przebadano szereg systemów poza tymi omówionymi powyżej, obejmujących wielu agentów lub posiadających zarówno niejawne, jak i jawne operatory, lub ich kombinację.

5.1 Mieszanie wiedzy jawnej i niejawnej

Ponieważ logiki uzasadnienia zapewniają jawne uzasadnienia, podczas gdy konwencjonalne logiki wiedzy zapewniają ukryty operator wiedzy, naturalne jest rozważenie połączenia tych dwóch w jeden system. Najpowszechniejszą wspólną logiką wiedzy jawnej i ukrytej jest S4LP (Artemov i Nogina 2005). Język S4LP jest podobny do języka LP, ale z dodanym niejawnym operatorem wiedzy, zapisanym jako K lub □. Aksjomatyka jest podobna do tej z LP, w połączeniu z tą z S4 dla operatora niejawnego, wraz z łączącym aksjomatem, t: X → □ X, wszystko, co ma wyraźne uzasadnienie, jest poznawalne.

Z semantycznego punktu widzenia możliwe modele uzasadnienia świata dla LP nie wymagają modyfikacji, ponieważ mają już całą maszynerię modeli Hintikka / Kripke. Jeden modeluje operatora □ w zwykły sposób, wykorzystując tylko relację dostępności, a drugi modeluje terminy uzasadnienia, jak opisano w sekcji 3.1, wykorzystując zarówno dostępność, jak i funkcję dowodową. Ponieważ zwykły warunek, że □ X jest prawdziwy na świecie, jest jedną z dwóch klauzul warunku, że t: X jest prawdziwy, to natychmiast daje ważność t: X → □ X, a poprawność następuje z łatwością. Aksjomatyczna kompletność jest również dość prosta.

W S4LP reprezentowana jest zarówno wiedza ukryta, jak i jawna, ale w możliwej semantyce modelu uzasadnienia świata pojedyncza relacja dostępności służy do obu. Nie jest to jedyny sposób, aby to zrobić. Mówiąc bardziej ogólnie, jawna relacja dostępności wiedzy może być właściwym rozszerzeniem relacji dla wiedzy ukrytej. Przedstawia to wizję wiedzy jawnej, która ma bardziej rygorystyczne standardy tego, co jest znane, niż wiedza ukryta. Używanie różnych relacji dostępności dla wiedzy jawnej i niejawnej staje się konieczne, gdy te epistemiczne pojęcia są zgodne z różnymi prawami logicznymi, np. S5 dla wiedzy niejawnej i LP dla jawnej. Przypadek wielu relacji dostępności jest powszechnie znany w literaturze jako modele Artemova-Fitting, ale tutaj będziemy nazywać go wieloagentowymi możliwymi modelami świata. (por. sekcja 5.2).

Co ciekawe, chociaż logika S4LP wydaje się całkiem naturalna, twierdzenie o realizacji było dla niej problematyczne: żadnego takiego twierdzenia nie można udowodnić, jeśli kładzie się nacisk na tak zwane normalne realizacje (Kuznets 2010). Realizacja ukrytych modalności wiedzy w S4LP poprzez wyraźne uzasadnienia, które uszanowałyby strukturę epistemiczną, pozostaje głównym wyzwaniem w tym obszarze.

Czasami interakcje między wiedzą niejawną i jawną mogą być dość delikatne. Jako przykład rozważmy następującą mieszaną zasadę negatywnej introspekcji (ponownie □ należy czytać jako ukryty operator epistemiczny),

(6) ¬ t: X → □ ¬ t: X.

Z punktu widzenia możliwości udowodnienia, jest to właściwa forma negatywnej introspekcji. Rzeczywiście, niech □ F będzie interpretowane jako F jest możliwe do udowodnienia, a t: F jako t jest dowodem F w danej teorii formalnej T, np. W arytmetyce Peano PA. Następnie (6) podaje udowodnioną zasadę. Rzeczywiście, jeśli t nie jest dowodem F, to ponieważ to stwierdzenie jest rozstrzygalne, można je ustalić wewnątrz T, stąd w T to zdanie jest możliwe do udowodnienia. Z drugiej strony dowód p 't nie jest dowodem F' zależy zarówno od t, jak i F, p = p (t, F) i nie można go obliczyć, biorąc pod uwagę tylko t. W związku z tym □ nie można zastąpić żadnym konkretnym terminem dowodowym zależnym tylko od t, a (6) nie można przedstawić w całkowicie jawnym formacie w stylu uzasadnienia.

Pierwsze przykłady jawnych / niejawnych systemów wiedzy pojawiły się w obszarze logiki udowodnienia. W (Sidon 1997, Yavorskaya (Sidon) 2001) wprowadzono logikę LPP, która łączyła logikę dowodowalności GL z logiką dowodu LP, ale aby zapewnić, że wynikowy system ma pożądane właściwości logiczne, niektóre dodatkowe operacje spoza oryginalnych języków GL i LP zostały dodane. W (Nogina 2006, Nogina 2007) oferowany był kompletny system logiczny GLA dla dowodów i możliwości udowodnienia, w sumie oryginalnych języków GL i LP. Zarówno LPP, jak i GLA cieszą się kompletnością w stosunku do klasy modeli arytmetycznych, a także w stosunku do klasy możliwych modeli uzasadnienia światowego.

Innym przykładem zasady udowodnienia, której nie można w pełni jednoznacznie określić, jest zasada Löba (5). Dla każdego z LPP i GLA łatwo jest znaleźć taki termin dowodowy l (x)

(7) x: (□ F → F) → l (x): F

trzyma. Jednak nie ma realizacji, która czyni wszystkie trzy □ w (5) wyraźnymi. W rzeczywistości zbiór możliwych do zrealizowania zasad udowodnienia jest przecięciem GL i S4 (Goris 2007).

5.2 Możliwe modele usprawiedliwienia na świecie z wieloma agentami

W modelach multiagentowego uzasadniania świata stosuje się wiele relacji dostępności, z powiązaniami między nimi (Artemov 2006). Chodzi o to, że istnieje wielu agentów, każdy z niejawnym operatorem wiedzy i istnieją terminy uzasadniające, które każdy agent rozumie. Mówiąc luźno, każdy rozumie wyraźne powody; sprowadzają się one do powszechnej wiedzy opartej na dowodach.

Model uzasadnienia świata możliwego przez n-agenta to struktura ⟨G, R 1,…, R n, R, E, V⟩ spełniająca następujące warunki. G to zbiór możliwych światów. Każdy z R 1,…, R n jest relacją dostępności, po jednej dla każdego agenta. W zależności od potrzeb można przyjąć, że są one refleksyjne, przechodnie lub symetryczne. Służą do modelowania ukrytej wiedzy o agentach dla rodziny agentów. Relacja dostępności R spełnia warunki LP, zwrotność i przechodniość. Jest używany w modelowaniu wiedzy jawnej. E to funkcja dowodowa, spełniająca te same warunki, co dla LP w sekcji 3.3. V odwzorowuje litery zdań na zbiory światów, jak zwykle. Istnieje specjalny warunek: dla każdego i = 1,…, n, R i ⊆ R.

Jeśli M = ⟨G, R 1,…, R n, R, E, V⟩ jest wieloagentowym możliwym modelem uzasadnienia świata, relacja prawda-na-świecie, M, Γ ⊩ X, jest zdefiniowana z większością zwykłe klauzule. Szczególnie interesujące są:

  • M, Γ ⊩ K i X wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego Δ ∈ G z Γ R i Δ mamy to M, Δ ⊩ X.
  • M, Γ ⊩ t: X wtedy i tylko wtedy, gdy Γ ∈ E (t, X) i dla każdego Δ ∈ G z Γ R Δ, mamy to M, Δ ⊩ X.

Warunek R i ⊆ R pociąga za sobą ważność t: X → K i X dla każdego agenta i. Jeśli istnieje tylko jeden agent, a relacja dostępności dla tego agenta jest zwrotna i przechodnia, zapewnia to inną semantykę dla S4LP. Bez względu na liczbę agentów, każdy agent przyjmuje wyraźne powody jako potwierdzające wiedzę.

Wersja LP z dwoma agentami została wprowadzona i zbadana w (Yavorskaya (Sydon) 2008), chociaż można ją uogólnić na dowolną skończoną liczbę agentów. W tym przypadku każdy agent ma własny zestaw operatorów justowania, zmiennych i stałych, zamiast jednego zestawu dla każdego, jak powyżej. Ponadto można zezwolić na pewną ograniczoną komunikację między agentami przy użyciu nowego operatora, który pozwala jednemu agentowi zweryfikować poprawność uzasadnień drugiego agenta. Dla logiki z dwoma agentami stworzono wersje zarówno pojedynczego świata, jak i bardziej ogólnej możliwej semantyki uzasadniania świata. Wiąże się to z prostym rozszerzeniem pojęcia funkcji dowodowej i dla możliwych modeli uzasadnienia świata, przy użyciu dwóch relacji dostępności. Twierdzenia dotyczące realizacji zostały udowodnione syntaktycznie,chociaż przypuszczalnie dowód semantyczny również zadziała.

Niedawno zbadano rolę ogłoszeń publicznych w logikach uzasadniania wielu agentów (Renne 2008, Renne 2009).

Więcej informacji na temat pojęcia powszechnej wiedzy opartej na dowodach znajduje się w sekcji 5 dokumentu uzupełniającego Some More Technical Matters.

6. Przykład Russella: fakt indukowany

Istnieje technika wykorzystywania logiki uzasadnienia do analizowania różnych uzasadnień tego samego faktu, w szczególności gdy niektóre uzasadnienia są faktyczne, a inne nie. Aby zademonstrować tę technikę, rozważ dobrze znany przykład:

Jeśli ktoś uważa, że nazwisko zmarłego premiera zaczynało się na „B”, wierzy, że to prawda, ponieważ zmarłym premierem był Sir Henry Campbell Bannerman [5]. Ale jeśli wierzy, że pan Balfour był nieżyjącym premierem [6], nadal będzie wierzył, że nazwisko zmarłego premiera zaczynało się na „B”, ale to przekonanie, choć prawdziwe, nie byłoby uważane za wiedzę. (Russell 1912)

Podobnie jak w przykładzie z Czerwonej Stodoły, omówionym w sekcji 1.1, tutaj mamy do czynienia z dwoma uzasadnieniami prawdziwego stwierdzenia, z których jedno jest poprawne, a drugie nie. Niech B będzie zdaniem (atomem zdaniowym), w będzie wyznaczoną zmienną uzasadniającą z niewłaściwego powodu dla B, a ra wyznaczoną zmienną uzasadniającą dla właściwej (a więc fakty) racji dla B. Następnie przykład Russella skłania do następującego zestawu założeń [7]:

R = {w: B, r: B, r: B → B}

Nieco wbrew intuicji, można logicznie wywnioskować faktyczność w z R:

  1. r: B (założenie)
  2. r: B → B (założenie)
  3. B (od 1 i 2 przez Modus Ponens)
  4. B → (w: B → B) (aksjomat zdaniowy)
  5. w: B → B (od 3 i 4 przez Modus Ponens)

Jednak to wyprowadzenie wykorzystuje fakt, że r jest faktycznym uzasadnieniem dla B do stwierdzenia w: B → B, co stanowi przypadek „indukowanej faktyczności” dla w: B. Powstaje pytanie, jak można odróżnić „rzeczywistą” faktyczność r: B od „indukowanej faktyczności” w: B? Potrzebny jest tu pewien rodzaj śledzenia prawdy, a odpowiednim narzędziem jest logika uzasadnienia. Naturalnym podejściem jest rozważenie zbioru założeń bez r: B, tj.

S = {w: B, r: B → B}

i ustal, że faktyczność w, tj. w: B → B nie jest wyprowadzona z S. Oto możliwy model uzasadnienia świata M = (G, R, E, V), w którym S zachodzi, ale w: B → B nie:

  • G = { 1 },
  • R = ∅,
  • V (B) = ∅ (a więc nie - 1 ⊩ B),
  • E (t, F) = { 1 } dla wszystkich par (t, F) z wyjątkiem (r, B) i
  • E (r, B) = ∅.

Łatwo zauważyć, że warunki zamknięcia Application i Suma na E są spełnione. Przy 1, w: B trzyma, tj.

1 ⊩ w: B

ponieważ w jest dopuszczalnym dowodem na B w 1 i nie ma możliwych światów dostępnych od 1. Ponadto,

nie - 1 ⊩ r: B

ponieważ według E r nie jest dopuszczalnym dowodem na B w 1. W związku z tym:

1 ⊩ r: B → B

Z drugiej strony,

nie - 1 ⊩ w: B → B

ponieważ B nie utrzymuje się na 1.

7. Autoreferencyjność uzasadnień

Algorytmy realizacji czasami wytwarzają Specyfikacje Stałe zawierające stwierdzenia uzasadniające autoreferencyjne c: A (c), czyli twierdzenia, w których uzasadnienie (tutaj c) występuje w twierdzonym zdaniu (tutaj A (c)).

Autoreferencyjność uzasadnień jest nowym zjawiskiem, którego nie ma w konwencjonalnym języku modalnym. Oprócz tego, że są intrygującymi obiektami epistemicznymi, takie autoreferencyjne twierdzenia stanowią szczególne wyzwanie z semantycznego punktu widzenia ze względu na wbudowane błędne koło. Rzeczywiście, aby ocenić c, należałoby najpierw oczekiwać oceny A, a następnie przypisać obiekt uzasadnienia dla A do c. Jednak nie można tego zrobić, ponieważ A zawiera c, które nie zostało jeszcze ocenione. Pytanie, czy logika modalna może zostać zrealizowana bez korzystania z autoreferencyjnych uzasadnień, było głównym, otwartym pytaniem w tym obszarze.

Główny wynik Kuznetsa w (Breżniew i Kuznets 2006) stwierdza, że autoreferencyjność uzasadnień jest nieunikniona w realizacji S4 w LP. Obecny stan rzeczy daje następujące twierdzenie Kuznetsa:

Twierdzenie 5: Samoodniesienie można uniknąć w realizacji logik modalnych K i D. Samoodniesienie nie może być uniknięte w realizacjach logiki modalnej T, K4, D4 i S4.

To twierdzenie ustanawia, że system terminów uzasadniających dla S4 będzie siłą rzeczy samoreferencyjny. Stwarza to poważne, choć nie bezpośrednio widoczne, ograniczenie semantyki dowodowalności. W gödlowskim kontekście dowodów arytmetycznych problem został rozwiązany za pomocą ogólnej metody przypisywania semantyki arytmetycznej twierdzeniom autoreferencyjnym c: A (c) stwierdzającym, że c jest dowodem A (c). W Logic of Proofs LP zajęto się tym nietrywialną konstrukcją z punktem stałym.

Samoodniesienie daje interesujące spojrzenie na Paradoks Moore'a. Szczegółowe informacje można znaleźć w sekcji 6 dokumentu dodatkowego Some More Technical Matters.

8. Kwantyfikatory w logice justowania

Chociaż badanie logiki uzasadnienia zdań jest dalekie od zakończenia, sporadycznie pracowano również nad wersjami pierwszego rzędu. Skwantyfikowane wersje logiki modalnej już teraz oferują złożoność wykraczającą poza standardową logikę pierwszego rzędu. Kwantyfikacja ma jeszcze szersze pole do odegrania, gdy zaangażowana jest logika uzasadnienia. Klasycznie kwantyfikuje się ponad „obiekty”, a modele są wyposażone w dziedzinę, w której kwantyfikatory się mieszczą. Modalnie można mieć jedną domenę wspólną dla wszystkich możliwych światów lub można mieć oddzielne domeny dla każdego świata. Dobrze znana jest tu rola formuły Barcan. Dla logiki justowania dostępne są zarówno stałe, jak i zmienne opcje domeny. Ponadto istnieje możliwość, która nie ma odpowiednika dla logiki modalnej: można by kwantyfikować same uzasadnienia.

Wstępne wyniki dotyczące możliwości ilościowej logiki uzasadnienia były szczególnie niekorzystne. Semantyka arytmetycznego dowodowalności dla Logic of Proofs LP, naturalnie uogólnia się do wersji pierwszego rzędu z konwencjonalnymi kwantyfikatorami oraz do wersji z kwantyfikatorami nad dowodami. W obu przypadkach na pytania dotyczące aksjomatyzowalności odpowiedziano negatywnie.

Twierdzenie 6: Logika dowodów pierwszego rzędu nie jest wyliczalna rekurencyjnie (Artemow i Jaworska (Sidon) 2001). Logika dowodów z kwantyfikatorami względem dowodów nie jest wyliczalna rekurencyjnie (Yavorsky 2001).

Chociaż semantyka arytmetyczna nie jest możliwa, w (Fitting 2008) możliwa semantyka światowa i aksjomatyczna teoria dowodu zostały podane dla wersji LP z kwantyfikatorami przekraczającymi uzasadnienia. Udowodniono solidność i kompletność. W tym momencie możliwa semantyka światowa oddziela się od semantyki arytmetycznej, co może, ale nie musi, być powodem do niepokoju. Wykazano również, że S4 osadza się w logice kwantyfikowanej, tłumacząc □ Z jako „istnieje uzasadnienie x takie, że x: Z *”, gdzie Z * jest tłumaczeniem Z. Chociaż ta logika jest nieco skomplikowana, znalazła zastosowanie, np. W (Dean i Kurokawa 2009b), jest używana do analizy paradoksu wiedzy, chociaż zastrzeżenia do tej analizy zostały podniesione w (Arlo-Costa i Kishida 2009).

Prowadzono również prace nad wersjami Logiki Wyrównania z kwantyfikatorami obiektów, zarówno z analogiem wzoru Barcana, jak i bez niego. Żadna z tych informacji nie została opublikowana i należy ją traktować jako prace w toku.

9. Notatki historyczne

Pierwotny system Uzasadnienie Logic, Logic of Proofs LP, został wprowadzony w 1995 r. W (Artemov 1995) (por. Również (Artemov 2001)), gdzie po raz pierwszy ustalono takie podstawowe właściwości jak internalizacja, realizacja, arytmetyczna kompletność. LP zaoferował zamierzoną semantykę dowodowalności dla logiki dowodowalności Gödla S4, zapewniając w ten sposób formalizację semantyki Brouwera-Heytinga-Kołmogorowa dla intuicjonistycznej logiki zdań. Semantyka epistemiczna i kompletność (Fitting 2005) zostały po raz pierwszy ustalone dla LP. Modele symboliczne i rozstrzygalność dla LP wynikają z Mkrtycheva (Mkrtychev 1997). Szacunki złożoności pojawiły się po raz pierwszy w (Breżniew i Kuznets 2006, Kuznets 2000, Milnikel 2007). Obszerny przegląd wszystkich wyników dotyczących rozstrzygalności i złożoności można znaleźć w (Kuznets 2008). Systemy J, J4,i JT zostały po raz pierwszy rozważone w (Breżniew 2001) pod różnymi nazwami iw nieco innym otoczeniu. JT45 pojawił się niezależnie w (Pacuit 2006) i (Rubtsova 2006), a JD45 w (Pacuit 2006). Logikę dowodów jednokonkursowych można znaleźć w (Krupski 1997). Bardziej ogólne podejście do wiedzy powszechnej, oparte na wiedzy uzasadnionej, przedstawiono w (Artemov 2006). Semantyka gier w logice justowania i dynamicznej logice epistemicznej z uzasadnieniami była badana w (Renne 2008, Renne 2009). Powiązania między logiką uzasadnienia a problemem logicznej wszechwiedzy zostały zbadane w (Artemov i Kuznets 2009, Wang 2009). Nazwa Uzasadnienie Logic została wprowadzona w (Artemov 2008), w której sformalizowano przykłady Kripke, Russell i Gettier; ta formalizacja została wykorzystana do rozwiązania paradoksów, weryfikacji,ukryta analiza założeń i eliminacja nadmiarowości. W (Dean i Kurokawa 2009a) do analizy paradoksów Knower and Knowability wykorzystano Logikę Uzasadnienie.

Bibliografia

  • Antonakos, E. (2007). „Justified and Common Knowledge: Limited Conservativity”, S. Artemov i A. Nerode (red.), Logical Foundations of Computer Science, International Symposium, LFCS 2007, Nowy Jork, NY, USA, 4-7 czerwca 2007, Proceedings (Notatki z wykładów z informatyki: tom 4514), Berlin: Springer, str. 1–11.
  • Arlo-Costa, H. i K. Kishida (2009). „Three proofs and the knower in the Quantified Logic of Proofs”, w: Formal Epistemology Workshop / FEW 2009. Proceedings, Carnegie Mellon University, Pittsburgh, PA, USA.
  • Artemov, S. (1995). „Operational modal logic”, raport techniczny MSI 95–29, Cornell University.
  • –––. (2001). „Wyraźna możliwość udowodnienia i konstruktywna semantyka”, The Bulletin of Symbolic Logic, 7 (1): 1–36.
  • –––. (2006). „Usprawiedliwiona wiedza powszechna”, Theoretical Computer Science, 357 (1–3): 4–22.
  • –––. (2008). „Logika uzasadnienia”, The Review of Symbolic Logic, 1 (4): 477–513.
  • Artemov, S. i R. Kuznets (2009). „Logical omniscience as a computational complexity problem”, A. Heifetz (red.), Teoretyczne aspekty racjonalności i wiedzy, Proceedings of the Twelfth Conference (TARK 2009), ACM Publishers, s. 14–23.
  • Artemov, S. i E. Nogina (2005). „Wprowadzenie uzasadnienia do logiki epistemicznej”, Journal of Logic and Computation, 15 (6): 1059–1073.
  • Artemov, S. i T. Yavorskaya (Sydon) (2001). „O logice dowodu pierwszego rzędu”, Moscow Mathematical Journal, 1 (4): 475–490.
  • Boolos, G. (1993). The Logic of Provability, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Breżniew, V. (2001). „O logice dowodów”, K. Striegnitz (red.), Proceedings of the Sixth ESSLLI Student Session, 13. European Summer School in Logic, Language and Information (ESSLLI'01), s. 35–46.
  • Breżniew, V. i R. Kuznets (2006). „Uwydatnianie wiedzy: jakie to trudne”, Theoretical Computer Science, 357 (1–3): 23–34.
  • Cubitt, RP i R. Sugden (2003). „Powszechna wiedza, znaczenie i konwencja: rekonstrukcja teorii gier Davida Lewisa”, Economics and Philosophy, 19: 175–210.
  • Dean, W. i H. Kurokawa (2009a). „Od paradoksu poznawalności do istnienia dowodów”, Synthese, 176 (2): 177–225.
  • –––. (2009b). „Wiedza, dowód i znawca”, w: A. Heifetz (red.), Teoretyczne aspekty racjonalności i wiedzy, Proceedings of the XII Conference (TARK 2009), ACM Publications, s. 81–90.
  • Dretske, F. (2005). „Czy wiedza jest zamknięta pod znanym przymusem? Sprawa przeciwko zamknięciu”, w: M. Steup i E. Sosa (red.), Contemporary Debates in Epistemology, Oxford: Blackwell, s. 13–26.
  • Fagin, R., J. Halpern, Y. Moses i M. Vardi (1995). Reasoning About Knowledge, Cambridge, MA: MIT Press.
  • Dopasowanie, M. (2005). „Logika dowodów, semantycznie”, Annals of Pure and Applied Logic, 132 (1): 1–25.
  • –––. (2006). „Zastąpienie twierdzenia LP ”, raport techniczny TR-2006002, Wydział Informatyki Uniwersytetu Miejskiego w Nowym Jorku.
  • –––. (2008). „Ilościowa logika dowodów”, Annals of Pure and Applied Logic, 152 (1–3): 67–83.
  • –––. (2009). „Realizations and LP ”, Annals of Pure and Applied Logic, 161 (3): 368–387.
  • Gettier, E. (1963). „Czy uzasadnione jest prawdziwe przekonanie o wiedzy?” Analiza, 23: 121–123.
  • Girard, J.-Y., P. Taylor i Y. Lafont (1989). Dowody i typy (Cambridge Tracts in Computer Science: Volume 7), Cambridge: Cambridge University Press.
  • Gödel, K. (1933). „Eine Interpretation des intuitionistischen Aussagenkalkuls”, Ergebnisse Math. Kolloq., 4: 39–40. Tłumaczenie angielskie w: S. Feferman et al. (red.), Kurt Gödel Collected Works (tom 1), Oxford and New York: Oxford University Press i Clarendon Press, 1986, s. 301–303.
  • –––. (1938). „Vortrag bei Zilsel / Lecture at Zilsel's” (* 1938a), w: S. Feferman, JJ Dawson, W. Goldfarb, C. Parsons i R. Solovay (red.), Unpublished Essays and Lectures (Kurt Gödel Collected Works: Volume III), Oxford: Oxford University Press, 1995, s. 86–113.
  • Goldman, A. (1967). „Przyczynowa teoria znaczenia”, The Journal of Philosophy, 64: 335–372.
  • Goodman, N. (1970). „Teoria konstrukcji jest odpowiednikiem arytmetyki”, w J. Myhill, A. Kino i R. Vesley (red.), Intuitionism and Proof Theory, Amsterdam: North-Holland, s. 101–120.
  • Goris, E. (2007). „Explicit proofs in formal provability logic”, S. Artemov i A. Nerode (red.), Logical Foundations of Computer Science, International Symposium, LFCS 2007, Nowy Jork, NY, USA, 4-7 czerwca 2007, Proceedings (ecture Notes in Computer Science: Volume 4514), Berlin: Springer, s. 241–253.
  • Hendricks, V. (2005). Mainstream and Formal Epistemology, New York: Cambridge University Press.
  • Heyting, A. (1934). Mathematische Grundlagenforschung. Intuitionismus. Beweistheorie, Berlin: Springer.
  • Hintikka, J. (1962). Knowledge and Belief, Ithaca: Cornell University Press.
  • Kleene, S. (1945). „O interpretacji intuicjonistycznej teorii liczb”, The Journal of Symbolic Logic, 10 (4): 109–124.
  • Kołmogorow A. (1932). „Zur Deutung der Intuitionistischen Logik”, Mathematische Zeitschrift, 35: 58–65. Tłumaczenie na język angielski w VM Tikhomirov (red.), Wybrane prace AN Kołmogorowa. Tom I: Mathematics and Mechanics, Dordrecht: Kluwer, 1991, str. 151–158.
  • Kreisel, G. (1962). „Podstawy logiki intuicjonistycznej”, w: E. Nagel, P. Suppes i A. Tarski (red.), Logic, Methodology and Philosophy of Science. Proceedings of the 1960 International Congress, Stanford: Stanford University Press, s. 198–210.
  • –––. (1965). „Mathematical logic”, w: T. Saaty (red.), Lectures in Modern Mathematics III, Nowy Jork: Wiley and Sons, s. 95–195.
  • Krupski, V. (1997). „Operacyjna logika dowodów z warunkiem funkcjonalności na predykacie dowodu”, w: S. Adian i A. Nerode (red.), Logical Foundations of Computer Science, 4th International Symposium, LFCS'97, Jarosław, Rosja, 6–12 lipca 1997 r., Proceedings (Lecture Notes in Computer Science: Volume 1234), Berlin: Springer, str. 167–177.
  • Kurokawa, H. (2009). „Tableaux and Hypersequents for Uzasadnienie Logic”, S. Artemov i A. Nerode (red.), Logical Foundations of Computer Science, International Symposium, LFCS 2009, Deerfield Beach, FL, USA, 3-6 stycznia 2009, Proceedings (Lecture Notes in Computer Science: Volume 5407), Berlin: Springer, s. 295–308.
  • Kuznets, R. (2000). „On the Complexity of Explicit Modal Logics”, w: P. Clote i H. Schwichtenberg (red.), Computer Science Logic, 14th International Workshop, CSL 2000, Annual Conference of the EACSL, Fischbachau, Niemcy, 21–26 sierpnia 2000 r., Proceedings (Lecture Notes in Computer Science: Volume 1862), Berlin: Springer, str. 371–383.
  • –––. (2008). Złożoność zagadnień w logice usprawiedliwiania, rozprawa doktorska, Wydział Informatyki, City University of New York Graduate Center.
  • –––. (2010). „Notatka o nienormalności realizacji S4LP ”, w: K. Brünnler i T. Studer (red.), Proof, Computation, Complexity PCC 2010, International Workshop, Proceedings, IAM Technical Reports IAM-10-001, Institute of Computer Nauka i matematyka stosowana, Uniwersytet w Bernie.
  • McCarthy, J., M. Sato, T. Hayashi i S. Igarishi (1978). „O modelowej teorii wiedzy”, Raport techniczny STAN-CS-78-667, Wydział Informatyki Uniwersytetu Stanforda.
  • Milnikel, R. (2007). „Derivability in some subsystems of the Logic of Proofs is Π 2 p -complete”, Annals of Pure and Applied Logic, 145 (3): 223–239.
  • –––. (2009). „Conservativity for Logics of Justified Belief”, w: S. Artemov i A. Nerode (red.), Logical Foundations of Computer Science, International Symposium, LFCS 2009, Deerfield Beach, FL, USA, 3–6 stycznia 2009 r., Proceedings (Lecture Notes in Computer Science: Volume 5407), Berlin: Springer, s. 354–364.
  • Mkrtychev, A. (1997). „Models for the Logic of Proofs”, w: S. Adian i A. Nerode (red.), Logical Foundations of Computer Science, 4th International Symposium, LFCS'97, Jarosław, Rosja, 6–12 lipca 1997 r., Proceedings (wykład Notes in Computer Science: Volume 1234), Berlin: Springer, s. 266–275.
  • Nogina, E. (2006). „On logic of proof and Provability”, in 2005 Summer Meeting of the Association for Symbolic Logic, Logic Colloquium'05, Ateny, Grecja (28 lipca - 3 sierpnia 2005), The Bulletin of Symbolic Logic, 12 (2): 356.
  • –––. (2007). „Epistemic Complete of GLA ”, w 2007 r. Annual Meeting of the Association for Symbolic Logic, University of Florida, Gainesville, Florida (10–13 marca 2007), The Bulletin of Symbolic Logic, 13 (3): 407.
  • Pacuit, E. (2006). „A Note on Some Explicit Modal Logics”, raport techniczny PP – 2006–29, Institute for Logic, Language and Computation, University of Amsterdam.
  • Plaza, J. (2007). „Logics of public communication”, Synthese, 158 (2): 165–179.
  • Renne, B. (2008). Dynamiczna logika epistemiczna z uzasadnieniem, rozprawa doktorska, Wydział Informatyki, CUNY Graduate Center, Nowy Jork, NY, USA.
  • –––. (2009). „Eliminacja dowodów w logice usprawiedliwiania wielu agentów”, w: A. Heifetz (red.), Teoretyczne aspekty racjonalności i wiedzy, Proceedings of the XII Conference (TARK 2009), ACM Publications, s. 227–236.
  • Rose, G. (1953). „Rachunek zdań i realizowalność”, Transactions of the American Mathematical Society, 75: 1–19.
  • Rubtsova, N. (2006). „On Realization of S5 -modality by Evidence Terms”, Journal of Logic and Computation, 16 (5): 671–684.
  • Russell, B. (1912). Problemy filozofii, Oxford: Oxford University Press.
  • Sidon, T. (1997). „Provability logic with operations on proofs”, S. Adian i A. Nerode (red.), Logical Foundations of Computer Science, 4th International Symposium, LFCS'97, Jarosław, Rosja, 6–12 lipca 1997 r., Proceedings (Wykład Notes in Computer Science: Volume 1234), Berlin: Springer, s. 342–353.
  • Troelstra, A. (1998). „Realizability”, w: S. Buss (red.), Handbook of Proof Theory, Amsterdam: Elsevier, str. 407–474.
  • Troelstra, A. i H. Schwichtenberg (1996). Basic Proof Theory, Amsterdam: Cambridge University Press.
  • Troelstra, A. i D. van Dalen (1988). Konstruktywizm w matematyce (tomy 1, 2), Amsterdam: Holandia Północna.
  • van Dalen, D. (1986). „Logika intuicyjna”, w: D. Gabbay i F. Guenther (red.), Handbook of Philosophical Logic (tom 3), Bordrecht: Reidel, str. 225–340.
  • van Ditmarsch, H., W. van der Hoek i B. Kooi (red.), (2007). Dynamic Epistemic Logic (Synthese Library, tom 337), Berlin: Springer..
  • von Wright, G. (1951). An Essay in Modal Logic, Amsterdam: Holandia Północna.
  • Wang, R.-J. (2009). „Knowledge, Time, and Logical Omniscience”, H. Ono, M. Kanazawa i R. de Queiroz (red.), Logic, Language, Information and Computation, 16th International Workshop, WoLLIC 2009, Tokio, Japonia, 21 czerwca -24, 2009, Proceedings (notatki z wykładów w sztucznej inteligencji: tom 5514), Berlin: Springer, s. 394–407.
  • Yavorskaya (Sydon), T. (2001). „Logic of proofs and Provability”, Annals of Pure and Applied Logic, 113 (1–3): 345–372.
  • –––. (2008). „Interacting Explicit Evidence Systems”, Theory of Computing Systems, 43 (2): 272–293.
  • Yavorsky, R. (2001). „Provability logics with quantifiers on proofs”, Annals of Pure and Applied Logic, 113 (1–3): 373–387.

Narzędzia akademickie

człowiek ikona
człowiek ikona
Jak cytować ten wpis.
człowiek ikona
człowiek ikona
Zobacz wersję PDF tego wpisu w Friends of the SEP Society.
ikona Inpho
ikona Inpho
Sprawdź ten temat wpisu w Indiana Philosophy Ontology Project (InPhO).
ikona dokumentów phil
ikona dokumentów phil
Ulepszona bibliografia tego wpisu na PhilPapers, z linkami do jego bazy danych.

Inne zasoby internetowe

Zalecane: